新高考数学一轮复习提升练习考向43 直线与圆锥曲线 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习提升练习考向43 直线与圆锥曲线 (含解析)，共29页。试卷主要包含了直线与圆锥曲线的位置关系等内容，欢迎下载使用。
考向43 直线与圆锥曲线

1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
2．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，

（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】
（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，


故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
【点睛】
方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.


1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.
3.直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.
4.定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等

1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
（1）当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.
（2）直线与双曲线有两个交点相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点相离.
（3）直线与抛物线有两个交点相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点相离.
【知识拓展】
1.圆锥曲线的中点弦问题
（1）AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
2．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.



1．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线（）的右焦点为，直线与双曲线只有1个交点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·模拟预测（理））已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知，分别为椭圆：的左，右焦点，单位圆与的一个公共点为，与异于的交点为，则的面积为______．
4．（2021·全国·模拟预测（理））设M，N是双曲线实轴的两个端点，Q是双曲线上的一点（异于M，N两点），，，则________．


1．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线，直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，记，其中O为坐标原点，则（ ）
A．m的最小值为2，且此时l与x轴平行 B．m的最小值为2，且此时l与x轴垂直
C．m的最大值为2，且此时l与x轴平行 D．m的最大值为2，且此时l与x轴垂直
2．（2021·全国·模拟预测（理））过抛物线的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在第一象限），过A作抛物线的切线交x轴于点C，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江实验中学三模（文））已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
4．（2021·江苏·一模）过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021·云南曲靖·二模（文））已知双曲线的右焦点为，直线､是双曲线的两渐近线，，是垂足.点在双曲线上，经过分别与､平行的直线与､相交于､两点，是坐标原点，的面积为，四边形的面积为.则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·陕西·模拟预测（理））已知抛物线x2＝2py（p＞0）焦点为F，O为坐标原点，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与x轴交于C（2p，0），若|AB|＝17，则△OCF的面积为 ____．
7．（2021·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．
8．（2021·全国·模拟预测（文））已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
9．（2021·全国·模拟预测（文））已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．
10．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
（2）已知，若P在线段上，是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求面积的最大值．
11．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．
12．（2021·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为，直线交双曲线C于M，N两点.
（1）若M（2，3），四边形的面积为12，求双曲线C的方程；
（2）若，且四边形是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围.



1．（2021·山东·高考真题）关于，的方程，给出以下命题；
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
3．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2020·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
5．（2020·全国·高考真题（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．（2020·全国·高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
9．（2021·全国·高考真题（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
10．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．



1．【答案】C
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，结合图象可得直线的斜率k．
【详解】
双曲线的渐近线方程为，

直线经过焦点，当时，只有直线与渐近线平行，与双曲线有1个交点，可得，同理可得，当时，，故．
故选：C．
2．【答案】A
【分析】
由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.
【详解】

由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，
∴d1+d2＝|MF|+|MN|，
当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，
∵抛物线C：y2＝4x，
∴焦点F（1，0），
∴|FN|＝d＝，
设直线l'与x轴的交点为D，
令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，
在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．
故选：A．
3．【答案】
【分析】
由题意，求出直线方程，联立椭圆方程求交点坐标，根据三角形面积公式直接求解.
【详解】
由椭圆：可知，，
所以,
不妨取，
则直线方程为，
联立可解的或，
所以,
所以，
故答案为：
4．【答案】
【分析】
设出Q坐标，求出、的正切函数值，然后结合点在双曲线上，转化求解即可．
【详解】
设，则，，所以，
又Q在双曲线上，可得，所以，可得．
故答案为：．



1．【答案】B
【分析】
记，其中，从而可表示出，化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】
记，其中，则
，当且仅当时取到等号，
因此m的最小值为2，此时l与x轴垂直，m没有最大值．
故选：B
2．【答案】A
【分析】
设点，，联立直线与抛物线方程可得，，，，所以点，，再结合导数的几何含义，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
设点，，
由题意可得抛物线的焦点为，
则直线的方程为，
联立，化简整理可得，，
解得，，
所以点，，
由，可得，，
所以过点A的切线斜率，
所以切线方程，即，
则C点的坐标为，
所以．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】
设，由题意得到，设直线AB方程为，联立方程组得到，根据均为抛物线上的点，得到，两式相加得出关于的方程，求得的值，结合焦点弦的性质，即可求解.
【详解】
设，
因为中点坐标为，可得，，
因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，
联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，
因为均为抛物线上的点，可得，
两式相加得，
即，解得或，
因为，可得或.
故选：D.
4．【答案】D
【分析】
根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．
【详解】
解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为
设线段的中点为，则到准线的距离为：，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、，
根据梯形中位线定理，可得，
再由抛物线的定义知：，，
．
故选：D.

