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山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
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这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题），共29页。试卷主要包含了计算，和点D，两点等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•桓台县二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
2．（2023•淄川区二模）（1）当x＝tan45°时，求代数式的值；
（2）解方程组：．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
3．（2023•博山区二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x﹣1＝0．
三．分式方程的应用（共3小题）
4．（2023•临淄区二模）广西“钦蜜九号”黄金百香果以“味甜浓香”深受广大顾客的喜爱，某超市用3600元购进一批黄金百香果，很快就销售一空；超市又用5400元购进了第二批黄金百香果，此时大量水果上市，所购买的重量是第一批的2倍，但是每千克黄金百香果比第一批便宜了5元．
（1）该超市购进第一批和第二批黄金百香果每千克的单价分别是多少元？
（2）如果这两批黄金百香果都以相同的标价出售，要使两批黄金百香果全部售完后的利润率不低于50%（不计其他因素），则超市应该将黄金百香果至少标价每千克多少元出售？
5．（2023•沂源县二模）小明午休时从单位出发，到距离单位2000米的书店去买书，他先步行800米后，换骑公共自行车（自行车投放点固定）到达书店，全程用时15分钟．已知小明骑自行车的平均速度是步行速度的3倍．（转换出行方式时，所需时间忽略不计）
（1）求小明步行的平均速度；
（2）买完书后，小明原路返回，采取先骑公共自行车后步行．此时离上班时间只剩10分钟，为按时上班，他的骑行速度提升到原来的1.5倍．问：小明按原来的步行速度能按时到单位吗？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
6．（2023•高青县二模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
四．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2023•临淄区二模）（1）；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023•桓台县二模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点D，函数的图象经过点A（3，4）和点D．
（1）求点D的坐标；
（2）求▱OABC的面积．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
9．（2023•临淄区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
10．（2023•周村区二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知OC＝2，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
七．二次函数综合题（共1小题）
11．（2023•桓台县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标；
（3）如图2，过点Q作DQ⊥y轴，交BC于点D，连接PD．当∠PDB＝90°时，求点P的坐标．
八．全等三角形的判定（共1小题）
12．（2023•高青县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，求∠DEC的度数；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•周村区二模）如图，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
一十．圆周角定理（共1小题）
14．（2023•淄川区二模）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）求证：∠CFD＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝6，，∠BDE＝45°，求EG⋅ED的值．
一十一．切线的性质（共2小题）
15．（2023•桓台县二模）如图，以AB为直径的半圆O中，点D为半圆上不与A，B重合的一个动点，AC平分∠BAD交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线EC，交射线AD于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若AE＝4，AB＝6，求AC的长．
16．（2023•周村区二模）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．
（1）求证：BC是∠ABD的平分线；
（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．
一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2023•临淄区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，且C为的中点，AE交CD于点G，若AF＝2，AE＝8，动点M是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．
（1）求CF的长；
（2）连接OG，AC，求证：OG⊥AC；
（3）当动点M在⊙O的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
18．（2023•沂源县二模）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作△ABC的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的长．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2023•淄川区二模）如图，在△ABC中，AC＝2AB，点E在△ABC的角平分线AD上，且BE＝BD．
（1）请利用尺规作图在图中按题意将图形作完整（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）求证：①△ABE∽△ACD，②E是AD的中点．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•桓台县二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）4；
（2）；．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝4；
（2）
＝
＝，
当时，
原式＝．
2．（2023•淄川区二模）（1）当x＝tan45°时，求代数式的值；
