山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（压轴题）

这是一份山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（压轴题），共40页。试卷主要包含了，与坐标轴分别交于B，C两点，两点等内容，欢迎下载使用。
山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（压轴题）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•牡丹区二模）如图，直线y1＝kx+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（m，3），与坐标轴分别交于B，C两点．
（1）若y1＞y2＞0，求自变量x的取值范围；
（2）动点P（n，0）在x轴上运动，当n为何值时，|PA﹣PC|的值最大？并求最大值．

2．（2023•东明县二模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的横坐标为1，S△AOC＝2．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．

二．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2023•鄄城县二模）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求直线AP和双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
4．（2023•东明县二模）如图，抛物线过点A（3，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
四．二次函数综合题（共4小题）
5．（2023•巨野县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值，若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

6．（2023•鄄城县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线BC的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标．

7．（2023•曹县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0），B，对称轴是直线x＝1，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2023•单县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与坐标轴分别交于A，B，两点A（﹣2，0），B（3，0），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，AC，若，求点P的坐标；
（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得2∠PAB＝∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


五．四边形综合题（共3小题）
9．（2023•鄄城县二模）如图1，正方形ABCD与正方形AEGF有公共顶点A，点B，D分别在边AE和AF上，连接BF，DE，点M是BF的中点，连接AM交DE于点N．
（1）【观察猜想】
线段DE与AM之间的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转至图2的位置，AM所在直线交DE于点N，其他条件不变，请尝试探究线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？
【探究思路】
延长AM至点H，使MH＝MA，连接BH，可证明△AED≌△BHA，从而将线段DE转化为线段AH，进而探究所需结论．
【问题解决】
①请在图2中按要求作出辅助线，并写出△AED≌△BHA的证明过程；
②线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？说明理由．
​
10．（2023•单县二模）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

11．（2023•郓城县二模）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；
（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．

六．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023•东明县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）连结CE，若cosD＝，AB＝6，求CE的长．

七．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•菏泽二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径r＝3，BH＝2，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF•BF．

八．相似形综合题（共2小题）
14．（2023•巨野县二模）如图，在矩形ABCD中，∠ADB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 　 　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC＝1：2时，如图3的值是否变化？证明你的结论．
15．（2023•定陶区二模）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝　 　；直线AD与直线EC的位置关系是 　 　；
（2）如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD、EC，其所在直线相交于点F，
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②当DF的长度最大时，求线段EC的长度．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2023•东明县二模）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为45米，且乙建筑物的高度是甲建筑物的高度的6倍，从E（A、E、B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°．
（1）求乙建筑物的高度；
（2）求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．


山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（压轴题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•牡丹区二模）如图，直线y1＝kx+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（m，3），与坐标轴分别交于B，C两点．
（1）若y1＞y2＞0，求自变量x的取值范围；
（2）动点P（n，0）在x轴上运动，当n为何值时，|PA﹣PC|的值最大？并求最大值．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当y2＝＝3时，x＝1，
∴点A的坐标为（1，3）．
观察函数图象，可知：当x＞1时，直线在双曲线上方，
∴若y1＞y2＞0，自变量x的取值范围为x＞1．

（2）将A（1，3）代入y1＝kx+2中，
3＝k+2，解得：k＝1，
∴直线AB的解析式为y1＝x+2．
当x＝0时，y1＝x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴AC＝＝．
当y1＝x+2＝0时，x＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0）．
当点P于点B重合时，|PA﹣PC|的值最大，此时n＝﹣2，|PA﹣PC|＝AC＝．
∴当n为﹣2时，|PA﹣PC|的值最大，最大值为．
2．（2023•东明县二模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的横坐标为1，S△AOC＝2．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵C（﹣2，0），S△AOC＝2．
∴OC＝2，OC•|yA|＝2，
∴|yA|＝2，
∵点A在第一象限，
∴A（1，2），
∵A点在反比例函数y＝图象上，
∴m＝1×2＝2，
∵一次函数y＝kx+b经过A（1，2），C（﹣2，0），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵解得或，
∴B（﹣3，﹣），
∴反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围：x＜﹣3或0＜x＜1．
二．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2023•鄄城县二模）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求直线AP和双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，
∴y＝x+1，
由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），
把P代入y＝得：k＝4，
则双曲线解析式为y＝；

