新高考数学考前模拟卷08（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前模拟卷08（原卷版+解析版），共30页。
新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·河南高三月考（理））已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟（文））某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．45 B．50 C．60 D．80
8．（2020·全国高三其他模拟）将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为（ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·江苏启东市·启东中学高三开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为
C．已知，则“”是“”的充分不必要条件
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
10．（2020·全国高三其他模拟）已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为
C．圆的面积等于 D．与的面积之比为
11．（2020·全国高三专题练习）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）

A． B．数列是等比数列
C． D．
12．（2020·山东高三专题练习）设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．的值域为
C．的一个周期为 D．的图像关于点对称
三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·陕西莲湖区·西安一中高二期中（理））已知命题p：“，，使”．若命题是假命题，则实数m的取值范围为__________．
14．（2020·山东高三其他模拟）的展开式中的系数为______.
15．（2020·四川遂宁市·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取得最小值，曲线在点处的切线与直线平行，则_____
16．（2020·四川高三其他模拟（文））已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为.动点的集合形成一条曲线，这条曲线在平面上部分的形状是__________；此曲线的周长是_______.

四、 解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·全国高三其他模拟）在①，且，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（2020·上海徐汇区·高三一模）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=．

（1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）；
（2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）．
19．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））三棱锥中，，，.记中点为，中点为
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的余弦值.
20．（2020·全国高三专题练习（文））已知点在抛物线：上，直线：与抛物线有两个不同的交点.
（1）求的取值范围；
（2）设直线与抛物线的交点分别为，，过点作与的准线平行的直线，分别与直线和交于点和（为坐标原点），求证：.
21．（2020·武汉外国语学校高三其他模拟（理））新冠抗疫期间，我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动．某数学小组希望通过将所学的知识应用于我们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控．过程如下：假设小盒中有个黑球，个红球．模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入倍的红球．此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）
（1）分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；
（2）在模型②的前提下：
（i）记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示刚好第次抽到第二个红球对应的概率；
（ii）若规定无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记抽到第二个红球时所需要的次数为，求的数学期望．（精确到个位）
参考数据：，，，．
22．（2020·全国高三其他模拟）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.




新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
五、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·河南高三月考（理））已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
因为，所以
，
故复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故选：A．
2．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由已知，得：，，
∴，
故选：C
3．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】
充分性证明：取，明显地有，，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出，所以，充分性不成立；
必要性证明：，可得，所以，必要性成立；
故选B
4．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
,,,,
所以.
故选：A
5．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟（文））某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.78相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，与0.39相差0.01，
当时，和0.78相差0.02；
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
6．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
函数，
将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，
因为函数是偶函数，
．
当时，．
故选：A
7．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．45 B．50 C．60 D．80
【答案】C
【详解】
是等差数列，，，

故选：C
8．（2020·全国高三其他模拟）将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：不妨设半圆的半径为1，
圆心角为的扇形的弧长为，
则该扇形围成的圆锥的底面圆周长为，
设圆锥底面圆的半径为，则，所以，
则该圆锥的高，
圆心角为的扇形的弧长为，
则该扇形围成的圆锥的底面圆周长为，
设该圆锥底面圆的半径为，则，所以，
则该圆锥的高，
所以高圆锥与低圆锥的高之比为.
故选：B.
六、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·江苏启东市·启东中学高三开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为
C．已知，则“”是“”的充分不必要条件
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
【答案】BD
【详解】
对A，，，，，故A错误；
对B，函数是定义在上的偶函数，，，，故B正确；
对C，，“”推不出“”，而“”可以推出“”，“”是“”的必要不充分条件，故C错误；
对D，样本中心点为，，故D正确；
故选：BD.
10．（2020·全国高三其他模拟）已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为
C．圆的面积等于 D．与的面积之比为
【答案】ACD
【详解】
根据题意可得，，解得，
所以双曲线的方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；
因为以为直径的圆过点，所以，根据（1）渐近线为，可得渐近线倾斜角，易知，
所以，所以直线的倾斜角为或，故选项B错误；
根据双曲线的对称性，不妨设直线的倾斜角为，由可得直线的方程为，分别与渐近线方程和联立，解得或，则，，此时，
故圆的半径，其面积，故选项C正确；
因为为与的公共边，所以与的面积之比等于，故选项D正确.
故选：ACD