（2）解方程组：．
【答案】（1）3；（2）．
【解答】解：（1）
＝•
＝•
＝，
当x＝tan45°＝1时，原式＝＝3；
（2），
将①代入②，得：3（y﹣2）+2y＝9，
解得y＝3，
将y＝3代入①，得x＝1，
∴该方程组的解是．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
3．（2023•博山区二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x﹣1＝0．
【答案】，；
【解答】解：配方法，
移项得x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
开方得：，
解得：，；
公式法：
∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴，
∴，．
三．分式方程的应用（共3小题）
4．（2023•临淄区二模）广西“钦蜜九号”黄金百香果以“味甜浓香”深受广大顾客的喜爱，某超市用3600元购进一批黄金百香果，很快就销售一空；超市又用5400元购进了第二批黄金百香果，此时大量水果上市，所购买的重量是第一批的2倍，但是每千克黄金百香果比第一批便宜了5元．
（1）该超市购进第一批和第二批黄金百香果每千克的单价分别是多少元？
（2）如果这两批黄金百香果都以相同的标价出售，要使两批黄金百香果全部售完后的利润率不低于50%（不计其他因素），则超市应该将黄金百香果至少标价每千克多少元出售？
【答案】（1）该超市购进第一批黄金百香果的单价是20元，第二批黄金百香果的单价是15元；
（2）超市应该将每千克黄金百香果至少标价25元出售．
【解答】解：（1）设购进第一批黄金百香果单价为x元，则第二批的单价为（x﹣5）元，
由题意得，，
解得x＝20，
检验：当x＝20时，x（x﹣5）≠0，
∴x＝20是原分式方程的解．
∴x﹣5＝20﹣5＝15（元），
答：该超市购进第一批黄金百香果的单价是20元，第二批黄金百香果的单价是15元．
（2）由（1）可得，第一批购进（千克），第二批购进180×2＝360（千克），
设每千克黄金百香果标价a元，
由题意得，（180+360）a≥（3600+5400）×（1+50%），
解得a≥25，
答：超市应该将每千克黄金百香果至少标价25元出售．
5．（2023•沂源县二模）小明午休时从单位出发，到距离单位2000米的书店去买书，他先步行800米后，换骑公共自行车（自行车投放点固定）到达书店，全程用时15分钟．已知小明骑自行车的平均速度是步行速度的3倍．（转换出行方式时，所需时间忽略不计）
（1）求小明步行的平均速度；
（2）买完书后，小明原路返回，采取先骑公共自行车后步行．此时离上班时间只剩10分钟，为按时上班，他的骑行速度提升到原来的1.5倍．问：小明按原来的步行速度能按时到单位吗？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
【答案】（1）小明步行的平均速度为80米/分
（2）小明按原来的步行速度不能按时到单位，若想按时到达，他的步行速度至少提升到120米/分．
【解答】解：（1）设小明步行的平均速度为x米/分，则小明骑自行车的平均速度为3x米/分，
依题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝240．
答：小明步行的平均速度为80米/分．
（2）由（1）得小明原来骑自行车的速度为240米/分，
∵（分钟），，
∴小明按原来的步行速度不能按时到单位．
设他的步行速度应提升到y米/分，
依题意得：，
解得：y≥120，
∴他的步行速度至少提升到120米/分．
答：小明按原来的步行速度不能按时到单位，若想按时到达，他的步行速度至少提升到120米/分．
6．（2023•高青县二模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【解答】解：（1）燃油车每千米行驶费用为＝（元），纯电新能源车每千米行驶费用为＝（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①由题意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
经检验，a＝600是分式方程的解，且符合题意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2023•临淄区二模）（1）；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；
（2）x≥﹣1．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2），
解①得，x＞﹣3；
解②得，x≥﹣1；
∴不等式组的解集是x≥﹣1；
解集在数轴上表示如下：
．
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023•桓台县二模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点D，函数的图象经过点A（3，4）和点D．
（1）求点D的坐标；
（2）求▱OABC的面积．
【答案】（1）D（6，2），（2）36．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD＝CD，
∴点D的纵坐标为2，
∵点D在y＝的图象上，
∴D（6，2）．
（2）∵AD＝CD，A（3，4），D（6，2）
∴C（9，0）；
∴OC＝9，
∴平行四边形OABC的周长面积为9×4＝36．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
9．（2023•临淄区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）8；
（3）0＜x＜1或x＞3．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
∴6＝﹣2m+8，n＝﹣2×3+8，k＝6m，
∴m＝1，n＝2，k＝6，
∴点A（1，6），点B（3，2），
反比例函数解析式为：；
（2）∵y＝﹣2x+8，
当x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝4，
如图所示：C（0，8），D（4，0），
∴OC＝8，OD＝4，
∴S△OAB＝S△COD﹣S△AOC﹣S△BOD＝＝＝8；
（3）由图象可得当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在一次函数的上方．
即不等式的解集为：0＜x＜1或x＞3．
10．（2023•周村区二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知OC＝2，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）4；
（3）x＞1或﹣3＜x＜0．
【解答】解：（1）∵点C在y轴正半轴，OC＝2，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为y＝x+2．
将y＝3代入y＝x+2，得x＝1，
∴B（1，3）．
将点B（1，3）代入，得，
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为．
（2）将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2，
∴点D的坐标是（0，﹣2），
∴OD＝2．
