还剩31页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
展开
这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共34页。试卷主要包含了，连接AC，BC，【基础模型】等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•肥城市二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0且x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB．若OA＝2，sin∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣8）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•新泰市二模）如图，双曲线与直线y＝mx+n交于A（3，3），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若线段ON的垂直平分线交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出线段PQ的长．
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•岱岳区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是x轴上的一个动点，连接CP，当时，求P点坐标；
（3）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线交AB于点E，连接CE，求△CDE面积的最大值．
4．（2023•东平县二模）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第四象限的抛物线上，若△PBC的面积为4时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，当∠MAB＝2∠ABC时，求点M的横坐标．
5．（2023•新泰市二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2023•宁阳县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝3且OB＝OC，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t，求四边形ABPC面积S的最大值及此时P点的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．
五．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•新泰市二模）点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．
（1）【操作发现】
如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM＝PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系； ．（直接写出结论即可）
（2）【类比探究】
如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明．
（3）【拓展应用】
如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB＝8，AD＝6，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2023•岱岳区二模）如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为∠ABC平分线上一点，且FA⊥FC．
（1）求证：FA＝FC；
（2）D为BF上一动点，且有DE⊥DC，求证：△CAE∽△CFD；
（3）如图2，若将∠ABC改为60°，∠AFC改为120°，D为∠ABC平分线BF上一点，且∠EDC始终为120°，请直接写出的值．
10．（2023•东平县二模）【基础模型】：
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】：
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝6，BE＝4，求AD的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，请直接写出菱形ABCD的边长．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•肥城市二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0且x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB．若OA＝2，sin∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣8）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）过A作AE⊥y轴于点E，如图，
∵OA＝2，sin∠AOC＝，
∴＝，即＝，解得AE＝4，
∴OE＝＝6，
∴A（6，﹣4），
∵反比例函数y＝（k≠0且x＞0）过A点，
∴k＝﹣4×6＝﹣24，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵反比例函数y＝（k≠0且x＞0）经过B点，
∴﹣8m＝﹣24，解得m＝3，
∴B（3，﹣8），
∵一次函数y＝ax+b（a≠0）过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣12；
（2）∵B（3，﹣8），
∴OB＝＝，
设P点坐标为（0，y），则OP＝|y|，PB＝，
∵△BOP是以OB为腰的等腰三角形，
∴OP＝OB或PB＝OB，
当OP＝OB时，则有|y|＝，解得y＝±，
此时P点坐标为（0，）或（0，﹣）；
当PB＝OB时，则有＝，解得y＝﹣16或y＝0（舍去），
此时P点坐标为（0，﹣16），
综上可知满足条件的点P的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣16）．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•新泰市二模）如图，双曲线与直线y＝mx+n交于A（3，3），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若线段ON的垂直平分线交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出线段PQ的长．
【答案】（1），；
（2）x＜﹣9或0＜x＜3；
（3）4．
【解答】解：（1）由题意得：把点A（3，3）代入得：
，
解得：k＝9，
∴反比例函数的解析式为：，
把B（a，﹣1）代入时，
，
∴点B（﹣9，﹣1），
设直线AB解析式为：y＝kx+b，
把A（3，3），B（﹣9，﹣1）分别代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线AB解析式为：；
（2）由图象可知，当x＜﹣9或0＜x＜3时，双曲线的图象在直线图象上方，
∴当x＜﹣9或0＜x＜3时，；
（3）由题意得：点N为与x轴的交点，
把y＝0代入得：，
解得：x＝﹣6，
∴点N（﹣6，0），
∵PQ垂直平分ON，
∴点，即（﹣3，0），
把x＝﹣3代入得：，
∴点P（﹣3，1），
把x＝﹣3代入得：，
∴点Q（﹣3，﹣3），
∴PQ＝1﹣（﹣3）＝4．
