辽宁省抚顺市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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辽宁省抚顺市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2021•辽宁）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．
​
3．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


4．（2021•辽宁）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

三．三角形综合题（共1小题）
5．（2021•辽宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．

四．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．

7．（2021•辽宁）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

五．几何变换综合题（共2小题）
8．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 　 　；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．


9．（2023•辽宁）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
​
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023•辽宁）小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离AC（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度CD（结果取整数）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
11．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

12．（2021•辽宁）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）


辽宁省抚顺市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2021•辽宁）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，
由题意得：45m≤60（140﹣m），
解得：m≤80，
答：该公司最多购买80辆A型公交车．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．
​
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）P（，5）；
（3）Q（0，+）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，4）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点B（3，0），点C（0，4），
∴OB＝3，OC＝4，
∴tan∠OBC＝，
∴BE＝EF，BF＝EF，
∴△BEF的周长＝3EF，
∵△BEF的周长是线段PF长度的2倍，
∴3EF＝2PF，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴3k+4＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），
∴EF＝﹣t+4，PF＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，
∴3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），
解得t＝3（舍）或t＝，
∴P（，5）；
（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴P（1，），
∵FP⊥x轴，
∴F（1，），
设Q（0，n），
如图：过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵∠QBM＝90°，
∴∠QBO+∠MBN＝90°，
∵∠QBO+∠OQB＝90°，
∴∠MBN＝∠OQB，
∵BQ＝BM，
∴△BQO≌△MBN（AAS），
∴QO＝BN，MN＝OB，
∴M（3+n，3），
设直线QM的解析式为y＝k'x+n，
∴k'（3+n）+n＝3，
解得k'＝，
∴直线QM的解析式为y＝x+n，
将点F代入，+n＝，
解得n＝+或n＝﹣，
∴Q（0，+）或（0，﹣）．

3．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．



4．（2021•辽宁）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（2，3）；（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，


∵H点在抛物线上，
∴H（3，0）或H（0，3），
当H（3，0）时，MH＝2，
∴KH＝4，
∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），
∴P（﹣1，2），
此时HK与y轴重合，
∴P（﹣1，2）不符合题意；
②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，


∴H（1+，2）或H（1﹣，2），
当H（1+，2）时，MH＝，
∴P（1，2+）；
当H（1﹣，2）时，MH＝，
∴P（1，2﹣）；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

三．三角形综合题（共1小题）
5．（2021•辽宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．

【答案】（1）EF＝EB．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2，证明见解析部分．
（3）AF的长为或1．
【解答】解：（1）结论：EF＝BE．
理由：如图1中，

∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．

（2）结论：AF2+BE2＝EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．

（3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴AF＝．
如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1．
四．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）π．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB交⊙O于点E，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∴OE⊥AB，
∵EF∥AB，
∴OE⊥FE．
∵OE为⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接OG，OC，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°．
∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，
∴∠MEC＝45°，
∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，
∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，
∵AB＝8，AB是⊙O的直径，
∴OA＝OG＝4，
∴的长＝＝．

7．（2021•辽宁）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

【答案】（1）详见解答；
（2）．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵＝，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝CB＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OA⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2，
∴DC＝AC＝1，AD＝AC＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴△CFD∽△AFO，
∴＝，
又∵＝sin30°＝，AC＝OA＝2，
∴＝，
∴＝，
即DF＝OD＝．

五．几何变换综合题（共2小题）
8．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 　45°　；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．


【答案】（1）45°；
（2）证明见解析；
（3）2+2或2﹣2．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，

∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，

由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如图4，当90°＜α＜180°时，

在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
综上所述，的值为2+2或2﹣2．
9．（2023•辽宁）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
​
【答案】（1）DM＝EM；
（2）DM＝EM仍然成立；
（3）AM＝或．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC＝60°，∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴DM＝EM；
（2）如图1，

DM＝EM仍然成立，理由如下：
连接BD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°，BD＝CE，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DBE+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴BD∥EF，
∵CE＝EF，
∴BD＝EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM＝EM；
（3）如图2，

当点E在BC的延长线上时，
作AG⊥BC于G，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝AC•cos60°＝AC＝3，
AG＝AC•sin60°＝AC＝3，
∴EG＝CG+CE＝3+2＝5，
∴AE＝＝2，
由（2）知：DM＝EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴AM＝AE•sin60°＝2×＝，
如图3，

当点E在BC上时，
作AG⊥BC于G，
由上知：AG＝3，CG＝3，
∴EG＝CG﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AE＝，
∴AM＝2×＝，
综上所述：AM＝或．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023•辽宁）小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离AC（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度CD（结果取整数）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【答案】（1）两楼之间的距离AC为40米；
（2）大厦的高度CD约为92米．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，

由题意得：AB＝CE＝40米，BE＝AC，
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴BE＝＝＝40（米），
∴BE＝AC＝40（米），
∴两楼之间的距离AC为40米；
（2）在Rt△BED中，∠DBE＝37°，
∴DE＝BE•tan37°≈40×0.75＝51.9（米），
∵CE＝40米，
∴DC＝DE+CE＝51.9+40≈92（米），
∴大厦的高度CD约为92米．
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
11．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

【答案】此时货轮与A港口的距离约为141海里．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，

由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．

12．（2021•辽宁）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】（1）300m；
（2）205m．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．