人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教学ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
通过上一单元的学习,对角度的认识拓展到了任意角,在角的度量的计算中学习了弧度制这个更方便的表示方法,这为本单元的学习打下了坚实基础.本单元中,我们从单位圆上点的运动规律,定义任意角的三角函数,并根据周而复始的特性,研究相同终边角的三角函数关系,以及从圆周上点的坐标关系出发,研究同角三角函数之间的关系.
学习单元2　三角函数的概念
本单元的研究路径为:三角函数的概念——同角三角函数的关系.这是我们学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示: 本学习单元的最终目标是理解三角函数的概念,掌握并能应用同角三角函数关系的公式,并知道其推导过程.在此单元的学习过程中,通过概念、公式的理解、掌握、应用等,培养数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养.
知识点一:三角函数的概念概念
把点P 的横坐标x　
把点P的纵坐标与横坐标的比值
微思考初中学的锐角三角函数是否满足现在的定义?
知识点二:三角函数值的符号sin α,cs α,tan α在各个象限的符号如下:
记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦.”
名师点睛正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.微思考如何理解并记忆三角函数在各个象限的符号?
提示 根据三角函数的定义, ,所以正弦的符号由y决定,所以一、二象限为正,三、四象限为负;余弦的符号由x决定,所以一、四象限为正,二、三象限为负;正切的符号由x,y同时决定,所以同号为正,异号为负,即一、三象限为正,二、四象限为负.
知识点三:公式一(1)语言表示:终边相同的角的　　　　三角函数的值相等. (2)式子表示:①sin(α+k·2π)=　　　　　, ②cs(α+k·2π)=　　　　　, ③tan(α+k·2π)=　　　　　,其中k∈Z. 微思考如何理解并记忆公式一?
提示 因为α+2kπ的终边与α相同,根据三角函数的定义,它们对应的三角函数相等.
问题1任意角的三角函数是刻画周期变化的数学模型,如何研究单位圆上点的运动规律?问题2借助函数的研究经验,上述几何问题可以转化为什么代数问题来研究?任意角的三角函数如何定义?问题3任意角的三角函数与锐角三角函数之间有什么关联?
探究点一 利用三角函数的定义求三角函数值
问题4三角函数的定义实质上是构建了角与坐标之间的函数对应关系,如何根据此对应关系求出相应的函数值?【例1】 求解下列各题:(1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x, ),则sin α=　　　　　,cs α=　　　　　,tan α=　　　　　. 
分析 先求出x的值,再计算
分析 利用三角函数的定义的推广求解.
(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cs α-sin α=　　　　　. 
分析 先在终边上取点,再利用定义求解.
解析∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,
延伸探究已知角α的终边上有一点P(- ,m),且sin α= m,求sin α,cs α的值.
规律方法　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin α=y,cs α=x,tan α= .(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
探究点二 三角函数值符号的运用
问题5根据三角函数的定义,可否确定相应角的三角函数值的符号?反过来,根据三角函数值的符号,可否确定角的范围?【例2】 (1)若sin αtan α<0,且 <0,则角α是(　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
分析 由已知条件确定出sin α,cs α的符号即可确定角α的象限.
解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、第三象限角.由 <0可知cs α,tan α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.
(2)判断下列各式的符号:①sin 105°cs 230°;　②cs 3tan( ).
分析 先判断每个因式的符号,再确定积的符号.
解 ①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin 105°>0,cs 230°<0.于是sin 105°cs 230°<0.
规律方法　判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
探究点三 公式一的应用
问题6三角函数与众不同的是其周期性.因此,三角函数取值的规律性、各三角函数的相互联系性就是值得研究的性质.你能发现什么时候三角函数取值相等或相反吗?问题7由三角函数的定义知道,若角的终边位置相同,则相应的三角函数值是确定的,这体现了三角函数是典型的周期现象模型.据此,如何求出任意角的三角函数值?
【例3】 求下列各式的值:(1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcs(-1 080°);
解 原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)- (a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcs(-3×360°)=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcs 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
规律方法　公式一的应用策略(1)公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π角的三角函数,即把角实现“大化小,负化正”的转化.
1.(例1对点题)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(- ,-1),则tan α=　 　,cs α-sin α=　 　. 
2.(例2对点题)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析 因为α=2∈( ,π),即α在第二象限,所以sin α>0,tan α<0,则点P(sin α,tan α)在第四象限.
3.(例2对点题)[2023河北衡水冀州月考]已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cs α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(　　)A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]