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•岱岳区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是x轴上的一个动点，连接CP，当时，求P点坐标；
（3）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线交AB于点E，连接CE，求△CDE面积的最大值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）．
【解答】解：（1）点A（﹣3，0），B（6，0）分别代入y＝ax2+bx+9中，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）求出的抛物线解析式可知点C的坐标为（0，9），
如图1，当点P在点B右侧时，连接CP，
∵∠CBA是△CBP的外角，
∴∠CBA＝∠BCP+∠CPA，
又∵，
∴∠CBA＝∠BCP+∠CBA，
∴∠BCP＝∠CBA，
∴∠BCP＝∠CPA，
∴BC＝BP，
∵点B（6，0），C（0，9），
∴，
∴BP＝，
∴OP＝OB+BP＝，
∴P点坐标为，
当点P在x轴负半轴上时，根据对称性可知P点坐标为，
综上，P点坐标为：，；
（3）∵抛物线解析式为，
∴抛物线与y轴交点C的坐标为（0，9），
∴OC＝9，
∵点A（﹣3，0），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，AB＝9，
∴OC＝AB＝9，
如图，过点D作DF⊥x轴于F，
∴DE∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴AD：AC＝DF：OC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∴DF：OC＝AE：AB，
∵OC＝AB＝9，
∴DF＝AE，
设E坐标为（t，0），△CDE的面积为S，
则AE＝t+3，
∴DF＝AE＝t+3，
，
即，
∴，
∴当t时，S最大，
此时S的最大值为．
4．（2023•东平县二模）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第四象限的抛物线上，若△PBC的面积为4时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，当∠MAB＝2∠ABC时，求点M的横坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）点P的坐标为（2，﹣3）；
（3）M的横坐标为或．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）抛物线y＝x2﹣x﹣2，当y＝0时，则x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1（不符合题得，舍去），
∴B（4，0），
∴S△ABC＝AB•OC＝×（4+1）×2＝5，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则4k﹣2＝0，
解得k＝，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，
设P（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜4），则G（x，x﹣2），
∴PG＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝OH•PG+BH•PG＝×4PG＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，
∵S△PBC＝4，
∴﹣x2+4x＝4，
解得x1＝x2＝2，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
（3）如图2，取AB点中E，连接CE，则E（，0），
∵＝＝，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠CBO+∠BCO＝90°，
∴BE＝CE＝AB，
∴∠ECB＝∠CBO，
∴∠AEC＝∠ECB+∠CBO＝2∠CBO＝2∠ACO，
当点M在x轴的上方，设AM交y轴于点D，
∵∠MAB＝2∠ABC，
∴∠MAB＝2∠ACO＝∠AEC，
∴AM∥CE，
设直线CE的解析式为y＝mx﹣2，
则m﹣2＝0，
解得m＝，
∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，
设直线AM的解析式为y＝x+a，
则﹣+a＝0，
解得a＝，
∴直线AM的解析式为y＝x+，
由，
得x2﹣x﹣2＝x+，
解得x1＝，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点M的横坐标为；
当点M′在x轴的下方，设AM′交y轴于点F，
直线y＝x+，当x＝0时，y＝，
∴D（0，），
∵∠M′AB＝2∠ACO＝∠MAB，OA＝OA，∠AOF＝∠AOD＝90°，
∴△OAF≌△OAD（ASA），
∴OF＝OD＝，
∴F（0，﹣），
设直线AM′的解析式为y＝nx﹣，则﹣n﹣＝0，
解得n＝﹣，
∴直线AM′的解析式为y＝﹣x﹣，
由，
得x2﹣x﹣2＝﹣x﹣，
解得x1＝，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点M′的横坐标为，
综上所述，点M的横坐标为或．
5．（2023•新泰市二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）；
（3）存在，P（0，3）、Q（1，3），或、，或P（2，3）、Q（1，3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴，
解得b＝2，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
可得﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0，
解得c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3），B（3，0）代入，
可得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
如图，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线BC于点K，
设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点K的坐标为（m，﹣m+3），
∴MK＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵MH⊥x轴，OC⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴∠OCN＝∠MKN，∠CON＝∠KMN，
∴△OCN∽△MKN，
∴，
∴当最大时，
，，
∴点M的坐标为；
（3）∵一次函数过点A（﹣1，0），
∴，
解得，
∴点Q是一次函数图象上一点．
∵点P为抛物线上一点，且在x轴上方，
∴设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），﹣t2+2t+3＞0，
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴OA∥PQ，OA＝PQ＝1，
分两种情况，当点P在点Q的左侧时：
点Q的坐标为，
∵OA∥PQ，
∴点P与点Q的纵坐标相等，
∴﹣t2+2t+3＝，
解得t＝0或，
当t＝0时，﹣t2+2t+3＝3，
∴P（0，3），Q（1，3），
当时，，
∴，；
当点P在点Q的右侧时：
点Q的坐标为，
∴﹣t2+2t+3＝，
解得t＝2或，
当t＝2时，﹣t2+2t+3＝3，
∴P（2，3），Q（1，3），
当时，，不合题意；
