人教A版高中数学必修第一册第5章三角函数5-2-2同角三角函数的基本关系课件

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第五章5.2.2　同角三角函数的基本关系基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点:同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式:sin2α+cos2α=1;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.名师点睛1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.2.sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.微思考平方关系sin2α+cos2α=1,商数关系上述同角三角函数关系如何证明?重难探究·能力素养全提升问题1以单位圆上某一点的坐标意义为基础,可否发现坐标间的几何关系?又可否发现三角函数间的关系?探究点一 利用同角三角函数关系求值问题2同角三角函数间的关系,本质就是量的关系.已知某个角的三角函数值,可否求出该角的其他三角函数值?1.已知某个三角函数值,求其余三角函数值【例1】 (1)已知sin α= ,求cos α,tan α的值;分析 已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值,再利用商数关系求该角的正切值.(2)已知cos α=- ,求sin α,tan α的值.规律方法　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数值的符号,确定其角的终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.问题3虽然已知某个角的三角函数值,可以求出该角的其他三角函数值,但运算较繁杂,容易出错.所以,对于某些运算特征明显的式子,比如齐次式,我们可以通过化简来优化运算.2.已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值【例2】 已知tan α=2,则 (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=　　　　　. 分析 注意到所求式子都是关于sin α,cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos α的整数次幂,把所求值的式子用 tan α 表示,将tan α=2整体代入求其值.-1 1 规律方法　已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 问题4借助同角三角函数的平方关系,可否发现sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α之间的关系?3.利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α之间的关系求值【例3】 已知sin α+cos α= ,α∈(0,π),求tan α的值.分析 要求tan α的值,只需求得sin α,cos α的值.而由已知条件sin α+cos α= ,α∈(0,π),结合sin2α+cos2α=1,求得2sin αcos α的值,进而求得sin α-cos α的值,从而得到sin α,cos α的值,问题得解.规律方法　1.由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.2.sin θ±cos θ的符号的判定方法(1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin θ=cos θ,即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin θ