（2）设Q（m，n），
∵Q（m，n）在y＝上，
∴n＝，
当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，
∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），
∴Q（4，1）；
当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，
整理得：2m﹣4＝，
解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），
∴Q（1+，2﹣2）．
综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．

三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
4．（2023•东明县二模）如图，抛物线过点A（3，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入，，
∴B的坐标为，
将A（3，2），代入，
，
解得b＝1，，
∴抛物线的解析式；
（2）设，则，，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时，
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．

PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），，
即PD+PA的最小值为；
四．二次函数综合题（共4小题）
5．（2023•巨野县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值，若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；
（2）①见解答；
②存在；EF的最小值是2．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
∴，
∴．
（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得，
∴，
解得：m＝3或m＝﹣2，
∵C（m，m﹣1）位于第一象限，
∴，
∴m＞1，
∴m＝﹣2舍去，
∴m＝3，
∴点C坐标为（3，2），
过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝∠BHC＝90°，
由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得 AH＝4，CH＝2，BH＝1，AB＝5，
∵，∠AHC＝∠BHC＝90°，
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH＝∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴▱DECF是矩形；
②存在；
连接CD，
∵四边形DECF是矩形，
∴EF＝CD，
当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2．

6．（2023•鄄城县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线BC的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标．

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）P的坐标为（2，3）；
（3）直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ＝45°，Q的坐标为（﹣，）．
【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
设直线BC的函数表达式为y＝mx+2，把B（4，0）代入得：
4m+2＝0，
解得m＝﹣，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图：

设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），
∴PH＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝PH•OB＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，
此时P的坐标为（2，3）；
（3）直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：
过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作BK⊥TK于K，过M作MT⊥TK于T，如图：

由（2）知P（2，3），
∵B（4，0），
∴PK＝2，BK＝3，
∵∠PBQ＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB＝90°，PB＝PM，
∴∠KPB＝90°﹣∠TPM＝∠TMP，
∵∠K＝∠T＝90°，
∴△BPK≌△PMT（AAS），
∴PK＝MT＝2，BK＝PT＝3，
∴M（﹣1，1），
由M（﹣1，1），B（4，0）得直线BM函数表达式为y＝﹣x+，
联立，解得或，
∴Q的坐标为（﹣，）．
7．（2023•曹县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0），B，对称轴是直线x＝1，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）（1，1）；
（3）在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上存在点M，使得S△BCM＝S△BCP，点M的横坐标为或．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0），B，对称轴是直线x＝1，
∴点B的坐标为（3，0）．
将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
又∵点B的坐标为（3，0），
∴OB＝OC.
连接OP，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图1所示．
∵△PCB是以BC为底边的等腰三角形，
∴PC＝PB．
在△OPC和△OPB中，
，
∴△OPC≌△OPB（SSS），
∴∠POC＝∠POB，
∵∠BOC＝90°，
∴∠POE＝∠BOC＝×90°＝45°，
∴△POE为等腰直角三角形，
∴PE＝OE，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴OE＝1，
∴PE＝1，
∴点P的坐标为（1，1）；
（3）假设存在，过点M作MF⊥x轴于点F，如图2所示．
设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3）．
∵S△BCM＝S△BCP，
∴S梯形OCMF+S△FMB﹣S△OBC＝S△OBC﹣2S△OPB，
∴（OC+MF）•OF+MF•BF﹣OB•OC＝OB•OC﹣2×OB•PE，
∴（3﹣m2+2m+3）•m+（﹣m2+2m+3）（3﹣m）﹣×3×3＝×3×3﹣2××3×1，
整理得：m2﹣3m+1＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴假设成立，
即在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上存在点M，使得S△BCM＝S△BCP，点M的横坐标为或．