将y＝x+2代入，得，
解得x1＝1，x2＝﹣3．当x＝﹣3时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴点A的坐标是（﹣3，﹣1），
∵点B的纵坐标为3，
∴．
（3）由图象知：x＞1或﹣3＜x＜0．
七．二次函数综合题（共1小题）
11．（2023•桓台县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标；
（3）如图2，过点Q作DQ⊥y轴，交BC于点D，连接PD．当∠PDB＝90°时，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
（3）P（﹣，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
答：抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA•CF﹣PA•QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时，S△CPQ有最大值为2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
答：△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
（3）由（1）（2）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，C（﹣1，﹣4），B（﹣3，0），A（1，0），
∴BC：y＝﹣2x﹣6，AC：y＝2x﹣2，
设P（p，0）（﹣3≤p≤1），
∵PQ∥BC，
∴PQ：y＝﹣2x+2p，
∴，解得，
∴Q（，p﹣1），
把y＝p﹣1代入y＝﹣2x﹣6，得x＝﹣，
∴D（﹣，p﹣1），
过点D作DH⊥BP于H，
∴DH＝|p﹣1|，PH＝，BH＝，
∵∠PDB＝90°，
∴∠DBP+∠BPD＝90°，
∵∠DHB＝90°，∠BDH+∠PBD＝90°，
∴∠BDH＝∠BPD，
∵∠BHD＝PHD＝90°，
∴△BHD∽△DHP，
∴，
∴DH2＝BH•PH，
∴，
∴p＝1或p＝﹣，
当p＝1时，∠PDB不存在，
∴P（﹣，0）．
答：P（﹣，0）．
八．全等三角形的判定（共1小题）
12．（2023•高青县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，求∠DEC的度数；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE．
【答案】（1）115°；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣25°﹣40°＝115°；
（2）证明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝40°+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•周村区二模）如图，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∴BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
一十．圆周角定理（共1小题）
14．（2023•淄川区二模）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）求证：∠CFD＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝6，，∠BDE＝45°，求EG⋅ED的值．
【答案】（1）见解析；
（2）100°；
（3）．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD＝∠E，
∴∠C＝∠CFD；
（2）解：∵∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝100°；
（3）解：如图，连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝6，
在Rt△ABD中，，BD＝6，
∴AB＝9，
∵∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝∠AOE＝90°，
∵，
∴，
∵∠AOE＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∵△AEG∽△DEA，
∴，
即．
一十一．切线的性质（共2小题）
15．（2023•桓台县二模）如图，以AB为直径的半圆O中，点D为半圆上不与A，B重合的一个动点，AC平分∠BAD交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线EC，交射线AD于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若AE＝4，AB＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∵EC是圆O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°；
（2）解：如图，连接BC．
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠E，
又∵∠BAC＝∠EAC，
∴△BAC∽△CAE，
∴，
∵AE＝4，AB＝6，
∴AC＝＝＝2．
16．（2023•周村区二模）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．
（1）求证：BC是∠ABD的平分线；
（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BC＝4．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线MC与⊙O相切于点C
∴∠OCM＝90°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDM＝90°，
∴∠OCM＝∠ADM，
∴OC∥BD，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OA＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠DBC＝∠CBA，即BC是∠ABD的平分线；
（2）连接AC，连接AE交OC于点F，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝8，
由（1）知OC∥BD，O为AB的中点，
∴AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴CF＝OC﹣OF＝2，
∴AC＝＝2，
∴BC＝＝4．
一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2023•临淄区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，且C为的中点，AE交CD于点G，若AF＝2，AE＝8，动点M是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．
（1）求CF的长；
（2）连接OG，AC，求证：OG⊥AC；
