新高考数学考前模拟卷05（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前模拟卷05（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了 1 等内容，欢迎下载使用。
新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·江西高三期中（理））若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖南高三开学考试）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高三其他模拟（文））设，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江苏海安市·高三期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·湖南高三开学考试）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ）
A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时
6．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·河南高二月考（文））已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·江西宜春市·高一期末）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·江苏高三月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
10．（2020·吕叔湘中学高三月考）关于函数，有下述三个结论正确的有（ ）
A．f(x)的一个周期为； B．f(x)在上单调递增；
C．.的值域与f(x)相同 D．f(x)的值域为
11．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·江西高三期中（理））平面向量与的夹角为，且，，则________.
14．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）
15．（2020·永安市第一中学高二期中）已知三棱锥内接于球O，且，，，若三棱锥的体积为4，又AC过球心O，则球O的表面积最小值是_______.
16．（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·江西高三期中（文））设函数.
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）在中，内角、、的对边分别为、、，若，，且，求的值.
18．（2020·天津滨海新区·大港一中高三期中）已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．

（1）求证：；
（2）求三棱柱的侧面积．
20．（2020·广西高三一模（理））某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学校为优秀.
（1）求校优秀的概率（保留位小数）；
（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；
（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.
21．（2020·全国高三其他模拟（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若
22．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，证明：在上存在唯一零点．



新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
四、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·江西高三期中（理））若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为,，
所以，
故选：C
2．（2020·湖南高三开学考试）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
故选：C.
3．（2020·全国高三其他模拟（文））设，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解:选项A:易知，，所以A正确；
选项B:因为，
即，又，所以，B正确；
选项C:又，，所以，从而，C错误；
选项D:又，可知D正确.
综上，A，B，D正确，C错误.
故选:C
4．（2020·江苏海安市·高三期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BD，
又，，所以即在时不是单调递增，排除C．
故选：A．
5．（2020·湖南高三开学考试）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ）
A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时
【答案】B
【详解】
由已知时，，故，解得；
污染物减少27%，即，
由，所以，则.
故选：B.
6．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵

∵函数f(x)在上取得极大值，在上取得极小值，
，即，
在直角坐标系aOb中画出不等式组所表示的区域如图所示：

这是由为顶点的三角形及其内部区域，
可看作区域上点与点的连线的斜率，
结合图形可知
故选：D
7．（2020·河南高二月考（文））已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题可知，
即，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得
即，整理得
易得面积
又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，
所以
由已知，得，则，即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
两边同除以，则，解得或（舍去）
故选：C.
8．（2020·江西宜春市·高一期末）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，
所以，
记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，
所以，
作出可行域以及目标区域如图所示：

由几何概型的概率计算可知：.
故选：D.
五、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·江苏高三月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
【答案】ABC
【详解】
A. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球都是红球的概率为，故正确；
B. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球中恰有1个红球的概率为，故正确；
C. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以至少有1个红球的概率为，故正确；
D. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球不都是红球的概率为，故错误；
故选：ABC
10．（2020·吕叔湘中学高三月考）关于函数，有下述三个结论正确的有（ ）
A．f(x)的一个周期为； B．f(x)在上单调递增；
C．.的值域与f(x)相同 D．f(x)的值域为
【答案】BCD
【详解】
A.
，错误；
B.当时，，所以，
单调递增区间为，
得，当时，，正确；
C. 把函数的图象向右移动单位得到
，
又它们的定义域都为，所以它们的值域相同，正确；
D．由C知函数与的值域相同，
，
所以时，，
所以正确.
故选：BCD.
11．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
对于选项A ：因为幂函数在单调递增，，所以
因为指数函数在上单调递减，所以，
所以，故选项A不正确；
对于选项B：因为，，所以，
所以，即，故选项B正确；
对于选项C：令，则
所以在上递减，所以，即，故选项C正确；
对于选项D：令，则，
所以在上递增，在上递减，而,

所以，即，
所以，即，所以，故选项D正确，
综上正确答案为BCD.
故选：BCD
12．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
六、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·江西高三期中（理））平面向量与的夹角为，且，，则________.
【答案】
【详解】
∵向量与的夹角为，，，

∴，
则，
故答案为：．
14．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）
【答案】100
【详解】
由题意知，五年累计总投入资金为

，
当且仅当时等号成立，
所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.
15．（2020·永安市第一中学高二期中）已知三棱锥内接于球O，且，，，若三棱锥的体积为4，又AC过球心O，则球O的表面积最小值是_______.
【答案】
【详解】
由题意，因为过球心，所以为球的直径，可得，
因为，，且，
所以平面，所以，
设，，
因为，，可得
所以，所以，即，
在中，可得，
在直角中，可得，
整理得，即，
联立方程组 ，可得，
又由，
当且仅当时，即等号成立，
所以，即，所以最小值为，
所以外接球的表面积的最小值为.

16．（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．
【答案】1 8
【详解】
由于点满足，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.
故答案为：(1). 1 (2). 8
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·江西高三期中（文））设函数.
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）在中，内角、、的对边分别为、、，若，，且，求的值.
【答案】（1）函数的最大值为，最小正周期为；（2）.
【详解】
（1），
所以，，函数的最小正周期为；
（2），，
由正弦定理可得，所以，.
18．（2020·天津滨海新区·大港一中高三期中）已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【详解】
（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，
，，
对于数列：当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，.
（2）由题意及（1），可知：
当为奇数时，，
当为偶数时，，
令，，则



，
，
，
两式相减，可得，
，
，
，
，




.
19．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．

（1）求证：；
（2）求三棱柱的侧面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】
解：（1）如图所示：

连接，
∵，
∴侧面是菱形，
∴，
∵侧面底面，且平面平面，
，
∴平面，
又∵平面，
∴，
又，
∴平面，
又平面，
∴；
（2）如上图：设棱的中点为，连，，
则，
∴底面．从而，
由，，
得：，，
∴，
在中，由余弦定理得:，
即，
∴，
由（1）知平面，
∴，，
又，
∴三棱柱的侧面积为．
20．（2020·广西高三一模（理））某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学校为优秀.
（1）求校优秀的概率（保留位小数）；
（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；
（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，校得分的数学期望为；（3）答案见解析.
【详解】
（1）记校答对的题目个数为，记事件校优秀，则；
（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、、、，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：














随机变量的数学期望为，
因此，校得分的数学期望为；
（3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.
21．（2020·全国高三其他模拟（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）设，
由题意知：，，
，
，
解得：，
椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，设，，直线，
由，
消去并整理得：，
则，
即，，
，，






，
又，
由，得：，
解得：，
，，
故.
22．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，证明：在上存在唯一零点．
【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.
【详解】
（1）当时，，的定义域为，

由得，由得，且，
∴在上单调递增，在，上单调递减．
∴当时，取得极小值，无极大值．
（2）证明：当时，
．
令，
则在上的零点即在上的零点
，
令，则．
当时，则，∴在区间上单调递增．
又，，
∴存在使得，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又因为，，
∴在上存在一个零点，
在上没有零点，
∴在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．