高中数学5.3 导数在研究函数中的应用示范课ppt课件

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1.了解函数的最大值、最小值的含义.2.理解导数与函数最大(小)值的关系.3.会利用导数求函数的最大(小)值.4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用.5.掌握利用导数解决最优化问题的方法
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知识点1　函数在闭区间上的最大(小)值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值. 
不一定在区间端点处取得,且 最大值和最小值都是唯一的
名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)= 在区间[-1,1]上只有最大值,没有最小值.3.函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).4.极值只能在函数区间的内部取得,而最大(小)值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有极值,极值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端点处则一定是极值.
过关自诊1.极值与最值有何区别和联系?
提示 (1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较.(3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
2.下列结论正确的是(　　)A.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是区间[a,b]上的最大值B.若f(x)在区间[a,b]上有极小值,则极小值一定是区间[a,b]上的最小值C.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得D.若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值
解析 函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.
知识点2　函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　　　; 2.将函数y=f(x)的各极值与　　　　　　　的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是　　　　　　　,最小的一个是　　　　　　　. 
名师点睛如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
过关自诊[北师大版教材例题]求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最值.
解 f'(x)=3x2-4x.解方程f'(x)=0,
比较这4个数的大小,可知:函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11.
知识点3　生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点睛用导数解决实际生活问题的基本思路
过关自诊1.在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为(　　)
探究点一　求函数的最大(小)值
角度1.求函数在闭区间上的最大(小)值【例1】 求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
分析 求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值.
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法　求解函数在闭区间上的最值,需注意以下三点:
变式训练1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值:
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,故f(x)的最小值为f(-3)=27,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=55.
角度2.求函数在开区间或无穷区间上的最大(小)值【例2】 求下列函数的最大值与最小值:
分析 没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值.
极小值,在x=3处取得极大值,又当x=1时,f(x)=0;当x0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数f(x)的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x0,解得0