黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（7月份）（五四学制）+

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黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（7月份）（五四学制）（解析版）
一.选择题（请将正确的选项填入表中，每小题3分，共计30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
2．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则AC等于（　　）
A．6 B． C．10 D．12
4．（3分）已知α为锐角，，则α的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
6．（3分）已知∠A为锐角，且，则（　　）
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
7．（3分）如图，E是▱ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE交CD于F（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°（　　）

A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为垂足，且BC：AC＝2：3（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．：
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）

A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
二.填空题（请将正确答案填在相应空格内，每小题3分，共计30分）
11．（3分）计算：2sin30°+2cos60°+3tan45°＝　 　．
12．（3分）若sin28°＝cosα，则α＝　 　度．
13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则tanA＝　 　．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝　 　．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，则BC的长为　 　cm．
16．（3分）等腰三角形的腰长为2cm，底边长为，则顶角为 　 　度．
17．（3分）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是　 　米．

18．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，D为AC上一点，若∠APD＝60°　 　．

19．（3分）在△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，则BC的长为 　 　．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，BC上，且AE＝CF，连接DE，FG⊥DE，连接CG，则tan∠FGC的值是　 　．

三.解答题（共计40分）
21．计算：
（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
（2）．
22．由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：
（1）已知c＝20，∠A＝45°；        
（2）已知a+c＝12，∠B＝60°．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，直接写出的值．

24．如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB的10米C处，已知测角仪器的高CD＝1.5米，求旗杆AB的高．（精确到0.1米）
（供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

25．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？


参考答案与试题解析
一.选择题（请将正确的选项填入表中，每小题3分，共计30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
【分析】先设出原来直角三角形的三边，然后即可得到扩大后的直角三角形的三边长，然后分别写出锐角A的三角函数值，对比即可得到结论．
【解答】解：设原来直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，10b，
原来的直角三角形的sinA＝，cosA＝，
扩大后的直角三角形的sinA＝＝，cosA＝＝＝，
由上可得，在直角三角形中，则锐角A的三角函数值都不变，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角函数值．
2．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝6，
∴BC＝＝＝4，
∴sinA＝＝＝．
故选：C．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则AC等于（　　）
A．6 B． C．10 D．12
【分析】根据直角三角形的特点及三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，
∴tanA＝，AC＝．
故选：A．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义运用．
4．（3分）已知α为锐角，，则α的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】先根据α为锐角及tan30°＝解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）＝，
∴90°﹣α＝30°，
∴α＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
5．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【解答】解：∵△ABC中，∠A，sinA＝，
∴∠A＝∠B＝30°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
6．（3分）已知∠A为锐角，且，则（　　）
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
【分析】根据正弦值随着角度的减小而减小，即可解答．
【解答】解：∵∠A为锐角，且，
∴6°＜∠A≤60°，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦值随着角度的减小而减小是解题的关键．
7．（3分）如图，E是▱ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE交CD于F（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
则图中共有相似三角形有三对，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定．关键是根据已知及相似三角形的判定方法解答．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°（　　）

A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为垂足，且BC：AC＝2：3（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．：
【分析】首先证明△BCD∽△CAD，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知△BCD与△CAD的面积比为（BC：AC）2＝4：9，又△BCD与△CAD可看作同高（高为CD）的两个三角形，则它们的面积比等于底之比，从而得出结果．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，
∠B＝∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∴△BCD∽△CAD，
∴△BCD的面积：△CAD的面积＝（BC：AC）2＝4：8．
又∵△BCD的面积：△CAD的面积＝（×BD×CD）：（，
∴BD：AD＝4：8．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、性质及同高的两个三角形的面积比等于底之比．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）

A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【分析】根据平行四边形性质得出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，推出△DEF∽△BAF，求出＝（）2＝，＝＝，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出＝＝＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝3：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于5：10：25，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
二.填空题（请将正确答案填在相应空格内，每小题3分，共计30分）
11．（3分）计算：2sin30°+2cos60°+3tan45°＝　5　．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：2sin30°+2cos60°+4tan45°
＝2×+2×
＝5．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
12．（3分）若sin28°＝cosα，则α＝　62　度．
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：∵sin28°＝cosα，
∴α＝90°﹣28°＝62°．
【点评】掌握互为余角的正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则tanA＝　　．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，
∴BC＝＝12．
∴tanA＝＝．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝　　．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，则BC的长为　8　cm．
【分析】利用锐角三角函数定义求出所求边长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴BC＝ABsinA＝10×＝8cm，
故答案为：2

【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
16．（3分）等腰三角形的腰长为2cm，底边长为，则顶角为 　120°　度．
【分析】作底边上的高，根据等腰三线合一的性质，也是底边上的中线，利用勾股定理求出底边上的高，然后代入面积公式求解即可．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝cm，
∴AD＝cm，
∴∠B＝30°，
∴顶角为180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为：120°．

【点评】本题考查解直角三角形问题，关键是利用等腰三角形三线合一和勾股定理求解．
17．（3分）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是　8　米．

