新高考数学一轮复习讲练测课件第6章§6.4数列中的构造问题[培优课] (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第6章§6.4数列中的构造问题[培优课] (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了题型一，思维升华，n＋1－n－1，题型二，n－1，题型三，倒数为特殊数列，课时精练，故选项AB错误，故选项D正确等内容，欢迎下载使用。
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
例1　(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 024等于A.22 023－1 B.42 023－1C.22 023＋1 D.42 023＋1
形如an＋1＝pan＋f(n)型
命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2 024＝42 023－1.
为______________.
例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式.
命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.
例3　(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为A.an＝(2n＋1)·3n B.an＝(n－1)·2nC.an＝(2n－1)·3n D.an＝(n＋1)·2n
命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.
跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于A.n·2n－1 B.n·2nC.(n－1)·2n D.(n＋1)·2n
又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.
(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2 023(S2 023＋2 023)的值为A.22 023－2 B.22 023－1C.2 D.1
S2 023＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2，∴a2 023(S2 023＋2 023)＝2.
令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，
(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝____________.
所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.
例4　(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于A.47B.48C.49D.410
相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)
由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*).则数列{an}的通项公式为an＝___________.
方法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，
又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，
方法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
跟踪训练2　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝______.
f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1.
即0