新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.11函数的零点与方程的解 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.11函数的零点与方程的解 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，fx＝0，fafb0，fc＝0，一分为二，∴至少需要操作4次，1＋∞等内容，欢迎下载使用。

1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点.2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.(　　)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(　　)
1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是
由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.
2.函数y＝ －ln x的零点所在区间是A.(3,4) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)
当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，
3.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝　－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.
例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)
函数零点所在区间的判定
由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)上.
延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋ ＝0，x2＋lg2x2＝0, －lg2x3＝0，则A.x1设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，
由函数零点存在定理可知，－1因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1　(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点.
(2)若a函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.
例2　(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－　 |x|的零点个数是A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝ |x|的图象如图所示，则y＝f(x)－ |x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.
(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为A.404 D.203
因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数.又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2 023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2 020]上的零点个数为202×2＝404，
又f(x)在(2 020,2 023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个.故f(x)在[0,2 023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2 023]上有406个根.
求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2　(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为A.3　　　B.7　　　C.5　　　D.6
根据题意，令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，
作出f(x)的简图如图所示，
故关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7.
令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cs x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，
故f(x)共有6个零点.
设与y＝4－x2相切的直线为l，
因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，
因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，
因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，
命题点2　根据函数零点的范围求参数
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.当x∈(－∞，－1)时，
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是A.0令h′(x)>0，得0e，所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
因为函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，所以方程f(x)＝a有3个解.作出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示，
1.(2022·焦作模拟)设函数f(x)＝2x＋ 的零点为x0，则x0所在的区间是A.(－4，－2) B.(－2，－1)C.(1,2) D.(2,4)
2.用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为A.(0,0.5)，f(0.125) B.(0,0.5)，f(0.375)C.(0.5,1)，f(0.75) D.(0,0.5)，f(0.25)
因为f(0)f(0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，
当x≤0时，令f(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1(x＝3舍去)，当x>0时，令f(x)＝0，得lg2x＝3x－4，作出y＝lg2x与y＝3x－4的图象，如图所示，由图可知，y＝lg2x与y＝3x－4有两个交点，所以当x>0时，f(x)＝0有两个零点，综上，f(x)有3个零点.
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
5.已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是A.(1,2]　　　B.(1,2)　　　C.(0,1)　　　D.[1，＋∞)
因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，16.已知函数f(x)＝x－ (x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则A.x1可知x27.(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.6
由题意知，f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示.
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
8.(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是A.f(x)＝2x＋x B.f(x)＝x2－x－3C.f(x)＝　＋1 D.f(x)＝|lg2x|－1
选项A，若f(x0)＝x0，则 ＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；
解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则 ＋1＝x0，
选项D，若f(x0)＝x0，则|lg2x0|－1＝x0，即|lg2x0|＝x0＋1，作出y＝|lg2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|lg2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|lg2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数.
9.已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为_____.
由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.
10.(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时， >0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________________________.
f(x)＝x2－1 (答案不唯一)
因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一).
方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点.如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.故实数a的取值范围是(1，＋∞).
y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解，即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点.
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.
13.已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)
令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.
作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a<2，即－2所以f(x)的对称中心是(0,0)，
由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f(x)有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.
15.(2023·南昌模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为
∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)关于直线x＝1对称，又f(x)为定义在R上的偶函数，∴函数f(x)关于直线x＝0对称，作出函数y＝f(x)与直线y＝m(x＋1)的图象，如图所示，要使关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝m(x＋1)有5个交点，
16.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点.