【分析】Rt△ABP和Rt△CDP相似，即1.2：1.8＝CD：12求得该古城墙的高度．
【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，
所以Rt△ABP∽Rt△CDP，
所以AB：BP＝CD：PD
即1.2：8.8＝CD：12，
解得CD＝8米．
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，从△ABP和△PCD相似，即求得PD．
18．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，D为AC上一点，若∠APD＝60°　　．

【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出＝，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴＝，
∵AB＝BC＝3，CP＝BC﹣BP＝6﹣1＝2，
即＝，
解得：CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
19．（3分）在△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，则BC的长为 　5或3　．
【分析】分两种情况，过作BC上的高，构造直角三角形，求出BC，CH的长，即可求解．
【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，

∵AB＝8，∠B＝60°，
∴BH＝AB＝4，
∴AH＝BH＝7，
∵AC＝7，
∴CH＝＝1，
∴BC＝BH+CH＝6+1＝5；
如图，过A作AH⊥BC交BC延长线于H，

∵AB＝6，∠B＝60°，
∴BH＝AB＝2，
∴AH＝BH＝4，
∵AC＝7，
∴CH＝＝1，
∴BC＝BH﹣CH＝4﹣3＝3．
∴BC的长是5或7．
故答案为：5或3．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是分两种情况讨论．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，BC上，且AE＝CF，连接DE，FG⊥DE，连接CG，则tan∠FGC的值是　　．

【分析】延长GF交DC的延长线于点M，如图，设正方形ABCD的边长为3a，利用正方形的性质得AE＝CF＝a，AD＝CD＝3a，再证明△AED≌△CFM得到AD＝CM＝3a，则可判断CG为斜边DM上的中线，所以CG＝CM，于是得到∠FGC＝∠M，然后在Rt△FCM中利用正切的定义求出tan∠M即可得到tan∠FGC的值．
【解答】解：延长GF交DC的延长线于点M，如图，设正方形ABCD的边长为3a，
∵AE＝CF，BE＝2AE，
∴AE＝CF＝a，AD＝CD＝2a，
∵FG⊥DE，
∴∠EGF＝90°，
∴∠GEB+∠BFG＝180°，
而∠GEB+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠BFG，
而∠BFG＝∠CFM，
∴∠AED＝∠CFM，
在△AED和△CFM中
，
∴△AED≌△CFM，
∴AD＝CM＝3a，
在Rt△DGM中，∵CD＝CM＝3a，
∴CG为斜边DM上的中线，
∴CG＝CM，
∴∠FGC＝∠M，
在Rt△FCM中，tan∠M＝＝＝，
∴tan∠FGC＝．
故答案为．

【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决本题的关键是把求∠FGC的正切值转化为∠M的正切值．
三.解答题（共计40分）
21．计算：
（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
（2）．
【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝6×（）2﹣×﹣2×
＝6×﹣﹣
＝2﹣﹣
＝﹣；
（2）原式＝
＝
＝﹣．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
22．由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：
（1）已知c＝20，∠A＝45°；        
（2）已知a+c＝12，∠B＝60°．
【分析】（1）先利用互余计算∠B的度数，再利用∠A的正弦求a，从而可得到b的值；
（2）先利用互余计算∠A的度数，再利用∠A的正弦得到a＝c，接着利用a+c＝12可计算出c＝8，从而得到a＝4，然后根据勾股定理计算b的值．
【解答】解：（1）∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵sinA＝，
∴a＝20sin45°＝10，
而b＝a，
∴b＝10；
（2）∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵sinA＝，
∴a＝c•sin30°＝c，
∵a+c＝12，
∴c+c＝12，
∴c＝8，
∴a＝c＝4，
∴b＝＝＝4．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，直接写出的值．

【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据位似的性质作图即可；根据相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求.
（2）如图，ΔA2B2C2 即为所求．
由题意得，△A1B1C3与△A2B2C4的相似比为2：1，
∴．

【点评】本题考查作图﹣平移变换、位似变换，熟练掌握平移的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．
24．如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB的10米C处，已知测角仪器的高CD＝1.5米，求旗杆AB的高．（精确到0.1米）
（供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和邻边，直接根据正切求出对边即可解决．
【解答】解：∵CD⊥BC，AB⊥BC，
∴四边形DCBE是矩形，
∴DE＝BC＝10米，
在Rt△ADE中，
∵DE＝10米，∠ADE＝40°，
∴AE＝DE•tan40°≈10×0.84＝8.6（米），
∴AB＝AE+BE＝8.4+5.5＝9.8（米）．
答：旗杆AB的高是9.9米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10，①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE＝AQ•sin∠BAO＝（10﹣2t）•＝8﹣t，再利用三角形面积解得t即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由题意，得，
解得，
所以，直线AB的解析式为y＝﹣；

（2）由AO＝7，BO＝8得AB＝10，
所以AP＝t，AQ＝10﹣2t，
①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以＝，
解得t＝（秒），
②当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以＝，
解得t＝（秒）；
∴当t为秒或，△APQ与△AOB相似；

（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，sin∠BAO＝＝，
在Rt△AEQ中，QE＝AQ•sin∠BAO＝（10﹣5t）•t，
S△APQ＝AP•QE＝t），
＝﹣t2+4t＝，
解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．
∴当t为5秒或3秒时，△APQ的面积为

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．