精品解析：广东省深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

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2021－2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，共30分）
1. 下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A. 6排10座 B. 东经118°，北纬40° C. 中山北路30号 D. 巴东北方向
【答案】D
【解析】
【分析】平面内要确定点的位置，必须知道两个数据才可以准确确定该点的位置．
【详解】解：A、 6排10座能确定物体位置，此选项不符合题意；
B、东经118°，北纬40°能确定物体位置，此选项不符合题意；
C、中山北路30号能确定物体位置，此选项不符合题意；
D、巴东北方向，只有方向，没有距离，故不能确定位置，符合题意．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．
2. 在实数，﹣，，，3.14159，0.01001000100001000001中，无理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义,无限不循环的小数是无理数即可判断．
【详解】解：实数，3.14，0.01001000100001000001中，分数是有理数，是无理数，是无理数，=2是有理数，3.14是有理数，0.01001000100001000001是有理数，
∴无理数有，共2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查无理数的定义，解题的关键是熟知无理数的定义．
3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：A、=3，故不是最简二次根式；
B、最简二次根式；
C、=，故不是最简二次根式；
D、=，故不是最简二次根式；
故选B．
【点睛】本题考查最简二次根式，涉及二次根式的性质，属于基础题型
4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 1，，2 D. ，，5
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵42+52=16+25=41＞36=62∴不能组成直角三角形，故A选项不正确；
B、∵52+122=25+144=169＜225=152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵12+（）2=22，∴能组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵（）2+（）2=2+3=5＜25=52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
5. ＋1的结果是介于下列哪两个数之间（　　）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据算术平方根性质对无理数进行估算即可得出答案.
【详解】解：∵，即，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查实数的估算，熟练掌握算术平方根性质进行无理数估算是解题的关键.
6. 若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　）
A. 10 B. C. 10或 D. 14
【答案】C
【解析】
【详解】有两种情况，
当8为直角边时，斜边长为
当8为斜边时，另一直角边长为
所以，第三边的长为10或
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理.运用分类讨论是解题的关键．
7. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义对A、D进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断．
【详解】解：A. ，所以选项A错误；
B. ，所以选项B错误；
C. ，所以选项C正确；
D. ，所以选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、平方根．解题关键在于掌握运算法则．
8. 若直线y＝2x+b经过点A(﹣2，m)，B(1，n)，则m，n的大小关系正确的是（　　）
A. m＜n B. m＞n C. m＝n D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由k=2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-2＜1，即可得出m＜n．
【详解】解：∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵-2＜1，
∴m＜n．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9. 若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n＋1，n﹣3）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点（﹣2，n）的纵坐标n＝0，代入求出点（n+1，n﹣3）的坐标，再确定所在象限即可．
【详解】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n＝0，
∴点坐标为（1，﹣3）．
∵点（1，﹣3）在第四象限
∴点（n+1，n﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标轴上点的特征、判断点所在的象限；关键在于掌握好坐标系下“点”的基础知识．
10. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①a＝4.5；
②甲的速度是60km/h；
③乙刚开始的速度是80km/h；
④乙出发第一次追上甲用时80min．其中正确的是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
a=4+0.5=4.5，故①正确，
甲的速度是：460÷（7+）=60km/h，故②正确，
设乙刚开始的速度为xkm/h，则4x+（7-4.5）×（x-50）=460，得x=90，
故③不正确，
设经过bmin，乙追上甲，
90×=60×，
解得，b=80，
故④正确，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，列一元一次方程解应用题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
二、填空题（共5小题，共15分）
11. 若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平方根的定义和相反数得出a-1+4-2a=0，求出a=3，求出a-1=2，即可得出答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是a-1和4-2a，
∴a-1+4-2a=0，
∴a=3，
∴a-1=2，
∴这个正数m的值是22=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根和相反数的应用，解此题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
12. 已知点在第二象限，且到轴的距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“点到轴距离是2，到轴的距离是3”，可得 ， ，再由点在第二象限，即可求解．
【详解】解：∵点到轴的距离是2，到轴的距离是3，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点在第二象限，
∴ ， ，
∴点的坐标为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点所在象限的坐标特征，熟练掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13. 如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和-1，则点C所对应的实数是____________．