5．【答案】A
【分析】
由双曲线方程求出两条渐近线方程，设，得出两条与渐近线平行的直线方程，联立直线方程求出A、B的坐标，可得与的值，即可求出四边形OAMB的面积，再求出的面积即可.
【详解】
由题意知，双曲线的渐近线方程为，
不妨设，则，设，
所以过M与平行的直线方程为：，
过M与平行的直线方程为：；
所以，解得，同理，解得，
所以，，
得；
又，为等腰三角形，
所以，
所以，所以.
故选：A
6．【答案】32
【分析】
根据抛物线的性质和过焦点直线的关系，联立直线和抛物线得到方程，再根据韦达定理，题中所给条件可以求出，则也可求了.
【详解】
解：∵直线l过点，，
∴，
∴直线l的方程为，
联立直线l与抛物线方程，可得，
设，，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得
，
∴，
∴．
故答案为：32．
7．【答案】
【分析】
设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【详解】
设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，

则，
所以，即，
同理，所以，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，
在中，，
由题得，所以，
解得，所以．
故答案为：﹒
8．【答案】
【分析】
依题意联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可得到，再根据，则，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：依题意联立直线与椭圆方程，消去并整理得，解得或，不妨取，则，，，
所以，，又，所以，因为，所以，即，即所以，解得
故答案为：
9．【答案】
【分析】
设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．
【详解】
设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以
故答案为：.
10．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设点，由中点坐标得，再由直线AB的斜率得，将A、B两点代入抛物线方程中计算可求得得抛物线的方程；
（2）设，且，设点，，求得切线PH、PG的方程，再由点P在切线PG、PH上得出直线GH的方程，与抛物线联立，求得弦长，以及点P到直线GH的距离，表示的面积，根据二次函数的性质可求得三角形面积的最大值.
【详解】
解：（1）设点，则，所以，又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，，
即，所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为；
（2）因为，P在线段上，所以设，且，
设点，，则切线PH、PG的斜率定存在，设直线PH的方程为，与抛物线联立消y得：，
所以，即，解得，所以切线PH的方程为，即，
同理得切线PG的方程为，
又点P在切线PG、PH上，所以，所以直线GH的方程为，即，
直线GH的方程与抛物线联立 ，整理得，所以，
又点P到直线GH的距离为，
所以的面积为，
因为，所以，，所以，所以面积的最大值为．
11．【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据焦点为，且离心率，可得，，即可得解；
（2）显然斜率不为，设过点的直线为，设，．联立整理，得，则有，，设直线AC的方程为，直线BD的方程为，联立结合韦达定理即可得解.
【详解】
（1）∵抛物线的焦点为，∴．
又∵，∴，∴．
∴椭圆E的标准方程为．
（2）由（1）可得，．设过点的直线为，设，．
联立整理，得，
，∴，．
设直线AC的方程为，直线BD的方程为，
联立两条直线方程，解得①，
将，代入①，得②，
将，代入②，得．，
∴直线AC，BD的交点的横坐标为定值－4．
12．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意得四边形是平行四边形，写出四边形的面积的表达式，求得，结合两点距离公式求得，，根据双曲线定义求出，，即可求方程；
（2）联立方程，因为是矩形，则，代入坐标计算化简，结合即可求得结果．
【详解】
(1) 因为直线y=kx交双曲线C于M， N两点，
所以M， N两点关于原点对称，
从而四边形是平行四边形.
设双曲线C的焦距为2c，
则四边形的面积，解得c=2，
从而F1(-2， 0)， F2(2， 0)，所以
于是，解得
所以双曲线C的方程为
(2)设，则
由得
因为
所以，化简得
因为，所以
由，得，
解得
由得，
解得.
因此，e的取值范围为


1．【答案】B
【分析】
根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可.
【详解】
当时，方程表示双曲线；
当时，方程表示两条垂直于轴的直线；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程表示圆；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B
2．【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
3．【答案】A
【分析】
设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
4．【答案】A
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．【答案】B
【分析】
由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】
由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】
本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
6．【答案】B
【分析】
根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】
因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
7．【答案】B
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】

双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
8．【答案】
【分析】
利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】
由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，

，又，
故答案为：
9．【答案】
【分析】
根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】
因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
10．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．