内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共34页。试卷主要包含了已知AB是⊙O的任意一条直径等内容，欢迎下载使用。
内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共2小题）
1．（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
2．（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
二．一次函数的应用（共1小题）
3．（2021•呼和浩特）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．
探究3
电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．

月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的 　 　，y表示问题中的 　 　．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）


三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2023•呼和浩特）探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

…
y
…
﹣
0

m

0

2

0
﹣
…
其中，m＝　 　.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

5．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．


四．矩形的性质（共1小题）
6．（2021•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）

五．四边形综合题（共1小题）
7．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）

（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　 　；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．

六．圆周角定理（共1小题）
8．（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．

七．圆的综合题（共2小题）
9．（2021•呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．

10．（2023•呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP＝时，求BP的长；
②求的最大值．

八．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023•呼和浩特）3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

等级
成绩x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 　 　等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
九．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2021•呼和浩特）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：

年级
平均数
众数
中位数
优秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，m＝　 　，n　 　；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．

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参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共2小题）
1．（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】（1）去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．
【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣200）元，
由题意得：×2＝，
解得：x＝2200，
经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得：今年采购的土豆数为：×3＝375（吨），
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375﹣m）吨加工成淀粉，
由题意得：，
解得：150≤m≤175，
设总利润为y元，
则y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，
∵300＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝175时，y的值最大＝300×175+150000＝202500，
答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．
2．（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】最多可购进33个B足球．
【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．
由题意得：，即，
∴96（x+12）＝120x，
∴x＝48．
经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．
∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．
设今年购进B足球的个数为a个，则有：．
∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．
∴3.6a≤120，
∴．
∴最多可购进33个B足球．
二．一次函数的应用（共1小题）
3．（2021•呼和浩特）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．
探究3
电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．

月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的 　主叫时间　，y表示问题中的 　计费　．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）


【答案】（1）主叫时间，计费；
方式一：y＝；
方式二：y＝；
（2）画图象见解答；当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．
【解答】解：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；
方式一：y＝；
方式二：y＝；
故答案为：主叫时间，计费；
（2）大致图象如下：

由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2023•呼和浩特）探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

…
y
…
﹣
0

m

0

2

0
﹣
…
其中，m＝　2　.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）2；图象见解答，该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
（2）所有满足条件的点F的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
（3）PM+PN＝为定值．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，
∴m＝2，
函数图象如图所示：

由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
故答案为：2；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，
∴×4|yF|＝3，
∴yF＝±，
当yF＝时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝，
解得：x＝﹣或﹣，
若x≥0，则﹣2x2+4x＝，
解得：x＝或，
∴F（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）；
当yF＝﹣时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝﹣，
解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+（舍去），
若x≥0，则﹣2x2+4x＝﹣，
解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，
∴F（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）或（1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，

∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n＝（t﹣4）2，
故直线l的表达式为y＝tx+（t﹣4）2③，
联立①③并解得xM＝﹣（t﹣4），
同理可得，xN＝﹣（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，
∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝为定值．
5．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．


【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0得﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0）；
（2）存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：

∵点D是线段AC的中点，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣，1），
设E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，
化简得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝2，
∴E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0），
把点B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），
①当∠PCM＝2∠OBC时，
过点C作CF⊥PM于点F，如图，

∵CF⊥PM，PM∥y轴，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝∠FCM＝∠OBC，
∴F是线段PM的中点，
∴＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x轴，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝BC，
∵BC＝＝＝2≠4，
∴此种情况不存在；
③当∠CPM＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣+m+2﹣2）2＝[（﹣+m+2）﹣（﹣m+2）]2，
整理得：m2+m4﹣m3+m2＝m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或．
四．矩形的性质（共1小题）
6．（2021•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）

【答案】（1）见解答；
（2）见当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，当四边形ABCD是菱形时，四边形BEDF是菱形．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）连接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，
2°当四边形ABCD是菱形时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．

五．四边形综合题（共1小题）
7．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）

（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　AG＝CE　；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝时，四边形PECF是平行四边形，如图，

由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得k＝．
六．圆周角定理（共1小题）
8．（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴AD＝CD•tanC＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝，
∴AE的长为．

七．圆的综合题（共2小题）
9．（2021•呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）①证明过程见解析；
②证明过程见解析．
【解答】（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点，
过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，
若M与圆心O不重合，
连接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
则AB是PP'的垂直平分线，
若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P'，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）①证明：设⊙O半径为r，
由πr2＝4π可得r＝2，
∴AB＝4，
连接AC，则∠BCA＝90°，

∵C是切点，连接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB•BD＝4BD，
∴；
②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，

又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴．
10．（2023•呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP＝时，求BP的长；
②求的最大值．

【答案】（1）证明见解答；
（2）①BP的长为或；
②的最大值为．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点M为边BC的中点，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
设PT＝x，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴PT＝，
∵sin∠ABC＝＝，即＝，
∴BP＝；
当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，

∵tan∠BAP＝，
∴＝，
设BK＝a，则AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴AK＝3，BK＝，
∵S△ABP＝AP•BK＝BP•AC，
∴＝＝，
设BP＝m，则AP＝m，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（m）2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴BP＝；
综上所述，BP的长为或；
②设CP＝n，则AP＝＝，
如图，∵AC是⊙O的直径，
∴CQ⊥AP，

∵CQ•AP＝AC•CP，
∴CQ＝＝，
∴＝，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴＝≤＝，
∴的最大值为．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023•呼和浩特）3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

等级
成绩x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 　40　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　7　；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 　B　等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
【答案】（1）40，7，学生成绩频数分布直方图见解答过程；
（2）B；
（3）851人．
【解答】解：（1）由频数分布直方图得：等级C有6人，
由扇形统计图得：等级C占15%，
∴6÷15%＝40．
∴本次调查一共随机抽取了40名学生的成绩，
由扇形统计图得：等级D占17.5%，等级B占32.5%，
∴等级D得人数m＝40×17.5＝7（人），等级B的人数为：40×32.5%＝13（人），
补全学生成绩频数分布直方图如图所示；

故答案为：40，7．
（2）∵等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级
故答案为：B．
（3）∵抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为：40﹣3＝37（人），
∴920×＝851（人）．
答：估计成绩合格的学生有851人．
九．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2021•呼和浩特）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：

年级
平均数
众数
中位数
优秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝　41.1　，b＝　43　，c＝　42.5　，m＝　55%　，n　＝65%　；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
【答案】（1）41.1，43，42.5，55%，65%，理由见解析；
（2）能超过1000人；
（3）．
【解答】解：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：
成绩
25
30
37
39
43
49
50
人数
1
2
4
2
5
4
2
∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，
c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，
故答案为：41.1，43，42.5，55%，＝65%；
从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，因此估计二年级学生的优秀率高，
所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好．
（2）∵样本合格率为：＝92.5%，
∴估计总体的合格率大约为92.5%，
∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：1240×92.5%＝1147（人），
∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；
（3）一年级满分有2人，记为A，B，二年级满分有3人，记为C，D，E，
画树状图如图：

共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，
∴两人在同一年级的概率为＝．