【答案】2+1
【解析】
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
【详解】解：设点C所对应的实数是x
∵A、B两点对应的实数是和-1，
∴A、B两点相距个单位，
∵点B与点C关于点A对称，
∴AB=AC
∴
∴
∴点C所对应的实数是
故答案为：
14. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝14，且AH∶AE＝3∶4，那么AH等于____．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意设，则可得，，即可得，由勾股定理列方程求出x的值即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴设，则，，
，，和是四个全等的直角三角形，
，
在中，，
，
解得：，（舍去）．
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解答此题的关键．
15. 如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线AC折叠，使点D落在点E处，则BF的长为____．

【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得到，设，根据勾股定理计算即可；
【详解】∵四边形ABCD时矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，翻折变换，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
三．解答题（第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，满分55分）
16. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，立方根，绝对值化简，再计算加减法即可；
（2）先利完全平方公式与平方差公式计算，合并化简即可．
【详解】解：（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=．
【点睛】本题主要考查实数混合运算以及二次根式计算，掌握基本知识是解题关键．
17. 为了解某中型车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q（升）
50
42
34
26
…
（1）如表反映的两个变量中，自变量是 　 　，因变量是 　 　．
（2）根据表可知，汽车行驶4小时时，该车油箱的剩余油量为　 　升，汽车每小时耗油 　 　升．
（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用t来表示）　 　．
【答案】（1）汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q；（2）18，8；（3）Q＝50﹣8t（0≤t≤6.25）；
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶1小时，油量减少8L，据此可得汽车行驶4小时时，该车油箱的剩余油量．
（3）根据（2）中的信息，列出函数关系式即可．
【详解】解：（1）在这个变化过程中，油箱剩余油量随汽车行驶时间变化而变化，所以汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量；
故答案为：汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q；
（2）由表格可知，（50-42）÷（1-0）=8（升），（42-34）÷（2-1）=8（升），（34-264）÷（3-2）=8（升），
所以，汽车每行驶1小时，耗油8升，汽车行驶4小时时，耗油量为8×4＝32（升），该车油箱的剩余油量为50-32=18（升）；
故答案为：18，8；
（3）由（2）可得，Q＝50﹣8t（0≤t≤6.25）；
故答案为： Q＝50﹣8t（0≤t≤6.25）；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据表格中的数据求出函数关系式．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）求出△ABC的面积为　 　．
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．

【答案】（1）4；（2）△A1B1C1为所求作的三角形，画图见详解；（3）点P的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【解析】
【分析】（1）利用割补法求△ABC面积，S△ABC=S梯形AODC-S△ABO-S△CDB代入计算即可；
（2）利用关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，先求出A、B、C对称点坐标A1（0，-1），B1（2，0），C1（4，-3）．然后描点A1（0，-1），B1（2，0），C1（4，-3）．再顺次连结线段A1B1，B1C1．C1A1即可；
（3）点P在y轴上，根据三角形面积先求出底AP的长，在分两种情况点P在点A的上方与下方，求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）过点C作CD⊥x轴于D，
∵A（0，1），B（2，0），C（4，3），
∴AO=1，OB=2，OD=4，CD=3，BD=OD-OB=4-2=2，
S△ABC=S梯形AODC-S△ABO-S△CDB
=，
=，
=，
=4，
故答案为4；

（2）∵△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
∴A1（0，-1），B1（2，0），C1（4，-3）．
描点：A1（0，-1），B1（2，0），C1（4，-3）．
顺次连结A1B1，B1C1．C1A1．
则△A1B1C1为所求作的三角形；
（3）点P在y轴上，以AP底，以OB为高，
∴S△ABP=，
∴，
∴，
设点P的坐标为（0，n），
当点P在点A下方，1-n=4，
解得n=-3，
当点P在点A上方， n-1=4，
解得n=5，
△ABP的面积为4，点P的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【点睛】本题考查割补法求三角形面积，用描点法化轴对称图形方法，根据三角形面积建立AP的方程，利用分类讨论思想求出点P坐标是解题关键．
19. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝．
（1）求证：∠ACE＝90°；
（2）求△ACE的斜边AE上的高的长．

【答案】（1）证明见祥解；（2）△ACE的斜边AE上的高的长为．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理先求出AC与CE的长，在利用勾股定理的逆定理可以证明∠ACE＝90°．
（2）根据三角形面积得出S△ACE=，可以求得CF的长；
【详解】（1）证明：在△ABC中，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
根据勾股定理AC2=；
在△EDC中，
∵∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
根据勾股定理CE2=，
在△ACE中，
∵AC2+CE2=13+52=65=AE2，
∴△ACE为直角三角形，
∴∠ACE＝90°；
（2）解：过C作CF⊥AE于F，
∵AC2，CE2=，
∴AC＝．CE=2，
∴S△ACE=即，
∴．
∴△ACE的斜边AE上的高的长为．