11．（2020·全国高三专题练习）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）

A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】AB
【详解】
，
故，共线，故，
即，，故，故.
，正确；数列是等比数列，正确；
，错误；，故错误.
故选：.
12．（2020·山东高三专题练习）设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．的值域为
C．的一个周期为 D．的图像关于点对称
【答案】BC
【详解】
令，则，显然函数为增函数，
当时，为减函数，
根据复合函数单调性可知，在单调递减，
因为，
所以增函数在时，，
即的值域为；
因为，
所以的一个周期为，
因为，令，
设为上任意一点，
则为关于对称的点，
而，
知点不在函数图象上，
故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.
故选：BC
七、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·陕西莲湖区·西安一中高二期中（理））已知命题p：“，，使”．若命题是假命题，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【详解】
因为命题是假命题，
所以是真命题，
即关于的方程有实数解，
，
所以.
故答案为：.
14．（2020·山东高三其他模拟）的展开式中的系数为______.
【答案】-6480
【详解】
，展开式的通项为：，
取，则，
的展开式的通项为：，
取，得到，
故的系数为.
故答案为：.
15．（2020·四川遂宁市·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取得最小值，曲线在点处的切线与直线平行，则_____
【答案】5
【详解】
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴，
由得，时，，由平行线的性质得，
∴．
故答案为：5．
16．（2020·四川高三其他模拟（文））已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为.动点的集合形成一条曲线，这条曲线在平面上部分的形状是__________；此曲线的周长是_______.

【答案】圆弧
【详解】
由题意，此问题的实质是以A为球心、半径为的球在正方休各个面上交线的长度计算.
因为球半径小于1，所以球面只与平面ABCD、相交，
因平面ABCD、为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，
故各段弧长为.
这条曲线周长为.
故答案为：圆弧；
八、 解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·全国高三其他模拟）在①，且，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）若选①，设数列的公差为．
由，可得，解得，；
若选②，当时，，
当时，，满足．
所以；
若选③，设数列的公差为．
，即，则，
又，所以，，所以；
（2）因为，
所以．
则，
上式下式得，
所以，因此，．
18．（2020·上海徐汇区·高三一模）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=．

（1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）；
（2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）．
【答案】（1），；1412（）；
（2）＝或时（）．
【详解】
【解】（1）如图所示，过P作PX⊥OA于X,PY⊥OC与Y,
则，PG=,FE=,

，，-
当矩形PGBF为正方形时，PG=FE,
，，
此时S=1412（）；
（2）


，
记t [，1]，则
对称轴为，∵1－－，
，即或时，（）
（注意：若令，则相应给分）
19．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））三棱锥中，，，.记中点为，中点为
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【详解】
三棱锥三组对棱相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中研究


设长方体的三维分别为、、且，即，解得：
因此以为坐标原点，长方体在处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
（1） ，，
设垂直于和，
所以，
令，，，所以 ，
而，因此所求距离为：
（2），，
设平面的一个法向量为，
则 ，令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则 ，令，则，，
所以，
所以，
所以所求角的余弦值为.
20．（2020·全国高三专题练习（文））已知点在抛物线：上，直线：与抛物线有两个不同的交点.
（1）求的取值范围；
（2）设直线与抛物线的交点分别为，，过点作与的准线平行的直线，分别与直线和交于点和（为坐标原点），求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
解：（1）由抛物线：过点，得.
所以抛物线的方程为.
由得.
由题意，且，即，
因此的取值范围是且．.
（2）设，，显然，，均不为0.
由（1）可知①，②.
由题意可得，的横坐标相等且同为，
因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为.
直线的方程为，点的坐标为.
若要证明，只需证，即证，
即证.
将代入上式，即证，
即证③，
将①②代入③得，此等式显然成立.
所以恒成立，故.
21．（2020·武汉外国语学校高三其他模拟（理））新冠抗疫期间，我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动．某数学小组希望通过将所学的知识应用于我们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控．过程如下：假设小盒中有个黑球，个红球．模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入倍的红球．此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）
（1）分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；
（2）在模型②的前提下：
（i）记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示刚好第次抽到第二个红球对应的概率；
（ii）若规定无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记抽到第二个红球时所需要的次数为，求的数学期望．（精确到个位）
参考数据：，，，．
【答案】（1）在模型①下，所求概率为，在模型②下，所求概率为；（2）（i）；（ii）.
【详解】
（1）记在模型①下，取到红球的概率为，则；
记在模型②下，取到红球的概率为，则；
（2）（i）若第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球．
则对应地有：．
则两次红球都被取出的所有可能情况的概率和为：

利用等比数列求和公式即可得：

；
（ii）由题意可知，的取值依次是、、、、，
特别地，当时，对应的，
由参考数据可得：．
对应的数学期望为：
．
由参考数据可得：．
22．（2020·全国高三其他模拟）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】
（1）因为
所以

令，得，.
所以当时，时，，时，，时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增；
当时在上恒成立，于是在上单调递增：
当时，时，，时，时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.
（2）解法一①当，即时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
依题意有，解得，所以.
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
依题意有，解得，即，
又，故此时不存在满足题意；
③当，即时，在上单调递增，当时，，而，不成立，故此时的不满足题意；
④当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，依题意有，且，无解，此时不存在满足题意；
⑤当，即时，在上单调递增，在上单调递减，依题意有，且，
又，故此时不存在满足题意.
综上，实数的取值范围是
解法二由得，
即，易知，所以
设，，
则，
易知，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.
所以，所以，故实数的取值范围为.