综上可知，存在，P（0，3）、Q（1，3），或、，或P（2，3）、Q（1，3）．
6．（2023•宁阳县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝3且OB＝OC，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t，求四边形ABPC面积S的最大值及此时P点的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）S最大值为72，此时点P的坐标为（4，12）；
（3）（3，8）或或（3，11）．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），且对称轴为直线x＝3，
∴OC＝OB＝8，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为B（8，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
∴a（0+2）（0﹣8）＝8，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
如图所示，过点P作PF∥y轴交BC于F，设直线BC的解析式为y＝kx+b′，把B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8，
∵，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC
＝
＝﹣2t2+16t+40
＝﹣2（t﹣4）2+72，
∵﹣2＜0，
∴当t＝4时，S四边形ABPC最大，最大值为72，
∴此时点P的坐标为（4，12）；
（3）在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB时，
，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8）；
②当ME＝EN，∠MEN＝90°时，
，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
连接CM，当N为C关于对称轴l的对称点时，此时四边形CMNE为正方形，
∴CM＝CE，
∵C（0，8），E（3，5），M（3，m），
∴，
∴
解得：m1＝11，m2＝5（舍去），
此时点M的坐标为（3，11）；
在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 AD+AB＝AC ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AD+AB＝AC；
（2）成立，理由见解答；
（3）AC＝5，四边形ABCD面积为25．
【解答】解：（1）∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝∠B＝90°，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵AC＝AC，
∴Rt△DAC≌Rt△BAC（AAS），
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝120°，
∴，
∴∠DCA＝30°，
∴，
∴，
∴AD+AB＝AC．
故答案为：AD+AB＝AC．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
，
以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
由（1）可得：∠CAB＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠CAB＝∠BAC＝∠AEC，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB＝360°，∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠DCB＝∠ACE，
∴∠DCB﹣∠ACB＝∠ACE﹣∠ACB，
∴∠DCA＝∠BCB，
∴△CAD≌△CEB（AAS），
∴AD＝BE，
∵AC＝AE＝AB+BE，
∴AC＝AD+AB．
（3）过点C作CE⊥AC交AB延长线于点E，
，
∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠DAC＝45°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝45°，
∴∠E＝∠CAE，∠E＝∠DAC，
∴AC＝CE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD＝BE，
∴AE＝AB+BE＝AB+AD，
∵AD＝3，AB＝7，
∴AE＝10，
在Rt△ACE中：
AC2+CE2＝AE2，
∴AC＝CE＝5，
∴＝25，
∵△ADC≌△EBC，
∴S△ADC＝S△EBC，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ACB＝S△EBC+S△ACB＝SACE＝25．
五．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•新泰市二模）点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．
（1）【操作发现】
如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM＝PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系； PM＝PN ．（直接写出结论即可）
（2）【类比探究】
如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明．
（3）【拓展应用】
如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB＝8，AD＝6，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．
【答案】（1）PM＝PN；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【解答】（1）解：PM＝PN．理由如下：
过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，
∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，
∴∠GPM＝∠HPN，
∴△PGM∽△PHN，
∴，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴，
∴，
∴PM＝PN，
故答案为：PM＝PN；
（2）证明：如图，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，
∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，
∴∠GPM＝∠HPN，
∴△PGM∽△PHN，
∴，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴∠CPG＝∠CAB，∠CPH＝∠CAD，
∴∠HPG＝∠DAB，
∵∠EPF＝∠BAD，
∴∠EPF＝∠GPH，即∠EPH+∠HPN＝∠EPH+∠GPM，
∴∠HPN＝∠GPM，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠PGC+∠PHC＝180°，
又∵∠PHN+∠PHC＝180°，
∴∠PGC＝∠PHN，
∴△PGM∽△PHN，
∴①，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴，
∴②，
