黑龙江省鸡西市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类

这是一份黑龙江省鸡西市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类，共24页。试卷主要包含了据交通运输部信息显示，分解因式等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省鸡西市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2023•黑龙江）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 　 　．
2．（2021•黑龙江）人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发﹣﹣龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为 　 　．
二．估算无理数的大小（共1小题）
3．（2022•黑龙江）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为 　 　．
三．规律型：图形的变化类（共3小题）
4．（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 　 　上．

5．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 　 　．

6．（2021•黑龙江）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2021＝　 　．

四．因式分解-提公因式法（共1小题）
7．（2023•宿迁）分解因式：x2﹣2x＝　 　．
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
8．（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为 　 　．
六．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
9．（2023•黑龙江）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 　 　．
10．（2021•黑龙江）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 　 　．
七．函数自变量的取值范围（共2小题）
11．（2023•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（2021•黑龙江）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 　 　．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
13．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是 　 　．

九．二次函数图象与几何变换（共1小题）
14．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　 　．
一十．角平分线的性质（共1小题）
15．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　 　．

一十一．菱形的性质（共1小题）
16．（2021•黑龙江）菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　 　．
一十二．矩形的判定（共1小题）
17．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

一十三．正方形的判定（共1小题）
18．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　 　，使得矩形ABCD为正方形．

一十四．垂径定理（共1小题）
19．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 　 　．

一十五．三角形的外接圆与外心（共1小题）
20．（2021•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 　 　．

一十六．切线的性质（共1小题）
21．（2023•黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　 　°．

一十七．扇形面积的计算（共1小题）
22．（2021•黑龙江）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　．

一十八．圆锥的计算（共3小题）
23．（2023•黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　 　cm．
24．（2022•黑龙江）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为 　 　．
25．（2021•黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　 　cm2．

一十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
26．（2023•黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　 　．
二十．旋转的性质（共1小题）
27．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　 　．

二十一．概率公式（共1小题）
28．（2022•黑龙江）在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是 　 　．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2023•黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 　 　．
30．（2021•黑龙江）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 　 　．

黑龙江省鸡西市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2023•黑龙江）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 　5.699×107　．
【答案】5.699×107．
【解答】解：5699万＝56990000＝5.699×107．
故答案为：5.699×107．
2．（2021•黑龙江）人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发﹣﹣龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为 　2.6838×1011　．
【答案】2.6838×1011．
【解答】解：2683.8亿＝268380000000＝2.6838×1011，
故答案为：2.6838×1011．
二．估算无理数的大小（共1小题）
3．（2022•黑龙江）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵3＝＜＜＝4，
∴a＝3，b＝4，
即＝．
故答案为：．
三．规律型：图形的变化类（共3小题）
4．（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 　OC　上．

【答案】OC．
【解答】解：∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
……
每六个一循环，
2013÷6＝335……3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC．
5．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 　485　．

【答案】485．
【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
6．（2021•黑龙江）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2021＝　　．

【答案】．
【解答】解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，，，…，，
∴，
故答案为：．
四．因式分解-提公因式法（共1小题）
7．（2023•宿迁）分解因式：x2﹣2x＝　x（x﹣2）　．
【答案】x（x﹣2）．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
8．（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为 　＝　．
【答案】＝．
【解答】解：设乙车间每天生产x个，则甲车间每天生产（x+10）个，
由题意得：＝，
故答案为：＝．
六．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
9．（2023•黑龙江）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 　﹣3≤m＜﹣2　．
【答案】﹣3≤m＜﹣2．
【解答】解：解不等式x+5＞0，得：x＞﹣5，
解不等式x﹣m≤1，得：x≤m+1，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解为﹣4、﹣3、﹣2，
∴﹣2≤m+1＜﹣1，
∴﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
10．（2021•黑龙江）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 　﹣＜a≤0　．
【答案】﹣＜a≤0．
【解答】解：，
由不等式①，得 x≥3a﹣2，
由不等式②，得 x≤2，
∴3a﹣2≤x≤2，
∵不等式组有5个整数解，
∴x＝2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜3a﹣2≤﹣2，
∴﹣＜a≤0，
故答案为﹣＜a≤0．
七．函数自变量的取值范围（共2小题）
11．（2023•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
12．（2021•黑龙江）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 　1≤x≤2　．
【答案】1≤x≤2．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0，
解得x≤2，x≥1，
∴1≤x≤2．
故答案为：1≤x≤2．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
13．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是 　24046　．

