人教A版高中数学必修第一册第5章三角函数5-4-2第1课时周期性、奇偶性课件

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第五章5.4.2　第1课时　周期性、奇偶性基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点一:函数的周期性1.周期函数2.最小正周期 非零 f(x+T) 正数 正数 名师点睛1.对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自变量x本身加的常数才是最小正周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是最小正周期,因为f(2x+T)=f(2(x+ ))=f(2x),所以 才是最小正周期.3.周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是函数f(x)的周期.4.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.微思考1周期函数的周期是否唯一? 微思考2如何理解周期函数定义中“对定义域内的每一个值,都有f(x+T)=f(x)”?能举例说明吗?提示 不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0. 知识点二:正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 名师点睛函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期微思考记f(x)=sin(cos x);g(x)=cos(sin x).f(x)与g(x)是否为周期函数?它们的奇偶性是什么?提示 因为f(x+2π)=sin(cos(x+2π))=sin(cos x)=f(x);g(x+π)= cos(sin(x+π))=cos(-sin x)=cos(sin x)=g(x),所以f(x)与g(x)均为周期函数.因为f(x)与g(x)的定义域均为R,且f(-x)=sin(cos(-x))=sin(cos x)=f(x),g(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sin x)=cos(sin x)=g(x),所以f(x)与g(x)均为偶函数.重难探究·能力素养全提升问题1函数的性质一般有哪些?通过什么方法研究函数的性质?问题2从三角函数的图象分析,利用什么性质可以把三角函数的图象转化为某一区域的图象?探究点一 三角函数的周期问题及简单应用问题3如何理解三角函数的周期?如何求三角函数的最小正周期?有哪些基本方法?【例1】 求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3sin x,x∈R;解 3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的周期为2π. (2)y=cos 2x,x∈R; 解cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=cos 2x的周期为π.(4)y=|cos x|,x∈R. 解 函数y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示, 由图象可知,y=|cos x|的周期为π. 规律方法　求函数最小正周期的常用方法求三角函数的最小周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用 求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.探究点二 三角函数的奇偶性及其应用问题4一个周期内的正、余弦函数图象从整体上看具备奇偶性,可否通过此性质来简化研究?问题5如何判断函数的奇偶性?有哪些基本方法?【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sin x|+cos x;解 函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.规律方法　1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x) =f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0(或 =±1,且f(x)不为0)是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶函数的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.探究点三 函数奇偶性、周期性的综合问题问题6三角函数周期性的关系式可以如何变形?问题7三角函数的奇偶性从几何角度可否拓展到对称性?可否用代数形式表示?问题8通过函数的周期性、奇偶性可否化简三角函数的求值问题?可否把不同区间的函数值转换到局部同一区间?规律方法　解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值;利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.学以致用·随堂检测全达标123A 1232.(例1对点题)求下列函数的最小正周期:(1)y=sin(-4πx+ );(2)y=cos|x|.(2)因为函数y=cos x为偶函数,所以y=cos|x|=cos x,从而函数y=cos|x|与y=cos x的图象一样,因此最小正周期相同,为2π.1233.(例2对点题)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcos(π+x);(2)f(x)=sin(cos x).解 (1)函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=xcos(π+x)=-xcos x,∴f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos x=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin [cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),∴f(x)为偶函数.