由①②可得，．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2023•岱岳区二模）如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为∠ABC平分线上一点，且FA⊥FC．
（1）求证：FA＝FC；
（2）D为BF上一动点，且有DE⊥DC，求证：△CAE∽△CFD；
（3）如图2，若将∠ABC改为60°，∠AFC改为120°，D为∠ABC平分线BF上一点，且∠EDC始终为120°，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）．
【解答】（1）证明：过点F作FH⊥BC于H，作FG⊥AB，交BA的延长线于G，
∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，FG⊥AB，
∴FG＝FH，
∵FA⊥FC，
∴∠AFC＝90°＝∠ABC，
∴∠BAF+∠BCF＝180°，
∵∠BAF+∠FAG＝180°，
∴∠FAG＝∠BCF，
又∵∠G＝∠FHC＝90°，
∴△FAG≌△FCH（AAS），
∴AF＝CF；
（2）证明：∵∠AFC＝90°＝∠ABC，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC，
∵DE⊥DC，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
∴点D，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC＝∠BDC，
∴∠AEC＝∠FDC，
∴△CAE∽△CFD；
（3）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠AFC＝120°，
∴∠ABC+∠AFC＝180°，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC，∠FAC＝∠FBC＝30°＝∠FCA＝∠ABF，
∴AF＝CF，
∵∠ABC+∠EDC＝180°，
∴点D，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC＝∠BDC，
∴∠AEC＝∠FDC，
∴△CAE∽△CFD，
∴＝，
如图2，过点F作FN⊥AC于N，
∵AF＝FC，FN⊥AC，
∴AC＝2NC，
∵∠ACF＝30°，FN⊥AC，
∴FC＝2FN，NC＝FN，
∴AC＝2FN，
∴＝＝．
10．（2023•东平县二模）【基础模型】：
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】：
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝6，BE＝4，求AD的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，请直接写出菱形ABCD的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】【基础模型】证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴，
∴AC2＝AD•AB；
【尝试应用】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC．
∵BF＝6．BE＝4，
∴BC＝＝＝9，
∴AD＝9；
【更上层楼】解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝DF＝5，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2，
∴菱形ABCD的边长5﹣2．
如图，当点E在BA的延长线上时，同法可得菱形ABCD的边长5+2．
综上所述，菱形的边长为5﹣2或5+2．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•肥城市二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0且x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB．若OA＝2，sin∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣8）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•新泰市二模）如图，双曲线与直线y＝mx+n交于A（3，3），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若线段ON的垂直平分线交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出线段PQ的长．
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•岱岳区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是x轴上的一个动点，连接CP，当时，求P点坐标；
（3）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线交AB于点E，连接CE，求△CDE面积的最大值．
4．（2023•东平县二模）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第四象限的抛物线上，若△PBC的面积为4时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，当∠MAB＝2∠ABC时，求点M的横坐标．
5．（2023•新泰市二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2023•宁阳县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝3且OB＝OC，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t，求四边形ABPC面积S的最大值及此时P点的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．
五．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•新泰市二模）点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．
（1）【操作发现】
如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM＝PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系； ．（直接写出结论即可）
（2）【类比探究】
如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明．
（3）【拓展应用】
如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB＝8，AD＝6，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2023•岱岳区二模）如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为∠ABC平分线上一点，且FA⊥FC．
（1）求证：FA＝FC；
（2）D为BF上一动点，且有DE⊥DC，求证：△CAE∽△CFD；
（3）如图2，若将∠ABC改为60°，∠AFC改为120°，D为∠ABC平分线BF上一点，且∠EDC始终为120°，请直接写出的值．
10．（2023•东平县二模）【基础模型】：
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】：
