高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式评课ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元3　诱导公式本单元依据圆的对称性,从单位圆上的点关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究三角函数的诱导公式.研究路径为:关于原点的对称性(公式二)——关于x轴的对称性(公式三)——关于y轴的对称性(公式四)——关于直线y=x的对称性(公式五)——两次连续对称(先作公式五对称、再作公式四对称)或旋转 (公式六).
这是我们学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:
本学习单元的最终目标是掌握并熟练应用三角函数的诱导公式,通过理解诱导公式的推导到熟练应用,培养直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.
知识点:诱导公式二、三、四1.诱导公式二(1)角π+α与角α的终边关于　　　　对称(如图所示). 
(2)诱导公式二:sin(π+α)=　　　,cs(π+α)=　　　,tan(π+α)=　　　　.
2.诱导公式三(1)角-α与角α的终边关于　　　　对称(如图所示). 
(2)诱导公式三:sin(-α)=　　　,cs(-α)=　　　,tan(-α)=　　　. 
(1)角π-α与角α的终边关于　　　　对称(如图所示). (2)诱导公式四:sin(π-α)=　　　,cs(π-α)=　　　,tan(π-α)=　　　. 
名师点睛1.公式一至四的概念:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.判断函数值的符号时,虽然把α看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+ (k∈Z).3.公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
微思考1三角函数的给角求值问题,对于角一般怎样转化?   微思考2诱导公式中的二至四如何利用对称性进行记忆?
提示 负角化正角:大角化小角;化成锐角为终了.当遇到负角时,利用公式三,先化为正角;角度比较大时,利用公式一、公式二、公式四化为小角,以化为锐角为目标.
提示 角π+α与角α的终边关于原点对称,所以对应的正、余弦互为相反数,对应的正切相等;角-α与角α的终边关于x轴对称,所以对应的正弦、正切互为相反数,对应的余弦相等;角π-α与角α的终边关于y轴对称,所以对应的余弦、正切互为相反数,对应的正弦相等.
问题1任意角的三角函数定义借助单位圆得出,三角函数的性质是圆的几何性质的代数化.对称性是圆的重要性质,可否从圆的对称性出发,将对称性表示为三角函数之间的关系?问题2如何把圆的对称性转化为三角函数之间的关系?可否探索一些基本步骤?问题3对于圆的对称性,容易观察到关于原点以及坐标轴的对称.根据这些对称性,可否推导出三角函数的某些关系式?
探究点一 给角求值问题
问题4公式的应用之一在于化简求值.对于三角函数式子的求值,如何根据诱导公式进行化简?为何要这样化简?化简有哪些基本策略?【例1】 (1)求sin 585°cs 1 290°+cs(-30°)sin 210°+tan 135°的值;
解 sin 585°cs 1 290°+cs(-30°)sin 210°+tan 135°=sin(360°+225°)cs(3×360°+210°)+cs 30°sin 210°+tan(180°-45°)=sin 225°cs 210°+cs 30°sin 210°-tan 45°=sin(180°+45°)cs(180°+30°)+cs 30°sin(180°+30°)-tan 45°=sin 45°cs 30°-cs 30°sin 30°-tan 45°
(2)已知cs(α-55°)=- ,且α为第四象限角,求sin(α+125°)的值.
规律方法　1.利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤:
2.利用诱导公式解决给值求值问题的策略:(1)弄清楚已知条件与所求式中角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
探究点二 给值(式)求值问题
问题5对于三角函数的运算,给角求值的深入就是给值求值问题.这种问题如何解决?关键是要抓住什么关系?【例2】 (1)[2023江苏徐州贾汪高一月考]若cs 165°=a,则tan 195°=(　　)
规律方法　解决给值求值问题的策略(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
探究点三 三角函数的化简求值问题
问题6三角函数的化简求值问题,关键在于角的位置的转化.如何可以把“不好看”的角转化为“好看”的角,并且快速得到其三角函数值?
规律方法　利用诱导公式一至四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.(2)化简时函数名不发生改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).
(2)原式=tan 10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin[(-2)×360°+114°]=tan 10°-tan 10°+sin 66°-sin(180°-66°)=sin 66°-sin 66°=0.
2.(例2对点题)已知tan 100°=k,则sin 80°的值等于(　　)