8．（2023•单县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与坐标轴分别交于A，B，两点A（﹣2，0），B（3，0），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，AC，若，求点P的坐标；
（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得2∠PAB＝∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P，使得2∠PAB＝∠ABC，点P的坐标为．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）连接OP，如图：

设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），（0＜m＜3），
在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
∵∠AOC＝90°，OA＝2，
∴，
∴，
∵S△APC＝S△AOC+S△POC﹣S△AOP，
∴4+×4m﹣×2（﹣m2+m+4）＝2，
整理得x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P，使得2∠PAB＝∠ABC，理由如下：
作BM平分∠ABC交y轴于点M，作MN⊥BC于点N，如图：

∴∠CNM＝90°，
∵BM是∠ABC的平分线，MO⊥BA，MN⊥BC，
∴NM＝OM，
∵∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，
∴，
∵＝sin∠BCO＝，
∴＝，
∴，
∵CM+OM＝OC＝4，
∴，
∴，
∵，
∴当∠PAB＝∠MBA时，2∠PAB＝2∠MBA＝∠ABC，
设AP交y轴于点Q，则∠AOQ＝90°，
∴，
∴，
∴Q（0，1），
设直线AP的解析式为y＝kx+1，
∴﹣2k+1＝0，
解得，
∴直线AP的解析式为，
联立，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为．
五．四边形综合题（共3小题）
9．（2023•鄄城县二模）如图1，正方形ABCD与正方形AEGF有公共顶点A，点B，D分别在边AE和AF上，连接BF，DE，点M是BF的中点，连接AM交DE于点N．
（1）【观察猜想】
线段DE与AM之间的数量关系是 　DE＝2AM　，位置关系是 　DE⊥AM　；
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转至图2的位置，AM所在直线交DE于点N，其他条件不变，请尝试探究线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？
【探究思路】
延长AM至点H，使MH＝MA，连接BH，可证明△AED≌△BHA，从而将线段DE转化为线段AH，进而探究所需结论．
【问题解决】
①请在图2中按要求作出辅助线，并写出△AED≌△BHA的证明过程；
②线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？说明理由．
​
【答案】（1）DE＝2AM，BF⊥AM；
（2）①见解答；
②AM⊥DE．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAE＝90°，AE＝AF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴DE＝BF，∠AFB＝∠DEA，
∵∠DAE＝90°，点M是DE的中点，
∴DE＝2AM＝BF，AE＝EM，
∴∠AED＝∠EAM，
∴∠EAM＝∠AFB，
∴∠EAM+∠FAM＝90°＝∠FAM+∠AFB，
∴∠ANF＝90°，
∴BF⊥AM，
DE＝AH＝2AM，
∵∠BAH+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠ADE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∴AM⊥DE；
故答案为：DE＝2AM，BF⊥AM；
（2）①证明：如图2，延长AM至点H，使MH＝MA，连接BH，

∵点M是BF的中点，
∴BM＝FM，
又∵∠AMF＝∠HMB，AM＝MH，
∴△AFM≌△HBM（SAS），
∴AF＝BH＝AE，∠FAH＝∠H，
∵∠ABH+∠BAH+∠H＝180°，
∴∠ABH+∠FAB＝180°，
∵∠DAE+∠EAF+∠BAF+∠DAB＝360°，
∴∠DAE+∠BAF＝180°，
∴∠ABH＝∠DAE，
又∵AD＝AB，AE＝BH，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
②解：结论仍然成立，理由如下：
∵△DAE≌△ABH，
∴DE＝AH，∠BAH＝∠ADE，
∵AM＝MH，
∴DE＝AH＝2AM，
∵∠BAH+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠ADE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∴AM⊥DE；
10．（2023•单县二模）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．


11．（2023•郓城县二模）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；
（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（2）∵BE⊥CG，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折叠得，BC＝CG＝25，
在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
∴＝．
（3）如图，连接FG，

∵BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
∵BP＝PG，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF，
∵BE•EF＝108，AB＝12，
∴GF＝9，
∴BP＝GF＝9．
六．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023•东明县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）连结CE，若cosD＝，AB＝6，求CE的长．