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝6，BE＝4，求AD的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，请直接写出菱形ABCD的边长．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•肥城市二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0且x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB．若OA＝2，sin∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣8）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）过A作AE⊥y轴于点E，如图，
∵OA＝2，sin∠AOC＝，
∴＝，即＝，解得AE＝4，
∴OE＝＝6，
∴A（6，﹣4），
∵反比例函数y＝（k≠0且x＞0）过A点，
∴k＝﹣4×6＝﹣24，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵反比例函数y＝（k≠0且x＞0）经过B点，
∴﹣8m＝﹣24，解得m＝3，
∴B（3，﹣8），
∵一次函数y＝ax+b（a≠0）过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣12；
（2）∵B（3，﹣8），
∴OB＝＝，
设P点坐标为（0，y），则OP＝|y|，PB＝，
∵△BOP是以OB为腰的等腰三角形，
∴OP＝OB或PB＝OB，
当OP＝OB时，则有|y|＝，解得y＝±，
此时P点坐标为（0，）或（0，﹣）；
当PB＝OB时，则有＝，解得y＝﹣16或y＝0（舍去），
此时P点坐标为（0，﹣16），
综上可知满足条件的点P的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣16）．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•新泰市二模）如图，双曲线与直线y＝mx+n交于A（3，3），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若线段ON的垂直平分线交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出线段PQ的长．
【答案】（1），；
（2）x＜﹣9或0＜x＜3；
（3）4．
【解答】解：（1）由题意得：把点A（3，3）代入得：
，
解得：k＝9，
∴反比例函数的解析式为：，
把B（a，﹣1）代入时，
，
∴点B（﹣9，﹣1），
设直线AB解析式为：y＝kx+b，
把A（3，3），B（﹣9，﹣1）分别代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线AB解析式为：；
（2）由图象可知，当x＜﹣9或0＜x＜3时，双曲线的图象在直线图象上方，
∴当x＜﹣9或0＜x＜3时，；
（3）由题意得：点N为与x轴的交点，
把y＝0代入得：，
解得：x＝﹣6，
∴点N（﹣6，0），
∵PQ垂直平分ON，
∴点，即（﹣3，0），
把x＝﹣3代入得：，
∴点P（﹣3，1），
把x＝﹣3代入得：，
∴点Q（﹣3，﹣3），
∴PQ＝1﹣（﹣3）＝4．
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•岱岳区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是x轴上的一个动点，连接CP，当时，求P点坐标；
（3）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线交AB于点E，连接CE，求△CDE面积的最大值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）．
【解答】解：（1）点A（﹣3，0），B（6，0）分别代入y＝ax2+bx+9中，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）求出的抛物线解析式可知点C的坐标为（0，9），
如图1，当点P在点B右侧时，连接CP，
∵∠CBA是△CBP的外角，
∴∠CBA＝∠BCP+∠CPA，
又∵，
∴∠CBA＝∠BCP+∠CBA，
∴∠BCP＝∠CBA，
∴∠BCP＝∠CPA，
∴BC＝BP，
∵点B（6，0），C（0，9），
∴，
∴BP＝，
∴OP＝OB+BP＝，
∴P点坐标为，
当点P在x轴负半轴上时，根据对称性可知P点坐标为，
综上，P点坐标为：，；
（3）∵抛物线解析式为，
∴抛物线与y轴交点C的坐标为（0，9），
∴OC＝9，
∵点A（﹣3，0），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，AB＝9，
∴OC＝AB＝9，
如图，过点D作DF⊥x轴于F，
∴DE∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴AD：AC＝DF：OC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∴DF：OC＝AE：AB，
∵OC＝AB＝9，
∴DF＝AE，
设E坐标为（t，0），△CDE的面积为S，
则AE＝t+3，
∴DF＝AE＝t+3，
，
即，
∴，
∴当t时，S最大，
此时S的最大值为．
4．（2023•东平县二模）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第四象限的抛物线上，若△PBC的面积为4时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，当∠MAB＝2∠ABC时，求点M的横坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）点P的坐标为（2，﹣3）；
（3）M的横坐标为或．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）抛物线y＝x2﹣x﹣2，当y＝0时，则x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1（不符合题得，舍去），
∴B（4，0），
∴S△ABC＝AB•OC＝×（4+1）×2＝5，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则4k﹣2＝0，
解得k＝，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，
设P（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜4），则G（x，x﹣2），
∴PG＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝OH•PG+BH•PG＝×4PG＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，
∵S△PBC＝4，
∴﹣x2+4x＝4，
解得x1＝x2＝2，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
（3）如图2，取AB点中E，连接CE，则E（，0），
∵＝＝，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠CBO+∠BCO＝90°，
∴BE＝CE＝AB，
∴∠ECB＝∠CBO，
∴∠AEC＝∠ECB+∠CBO＝2∠CBO＝2∠ACO，
当点M在x轴的上方，设AM交y轴于点D，
∵∠MAB＝2∠ABC，
∴∠MAB＝2∠ACO＝∠AEC，
∴AM∥CE，
设直线CE的解析式为y＝mx﹣2，
