新高考数学一轮复习讲练测课件第10章§10.3二项式定理 (含解析)

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能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 .(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项______取得最大值；当n是奇数时，中间的两项_______与_______相等，且同时取得最大值.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) 是(a＋b)n的展开式中的第k项.(　　)(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.(　　)(3)通项公式 中的a和b不能互换.(　　)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的.(　　)
因为展开式的通项为Tk＋1＝ ，
A.45 B.20 C.－30 D.－90
令－10＋ ＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
A.31 B.32 C.15 D.16
即3n＝35，所以n＝5，
因为二项式系数之和为2n＝64，
3.若 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为____.
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1　(1)二项式 的展开式中的常数项是A.－45 B.－10 C.45 D.65
(2)已知 的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是A.56 B.84 C.112 D.168
(2)在(2x＋a) 的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为A.3 204　　　B.－160　　　C.160　　　D.－320
∵7－2k≠0，在－2Tk＋1 中，令6－2k＝0，解得k＝3，
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ) 的展开式中x2y6的系数为_____(用数字作答).
(2)在二项式 的展开式中，常数项是_______；系数为有理数的项的个数是______.
若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个.
命题点1　二项式系数和与系数和例3　(1)在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则A.二项式系数和为32B.各项系数和为128C.常数项为－135D.常数项为135
二项式系数与项的系数问题
令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；
②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120.
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝_______；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
命题点2　系数与二项式系数的最值问题例4　(多选)(2023·唐山模拟)下列关于 的展开式的说法中正确的是A.常数项为－160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为1
对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，
∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确.
赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为 [g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为 [g(1)－g(－1)].
跟踪训练2　(1)(多选)对于 的展开式，下列说法正确的是A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为64C.常数项为1 215D.系数最大的项为第3项
由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，
故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…
(2)设 ＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为_____.
因为a∈Z，且0≤a≤13，
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于A.0 B.1 C.11 D.12
因为512 023＋a能被13整除，
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是
二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋1除以13的余数是A.－3 B.2 C.10 D.11
＝12n－2＝(13－1)n－2
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
1. 的展开式中x4的系数为A.10 B.20 C.40 D.80
令10－3k＝4，则k＝2，
令12－3k＝0，得k＝4.
当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项即为所求，
A.2 B.3 C.4 D.5
所以当k＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项.
根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，
5.在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为A.－960 B.960 C.1 120 D.1 680
6.设a＝ ，则当n＝2 023时，a除以15所得余数为A.3　　　B.4　　　C.7　　　D.8
∴a＝4n－1，当n＝2 023时，a＝42 023－1＝4×161 011－1＝4×[(15＋1)1 011－1]＋3，
故此时a除以15所得余数为3.
A.常数项是第3项B.各项的系数和是C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为32
对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确.
8.(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则A.展开式中所有项的二项式系数和为22 023B.展开式中系数最大项为第1 350项
易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；
所以第1 350项不是系数最大项，故B错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，①当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023，②
9.若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝_____，a1＋a2＋…＋a5＝______.
令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；令x＝2，得a0＝25＝32，故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.
10.(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为_________；系数最大的项为_________________.
1 792x5和1 792x6
解得5≤k≤6.又k∈N，∴k＝5或k＝6，∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
11.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是A.120 B.－120 C.60 D.30
由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
所以a1＝－4，对所给等式，两边对x求导，可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
12.(2023·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝_____，2a2＋3a3＋4a4＝_____.
13.若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于A.405 B.810 C.243 D.64
(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1.令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan.又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.
令x＝0，得b0＝1，
由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，