人教A版高中数学必修第一册第5章三角函数5-4-2第2课时单调性、最大值与最小值课件

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第五章5.4.2　第2课时　单调性、最大值与最小值基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点:正弦函数、余弦函数的图象和性质 名师点睛对单调区间的理解(1)k取Z内的每一个值,都对应着一个单调递增区间及单调递减区间,这些区间是断开的.(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数.(3)正弦函数或余弦函数取最值时,对应着图象的最高点或最低点.微思考 重难探究·能力素养全提升问题1函数的单调性是函数的重要性质.结合图象容易观察一个周期内的正弦函数的单调性,但由于三角函数的周期性,在此基础上,如何归纳概括正弦函数的单调区间并给出一般的形式?体会研究周期函数单调性的一般思路.问题2余弦函数与正弦函数的单调性研究过程相似,类比研究余弦函数的单调性并给出一般形式.探究点一 求三角函数的单调区间问题3如何利用正、余弦函数来求正余弦型函数的单调区间?基本思想是什么?【例1】 求下列函数的单调递减区间:分析 (1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.规律方法　与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.探究点二 单调性在三角函数中的应用问题4单调性的直接应用就是比较函数值大小.关键在于如何把自变量转化到同一个单调区间?1.利用单调性比较三角函数值的大小【例2】 比较下列各组数的大小:规律方法　比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.问题5单调性可以直接根据函数求出,逆向思考,若已知某函数的单调性,能求解什么问题?2.已知三角函数的单调情况求参数问题D 探究点三 正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题问题6求函数值域的方法,一般来说,就是要知道函数的类型或者是函数的单调性,据此得出函数值域.问题7由正、余弦函数构成的一些函数,可否识别出函数类型?类型1　一次函数类型【例4】 求下列函数的值域:又sin x≥0时,0≤2sin x≤2,∴函数y=|sin x|+sin x的值域为[0,2].(2)y=|sin x|+sin x. 类型2　二次函数类型【例5】 求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sin x-2;类型3　反比例函数类型 规律方法　与三角函数有关的函数的值域(或最大(小)值)的求解思路1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解.2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.3.求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最大(小)值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.4.求形如 ,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式解出y的取值范围.学以致用·随堂检测全达标1234561.(例1对点题)求函数y=2cos( -x)的单调递增区间. 123456> 123456A 1234561234561234566.(例6对点题)函数 的最小值是(　　)A.2 B.-2 C.1 D.-1B