则m﹣2＝0，
解得m＝，
∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，
设直线AM的解析式为y＝x+a，
则﹣+a＝0，
解得a＝，
∴直线AM的解析式为y＝x+，
由，
得x2﹣x﹣2＝x+，
解得x1＝，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点M的横坐标为；
当点M′在x轴的下方，设AM′交y轴于点F，
直线y＝x+，当x＝0时，y＝，
∴D（0，），
∵∠M′AB＝2∠ACO＝∠MAB，OA＝OA，∠AOF＝∠AOD＝90°，
∴△OAF≌△OAD（ASA），
∴OF＝OD＝，
∴F（0，﹣），
设直线AM′的解析式为y＝nx﹣，则﹣n﹣＝0，
解得n＝﹣，
∴直线AM′的解析式为y＝﹣x﹣，
由，
得x2﹣x﹣2＝﹣x﹣，
解得x1＝，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点M′的横坐标为，
综上所述，点M的横坐标为或．
5．（2023•新泰市二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）；
（3）存在，P（0，3）、Q（1，3），或、，或P（2，3）、Q（1，3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴，
解得b＝2，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
可得﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0，
解得c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3），B（3，0）代入，
可得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
如图，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线BC于点K，
设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点K的坐标为（m，﹣m+3），
∴MK＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵MH⊥x轴，OC⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴∠OCN＝∠MKN，∠CON＝∠KMN，
∴△OCN∽△MKN，
∴，
∴当最大时，
，，
∴点M的坐标为；
（3）∵一次函数过点A（﹣1，0），
∴，
解得，
∴点Q是一次函数图象上一点．
∵点P为抛物线上一点，且在x轴上方，
∴设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），﹣t2+2t+3＞0，
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴OA∥PQ，OA＝PQ＝1，
分两种情况，当点P在点Q的左侧时：
点Q的坐标为，
∵OA∥PQ，
∴点P与点Q的纵坐标相等，
∴﹣t2+2t+3＝，
解得t＝0或，
当t＝0时，﹣t2+2t+3＝3，
∴P（0，3），Q（1，3），
当时，，
∴，；
当点P在点Q的右侧时：
点Q的坐标为，
∴﹣t2+2t+3＝，
解得t＝2或，
当t＝2时，﹣t2+2t+3＝3，
∴P（2，3），Q（1，3），
当时，，不合题意；
综上可知，存在，P（0，3）、Q（1，3），或、，或P（2，3）、Q（1，3）．
6．（2023•宁阳县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝3且OB＝OC，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t，求四边形ABPC面积S的最大值及此时P点的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）S最大值为72，此时点P的坐标为（4，12）；
（3）（3，8）或或（3，11）．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），且对称轴为直线x＝3，
∴OC＝OB＝8，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为B（8，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
∴a（0+2）（0﹣8）＝8，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
如图所示，过点P作PF∥y轴交BC于F，设直线BC的解析式为y＝kx+b′，把B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8，
∵，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC
＝
＝﹣2t2+16t+40
＝﹣2（t﹣4）2+72，
∵﹣2＜0，
∴当t＝4时，S四边形ABPC最大，最大值为72，
∴此时点P的坐标为（4，12）；
（3）在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB时，
，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8）；
②当ME＝EN，∠MEN＝90°时，
，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
连接CM，当N为C关于对称轴l的对称点时，此时四边形CMNE为正方形，
∴CM＝CE，
∵C（0，8），E（3，5），M（3，m），
∴，
∴
解得：m1＝11，m2＝5（舍去），
此时点M的坐标为（3，11）；
在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 AD+AB＝AC ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AD+AB＝AC；
（2）成立，理由见解答；
（3）AC＝5，四边形ABCD面积为25．
【解答】解：（1）∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝∠B＝90°，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵AC＝AC，
∴Rt△DAC≌Rt△BAC（AAS），
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝120°，
∴，
∴∠DCA＝30°，
∴，
∴，
∴AD+AB＝AC．
故答案为：AD+AB＝AC．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
，
以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
由（1）可得：∠CAB＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠CAB＝∠BAC＝∠AEC，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB＝360°，∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠DCB＝∠ACE，
∴∠DCB﹣∠ACB＝∠ACE﹣∠ACB，
∴∠DCA＝∠BCB，
∴△CAD≌△CEB（AAS），
∴AD＝BE，
∵AC＝AE＝AB+BE，
∴AC＝AD+AB．
（3）过点C作CE⊥AC交AB延长线于点E，
，
∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠DAC＝45°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝45°，
∴∠E＝∠CAE，∠E＝∠DAC，
∴AC＝CE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD＝BE，
∴AE＝AB+BE＝AB+AD，
∵AD＝3，AB＝7，
∴AE＝10，
在Rt△ACE中：
AC2+CE2＝AE2，
∴AC＝CE＝5，
∴＝25，
∵△ADC≌△EBC，
∴S△ADC＝S△EBC，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ACB＝S△EBC+S△ACB＝SACE＝25．
五．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•新泰市二模）点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．
（1）【操作发现】
如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM＝PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系； PM＝PN ．（直接写出结论即可）
（2）【类比探究】
如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明．
（3）【拓展应用】
如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB＝8，AD＝6，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．
【答案】（1）PM＝PN；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【解答】（1）解：PM＝PN．理由如下：
过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，
∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，
∴∠GPM＝∠HPN，
∴△PGM∽△PHN，
∴，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴，
∴，
∴PM＝PN，
故答案为：PM＝PN；
（2）证明：如图，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，
∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，
∴∠GPM＝∠HPN，
∴△PGM∽△PHN，
∴，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴∠CPG＝∠CAB，∠CPH＝∠CAD，
∴∠HPG＝∠DAB，
∵∠EPF＝∠BAD，
∴∠EPF＝∠GPH，即∠EPH+∠HPN＝∠EPH+∠GPM，
∴∠HPN＝∠GPM，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠PGC+∠PHC＝180°，
又∵∠PHN+∠PHC＝180°，
∴∠PGC＝∠PHN，
∴△PGM∽△PHN，
∴①，
∵PG∥AB，PH∥AD，
∴，
∴②，
由①②可得，．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2023•岱岳区二模）如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为∠ABC平分线上一点，且FA⊥FC．
（1）求证：FA＝FC；
（2）D为BF上一动点，且有DE⊥DC，求证：△CAE∽△CFD；
（3）如图2，若将∠ABC改为60°，∠AFC改为120°，D为∠ABC平分线BF上一点，且∠EDC始终为120°，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）．
【解答】（1）证明：过点F作FH⊥BC于H，作FG⊥AB，交BA的延长线于G，
∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，FG⊥AB，
∴FG＝FH，
∵FA⊥FC，
∴∠AFC＝90°＝∠ABC，
∴∠BAF+∠BCF＝180°，
∵∠BAF+∠FAG＝180°，
∴∠FAG＝∠BCF，
又∵∠G＝∠FHC＝90°，
∴△FAG≌△FCH（AAS），
∴AF＝CF；
（2）证明：∵∠AFC＝90°＝∠ABC，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC，
∵DE⊥DC，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
∴点D，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC＝∠BDC，
∴∠AEC＝∠FDC，
∴△CAE∽△CFD；
（3）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠AFC＝120°，
∴∠ABC+∠AFC＝180°，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC，∠FAC＝∠FBC＝30°＝∠FCA＝∠ABF，
∴AF＝CF，
∵∠ABC+∠EDC＝180°，
∴点D，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC＝∠BDC，
∴∠AEC＝∠FDC，
∴△CAE∽△CFD，
∴＝，
如图2，过点F作FN⊥AC于N，
∵AF＝FC，FN⊥AC，
∴AC＝2NC，
∵∠ACF＝30°，FN⊥AC，
∴FC＝2FN，NC＝FN，
∴AC＝2FN，
∴＝＝．
10．（2023•东平县二模）【基础模型】：
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】：
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝6，BE＝4，求AD的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，请直接写出菱形ABCD的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】【基础模型】证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴，
∴AC2＝AD•AB；
【尝试应用】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC．
∵BF＝6．BE＝4，
∴BC＝＝＝9，
∴AD＝9；
【更上层楼】解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝DF＝5，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2，
∴菱形ABCD的边长5﹣2．
如图，当点E在BA的延长线上时，同法可得菱形ABCD的边长5+2．
综上所述，菱形的边长为5﹣2或5+2．
相关试卷
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，交y轴于点C，动直线l，与y轴交于点C，，交y轴于点C，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，连接AC，BC，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，连接AC，BC，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