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键．
20. 已知直线l1与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6），将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求出直线l1的函数表达式．
（2）直线l2的函数表达式是 　 　，△ODC的面积为 　 　．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求出直线的表达式即可；
（2）根据直线的表达式结合“上加下减”的平移规则即可得到直线的表达式，根据的表达式确定点C，D的坐标，依据三角形面积公式即可求出△ODC的面积．
【详解】解：（1）设直线的表达式为
把点A（8，0），点B（0，6）代入得：

解得，
∴直线l1的函数表达式为
（2）将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，如图，

∴直线l2的函数表达式为
令，则；
令，则，解得，
∴，
∴
故答案为：，
【点睛】此题主要考查了一次函数几何变换，正确得出函数与坐标轴交点是解题关键．
21. 某电信公司手机通讯有两种收费方式：（A）计时制：0.5元/min；（B）包月制：月租12元，另外通话费按0.2元/min．
（1）写出两种方式每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式．
（2）某手机用户平均每个月通话时间为60min，他采用哪种方式较合算？为什么？
（3）如果该用户本月预缴了100元的话费，按包月制算，该用户本月可通话多长时间？
【答案】（1）（A）计时制：y=0.5 x，（B）包月制：y=12+0.2 x；（2）当x=60时，（A）计时制：y=0.5×60=30元，（B）他采用包月制方式较合算；（3）用户本月可通话440min．
【解析】
【分析】（1）根据计时制每分钟费用×通话时间=月缴费，根据包月制月租费+每分钟费用×通话时间=包月费列出关系式即可；
（2）利用自变量x=60时，求两种费用的函数值，再比较即可；
（3）根据月缴费与包月制函数关系式，构造一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）（A）计时制每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式：y=0.5 x，
（B）包月制每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式：y=12+0.2 x；
（2）当x=60时，（A）计时制：y=0.5×60=30元，
（B）包月制：y=12+0.2 ×60=12+12=24元，
∵24元＜30元，
∴他采用包月制方式较合算；
（3）根据题意得：12+0.2 x=100
解得x=440min，
用户本月可通话440min．
【点睛】本题考查一次函数在生活中的运用，列函数关系式，比较函数值大小，利用函数值建构方程，
熟悉一次函数在生活中的运用，掌握列函数关系式方法，比较函数值大小方法，利用函数值建构方程以及解方程的能力是解题关键．
22. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）证明直线y＝kx＋b与直线y＝x互相垂直；
（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）点B坐标为（2，1），k=-2，b=5；（2）证明见解析；（3）存在，点P坐标为（-5，0）或（，0）或（，0）．
【解析】
【分析】（1）把点B横坐标代入y＝x可求出点B坐标，把A、B两点坐标代入y＝kx＋b可得关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得出k、b的值；
（2）根据O、A、B三点坐标，利用两点间距离公式可得OA、OB、AB的长，利用勾股定理逆定理即可得结论；
（3）设点P坐标为（x，0），分PA=PB、AP=AB、BA=BP三种情况，根据两点间距离公式分别求出x的值即可得答案．
【详解】（1）∵点B在直线y＝x图象上，且横坐标为2，
∴当x=2时，y=1，
∴点B坐标为（2，1），
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，
∴，
解得：k=-2，b=5．
（2）∵A（0，5），B（2，1），O（0，0），
∴OA2=25，AB2=（2-0）2+（1-4）2=20，OB2=（2-0）2+（1-0）2=5，
∴OA2=AB2+OB2，
∴△OAB是直角三角形，且∠ABO=90°，
∴直线y＝kx＋b与直线y＝x互相垂直．
（3）设点P坐标为（x，0），
∵A（0，5），B（2，1），
∴AB2=（2-0）2+（1-4）2=20，PA2=x2+52=x2+25，PB2=（x-2）2+1=x2-4x+5，
①当PA=PB时，x2+25=x2-4x+5，
解得：x=-5，
∴点P坐标为（-5，0）．
②当PA=AB时，x2+25=20，
∴x2=-5（舍去），
③当AB=PB时，x2-4x+5=20，
解得：x1=，x2=，
∴点P坐标为（，0）或（，0）．
综上所述：存在点P使△PAB为等腰三角形，点P坐标为（-5，0）或（，0）或（，0）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、利用待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式及勾股定理逆定理的运用等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．