【答案】24046．
【解答】解：∵OB＝2，
∴B（2，0），
∵AB⊥x轴，
∴点A的横坐标为2，
∵直线l1：y＝x，
∴点A的纵坐标为＝，
∴∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∵直线l2：y＝x，
∴C（xC，），
∴＝，
∴∠BOC＝60°，
∴OC＝，
∴C点的横坐标为：＝，
∴S△ABC＝＝，
∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，
∴BC∥B1C1∥B2C2，
∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，
∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，
∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，
∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，
∴OB＝，OB1＝，
∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴AB∥A1B1∥A2B2，
∴，，
∵BC∥B1C1∥B2C2，
∴，，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC∽△A1B1C1，
同理△ABC∽△A2B2C2，
∴＝4S△ABC，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，
∴＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，
＝22×2023×＝24046．
故答案为：24046．
九．二次函数图象与几何变换（共1小题）
14．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　y＝2（x+1）2﹣2　．
【答案】y＝2（x+1）2﹣2．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
一十．角平分线的性质（共1小题）
15．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　3　．

【答案】3．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD+×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．

一十一．菱形的性质（共1小题）
16．（2021•黑龙江）菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　27+或27﹣　．
【答案】27+9或27﹣9．
【解答】解：当AF在AD上方时，如图，延长FA交BC于E，

∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BE＝3，AE＝3，
S菱形ABCD＝BC×AE＝6×＝18，
∴S△ABD＝＝9，
S△ABF＝，
S△ADF＝，
∴S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF＝9，
当AF在AD下方时，如图，

则S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD＝27﹣9，
故答案为：27+9或27﹣9．
一十二．矩形的判定（共1小题）
17．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　AB⊥BC　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
一十三．正方形的判定（共1小题）
18．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　AB＝AD（答案不唯一）　，使得矩形ABCD为正方形．

【答案】AB＝AD（答案不唯一）．
【解答】解：AB＝AD．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
一十四．垂径定理（共1小题）
19．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 　2　．

【答案】2．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案为：2．

一十五．三角形的外接圆与外心（共1小题）
20．（2021•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 　　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案为：．

一十六．切线的性质（共1小题）
21．（2023•黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　34　°．

【答案】34．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠B＝28°，
∴∠AOC＝2∠B＝56°，
∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，
故答案为：34．
一十七．扇形面积的计算（共1小题）
22．（2021•黑龙江）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 　+π　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．

一十八．圆锥的计算（共3小题）
23．（2023•黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　12　cm．
【答案】12．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得•2π•r•13＝65π，
解得r＝5，
所以圆锥的高＝＝12（cm）．
故答案为：12．
24．（2022•黑龙江）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为 　26+10π　．
【答案】26+10π．
【解答】解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，
∴圆锥的母线长为13，
∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13+2π×5＝26+10π．
故答案为26+10π．
25．（2021•黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　36π　cm2．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵底面圆的半径为3cm，
∴底面圆的周长为6π（cm），即圆锥侧面展开图扇形的弧长为6π cm，
∴这个冰淇淋外壳的侧面积＝×12×6π＝36π（cm2）
故答案为：36π．
一十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
26．（2023•黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　6或3+2或3﹣2　．
【答案】6或3+2或3﹣2．
【解答】解：由题意矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，

可知点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，
如图1，延长BA交OA的另一侧于点E，则此时△ADE是直角三角形，
点E到直线BC的距离为BE的长度，即BE＝2AB＝6；
当过点D的直线与圆相切于点E时，△ADE是直角三角形，分两种情况：
①如图2，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴EG⊥AD，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝3，
∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，
由勾股定理可得DE＝＝6，
∵S△AED＝AE•DE＝AD•EG，
∴EG＝2，
∴E到直线BC的距离EH＝EG+GH＝3+2；
②如图3，过点E作EN⊥BC交BC于点N，交AD于点M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴NM⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，
由勾股定理可得DE＝＝6，
∵S△AED＝AE•DE＝AD•EM，
∴EM＝2，
∴E到直线BC的距离EN＝MN﹣GN＝3﹣2；
综上，点E到直线BC的距离是6或3+2或3﹣2，
故答案为：6或3+2或3﹣2．
二十．旋转的性质（共1小题）
27．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　4+　．

【答案】．
【解答】解：∵线段CE为定值，
∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，
∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，
∴∠ECA＝∠BAC＝30°，
过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，
∴AG＝AC＝，
∵点F的在以A为圆心，AB长为半径的圆上，
∴AF＝AB＝4，
∴点F到CE的距离最大值为4+，
∴，
故答案为：．


二十一．概率公式（共1小题）
28．（2022•黑龙江）在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：∵数的总个数有9个，绝对值不大于2的数有﹣2，﹣1，0，1，2共5个，
∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是．
故答案为．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2023•黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，
∴恰好是一红一白的概率是＝，
故答案为：．
30．（2021•黑龙江）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：画树状图如图：

共有20种等可能的结果，两次都摸到黄球的结果有2种，
∴两次都摸到黄球的概率为＝，
故答案为：．