甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数  学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．2．已知直线：与直线：平行，则（    ）A．0 B．0或 C． D．0或3．著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C（太阳及地球半径忽略不计），在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．4．设O为坐标原点，A，B是抛物线C：与圆E：关于y轴对称的两个交点，若，则（    ）A．4 B．2 C． D．5．在抛物线上有一点P，则P到椭圆的左顶点的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．6．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（    ）A．120° B．150° C．30°或150° D．60°或120°7．已知A，B分别为双曲线C：的左、右顶点，M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，（）．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．8．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②．若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，为“阿基米德三角形”，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（    ）A．0 B．1 C． D．410．已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则（    ）A．当时，的面积为 B．不存在m，使为直角三角形C．存在m，使四边形FBEA的面积最大 D．存在m，使的周长最大11．已知O为坐标原点，，P，Q是抛物线C：上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ）A．周长的最小值为B．若，则的最小值为4C．若直线PQ过点F，则直线OP与OQ的斜率之积恒为－2D．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为12．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质．若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记．下列说法正确的是（    ）A．M的值与点P在椭圆上的位置有关 B．M的值与点P在椭圆上的位置无关C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，AB是圆的直径，则______．14．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于点M，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为______．（用含p的代数式表示）15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2，则______．16．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左、右焦点，P为椭圆在第一象限上的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为______．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点．（1）求的值；（2）求的周长．18．（12分）已知抛物线C：上一点到焦点的距离为3．（1）求抛物线C的方程；（2）设P，Q为抛物线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，则直线PQ是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．19．（12分）已知椭圆：与抛物线C：有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆于A，B两点，且．（1）求椭圆与抛物线C的方程；（2）如图，O为坐标原点，若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与以椭圆的焦点F为圆心，为半径的圆F交于M，N两点，证明：为定值．20．（12分）已知椭圆E：的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线G：的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B两点，与G交于C，D两点．（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）是否存在常数，使为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为B．已知C的短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C上，且异于椭圆的上、下顶点，M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若（O为原点），且，求直线PB的斜率．22．（12分）如图，椭圆C：的离心率是，短轴长为，左、右顶点分别为，，过椭圆与抛物线E：的公共焦点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，M为PQ的中点．（1）求椭圆C和抛物线E的方程；（2）记的面积为，的面积为，若，求直线l在y轴上截距的取值范围． 参考答案一、选择题1．D    2．D    3．C   4．D   5．A   6．B   7．D   8．C二、选择题9．AB   10．AC   11．BD   12．BD三、填空题13．3   14．   15．    16．4四、解答题17．解：（1）由题意得，l：，设，，．联立整理得，所以所以．（5分）（2）的周长．因为，又，所以，因为点B在双曲线的右支上，所以．同理，因为点A在双曲线的左支上，所以．所以．所以．（10分）18．解：（1）因为点到焦点的距离为3，所以点M到抛物线准线的距离为，解得，所以抛物线C的方程为．（5分）（2）设直线PQ的方程为，，，由得，．则．因为以线段PQ为直径的圆过原点O，所以，则，所以，解得或（舍去）．所以直线PQ的方程为，所以直线PQ过定点．（12分）19．（1）解：椭圆：的焦点为，抛物线C：的焦点为，所以①，由可得，解得，所以②，由①②可得，，（4分）所以椭圆的方程为，抛物线C的方程为．（6分）（2）证明：设，则，圆P的方程为，圆F的方程为，所以直线MN的方程为，（9分）设点F到直线MN的距离为d，则，所以，所以为定值．（12分）20．解：（1）设椭圆E与抛物线G的公共焦点为，所以焦点到直线的距离为，解得，所以，，由，得，则，所以椭圆E：，抛物线G：．（4分）（2）由（1）知，设直线l：，，，，，由得，所以，，（6分）所以，（8分）由得，所以，所以，（10分）所以。若为常数，则，所以．（12分）21．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，依题意，，，又，可得，，．所以椭圆C的方程为．（4分）（2）设，．设直线PB的斜率为，又，则直线PB的方程为，与椭圆方程联立整理得，解得，代入，得，所以直线OP的斜率．在中，令，得．由题意得，所以直线MN的斜率为．由，得，化简得，则．所以直线PB的斜率为或．（12分）22．解：（1）根据题意得解得，，，抛物线焦点F为，所以椭圆C：，抛物线E：．（4分）（2）设l：，，，，，联立整理得，则，，，，所以．（7分）联立整理得，则，，，，所以，（10分）因为，所以，解得，l在y轴上的截距或，因此直线l在y轴上的截距的取值范围是．（12分）