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新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.2函数的单调性与最值 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.2函数的单调性与最值 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，单调递增，单调递减，函数的最值，fx≤M，fx0＝M，fx≥M，解得0a1等内容，欢迎下载使用。
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)因为f(－3)
3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范
围是________.
∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x|
∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cs x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性.
方法一 设－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为
(2)函数f(x)＝ 的单调递增区间是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
f(x)＝ 分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性得到函数f(x)＝ 在(－∞，－1)上单调递增.
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.c
命题点2 求函数的最值
y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减，∴f(x)在[1,3]上单调递增，
命题点3 解函数不等式
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，
命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范围是
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)
1.下列函数在R上为增函数的是A.y＝x2 B.y＝x
y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；y＝x在R上为增函数，故选项B正确；
2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).
A.(－∞，3] B.(2,3)C.(2,3] D.[3，＋∞)
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，
∴f(x)∈(2,3].
A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)
因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c＝lg20.9<0,01，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).
A.f(x)在R上为增函数B.f(e)>f(2)C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D.当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误.
6.(多选)已知函数f(x)＝x－ (a≠0)，下列说法正确的是A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a>0时，f(x)的值域为R
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；
由其图象(图略)可知，B，C正确.
7.函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是__________________.
(－∞，－3]，[0,3]
当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，
8.已知命题p：“若f(x)
_____________________________________________________.
由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.
由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4).
10.已知函数f(x)＝a－ .(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.
f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1
∵y＝2x在R上单调递增且x1
∴ <0, ＋1>0, ＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞).
12.设函数f(x)＝x2 022－ ＋5，则f(x)的单调递增区间为__________，不等式f(x－1)<5的解集为____________.
(0,1)∪(1,2)
由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝x2 022－ ＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减.又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1
不妨令x1
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)因为f(－3)
3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范
围是________.
∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x|
∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cs x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性.
方法一 设－1
确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为
(2)函数f(x)＝ 的单调递增区间是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
f(x)＝ 分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性得到函数f(x)＝ 在(－∞，－1)上单调递增.
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.c
命题点2 求函数的最值
y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减，∴f(x)在[1,3]上单调递增，
命题点3 解函数不等式
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，
命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范围是
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)
1.下列函数在R上为增函数的是A.y＝x2 B.y＝x
y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；y＝x在R上为增函数，故选项B正确；
2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).
A.(－∞，3] B.(2,3)C.(2,3] D.[3，＋∞)
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，
∴f(x)∈(2,3].
A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)
因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c＝lg20.9<0,0
A.f(x)在R上为增函数B.f(e)>f(2)C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D.当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误.
6.(多选)已知函数f(x)＝x－ (a≠0)，下列说法正确的是A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a>0时，f(x)的值域为R
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；
由其图象(图略)可知，B，C正确.
7.函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是__________________.
(－∞，－3]，[0,3]
当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，
8.已知命题p：“若f(x)
_____________________________________________________.
由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.
由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4).
10.已知函数f(x)＝a－ .(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.
f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1
∵y＝2x在R上单调递增且x1
∴ <0, ＋1>0, ＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞).
12.设函数f(x)＝x2 022－ ＋5，则f(x)的单调递增区间为__________，不等式f(x－1)<5的解集为____________.
(0,1)∪(1,2)
由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝x2 022－ ＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减.又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1
不妨令x1
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