【答案】（1）证明见解答；（2）CE＝4．
【解答】（1）证明：连接AO并延长，交BC于点F，连接OC，如图所示：

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵O是△ABC的外心，
∴AF⊥BC，
∴∠ACB+∠FAC＝90°，
由轴对称的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠D，
∵OA＝OC，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如（1）图，则由（1）可得：AF⊥BC，∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠D，
∴BF＝CF，
∵∠CED＝∠B，
∴∠CED＝∠D，
∴CD＝CE，
∵cosD＝，AB＝6，
∴BF＝AB•cosB＝AB•cosD＝2，
∴BC＝4，
由轴对称的性质可得CD＝BC＝4，
∴CE＝4．
七．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•菏泽二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径r＝3，BH＝2，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF•BF．

【答案】（1）见解析；
（2），
（3）见解析．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝3，OH＝OB﹣BH＝3﹣2＝1．
∴GH＝＝＝．
（3）证明：由（1）知EF是⊙O的切线，
∴∠DAF＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△DAF∽△FDB，
∴，
即DF2＝AF•BF．
八．相似形综合题（共2小题）
14．（2023•巨野县二模）如图，在矩形ABCD中，∠ADB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 　　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC＝1：2时，如图3的值是否变化？证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）＝；
（3）的值发生变化．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA＝PC，
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE＝∠PCF，
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE＝∠CPF．
在△APE与△PCF中，

∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE＝CF．
在Rt△PCF中，＝tan30°＝，
∴＝；
故答案为：；

（2）如图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，

∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝，
由（1）知，＝，
∴＝，

（3）答：变化，
证明：如图3，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB，

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴＝＝，得CN＝2PM，
在Rt△PCN中，＝tan30°＝，
∴＝，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝＝，
∴的值发生变化．
15．（2023•定陶区二模）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝　　；直线AD与直线EC的位置关系是 　垂直　；
（2）如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD、EC，其所在直线相交于点F，
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②当DF的长度最大时，求线段EC的长度．

【答案】（1），垂直；
（2）结论成立．理由见解析部分；
（3）+2或2﹣．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，
∴AB＝BC＝3，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，
∴BD＝BE＝2，
∴EC＝1，AD＝，
∴＝，此时AD⊥EC，
故答案为：，垂直；

（2）结论成立．
理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BC，BD＝BE，
∴＝，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝＝，∠ADB＝∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠CDB+∠BEC＝180°，
∴∠DBE+∠DCE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴AD⊥EC；

（3）如图2中，∵∠DBE＝90°，BE＝2，∠BDE＝30°，
∴DE＝2BE＝4，
∵AD⊥CE，
∴∠DFE＝90°，
∴DF≤DE＝4，
∴当DF与DE重合时，DF的值最大，
如图3中，设EC＝x，则AD＝x，

∵∠ABC＝90°，BC＝3，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∵AC2＝AE2+EC2，
∴62＝（4+）2+x2，
解得x＝2﹣（负根已经舍去），
∴EC＝2﹣
如图4中，设EC＝y，则AD＝y，则62＝y2+（y﹣4）2，
解得y＝+2，
∴EC＝+2．

综上所述，EC的值为+2或2﹣．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2023•东明县二模）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为45米，且乙建筑物的高度是甲建筑物的高度的6倍，从E（A、E、B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°．
（1）求乙建筑物的高度；
（2）求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】（1）60m；
（2）20m．
【解答】解：（1）由题意知：BC＝6AD，AE+BE＝AB＝90m，
在Rt△ADE中，tan30°＝，sin30°＝，
∴AE＝＝AD，DE＝2AD；
在Rt△BCE中，tan60°＝，sin60°＝，
∴BE＝＝2AD，CE＝＝4AD；
∵AE+BE＝AB＝90m，
∴AD+2AD＝90，
∴AD＝10（m），
∴BC＝6AD＝6×10＝60（m）．
（2）利用（1）所求，可知DE＝20m，CE＝120m，
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，
∴∠DEC＝90°，
∴CD＝＝＝20（m），
答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．