（3）当动点M在⊙O的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【答案】（1）4；
（2）见解答；
（3）的比值不变，比值为．
【解答】（1）解：∵C为的中点，弦CD⊥AB于F，
∴，
∴，
∴AE＝DC＝8，
∴CF＝DF＝4，
（2）证明：连接AC，BC，OG，BC交AE于点N，
∵，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠DCA＝∠CBA，
∵∠BFE+∠EBC＝90°，∠ABC+∠DCB＝90°，
∴AG＝GC，∠DCB＝∠EFB，
∴∠DCB＝∠ANC，
∴GN＝GC，
∵AO＝BO，
∴OG是△OAN的中位线，
∴GO∥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∴OG⊥AC；
（3）解：的值不变．
理由：如图2，连接DO，则DO⊥PD，DF⊥PO，
∵∠OFD＝∠ODP，∠FOD＝∠POD，
∴△OFD∽△ODP，
同理△OFD∽△DFP，
则DO2＝FO•OP，
DF2＝OF•FP，
由（1）知DF＝4，
设AO＝x，则FO＝x﹣2，
故x2＝（x﹣2）2+42，
解得：x＝5，故FO＝3，
即42＝3•FP，
∴FP＝．
当点M与点A重合时：＝＝，
当点M与点B重合时：＝，
当点M不与点A、B重合时：连接FM、PM、MO、DO，
∵DO2＝FO•OP，
∴OM2＝FO•OP，
∴，
∵∠AOM＝∠MOA，
∴△OFM∽△OPM，
∴．
综上所述，的比值不变，比值为．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
18．（2023•沂源县二模）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作△ABC的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的长．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求作．
（2）在Rt△ADB中，tan∠BAD＝＝，
∵AD＝4，
∴BD＝，
∵∠BAC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ADB∽△CDA，
∴AD2＝BD•CD，
∴CD＝3．
解法二：此题解法复杂了，∠BAD＝∠C，通过tan∠C计算更快．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2023•淄川区二模）如图，在△ABC中，AC＝2AB，点E在△ABC的角平分线AD上，且BE＝BD．
（1）请利用尺规作图在图中按题意将图形作完整（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）求证：①△ABE∽△ACD，②E是AD的中点．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；
②证明见解答．
【解答】（1）作法：1．以点A为圆心，适当长为半径作弧交AB于点F，交AC于点G，
2．分别以点F、点G为圆心，大于FG的长为半径弧，两弧在∠BAC内部交于点H，
3．作射线AH交BC于点D，
4．以点B为圆心，BD的长为半径作弧交AD于点E，
5．连接BE，
线段AD和线段BE就是所求的图形．
证明：连接FH、GH，
在△AFH和△AGH中，
，
∴△AFH≌△AGH（SSS），
∴∠FAH＝∠GAH，
∴AD是△ABC的角平分线，
由作图得BE＝BD，
∴线段AD、线段BE就是所求的图形．
（2）证明：①∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∵AD平分∠BAC，点E在AD上，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠BED﹣∠BAE＝∠BDE﹣∠CAD，
∴∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△ACD．
②∵△ABE∽△ACD，AC＝2AB，
∴＝＝，
∴AE＝AD＝（AE+DE），
∴AE＝DE，
∴E是AD的中点．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•桓台县二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
2．（2023•淄川区二模）（1）当x＝tan45°时，求代数式的值；
（2）解方程组：．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
3．（2023•博山区二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x﹣1＝0．
三．分式方程的应用（共3小题）
4．（2023•临淄区二模）广西“钦蜜九号”黄金百香果以“味甜浓香”深受广大顾客的喜爱，某超市用3600元购进一批黄金百香果，很快就销售一空；超市又用5400元购进了第二批黄金百香果，此时大量水果上市，所购买的重量是第一批的2倍，但是每千克黄金百香果比第一批便宜了5元．
（1）该超市购进第一批和第二批黄金百香果每千克的单价分别是多少元？
（2）如果这两批黄金百香果都以相同的标价出售，要使两批黄金百香果全部售完后的利润率不低于50%（不计其他因素），则超市应该将黄金百香果至少标价每千克多少元出售？
5．（2023•沂源县二模）小明午休时从单位出发，到距离单位2000米的书店去买书，他先步行800米后，换骑公共自行车（自行车投放点固定）到达书店，全程用时15分钟．已知小明骑自行车的平均速度是步行速度的3倍．（转换出行方式时，所需时间忽略不计）
（1）求小明步行的平均速度；
（2）买完书后，小明原路返回，采取先骑公共自行车后步行．此时离上班时间只剩10分钟，为按时上班，他的骑行速度提升到原来的1.5倍．问：小明按原来的步行速度能按时到单位吗？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
6．（2023•高青县二模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
四．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2023•临淄区二模）（1）；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023•桓台县二模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点D，函数的图象经过点A（3，4）和点D．
（1）求点D的坐标；
（2）求▱OABC的面积．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
9．（2023•临淄区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
10．（2023•周村区二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知OC＝2，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
七．二次函数综合题（共1小题）
11．（2023•桓台县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标；
（3）如图2，过点Q作DQ⊥y轴，交BC于点D，连接PD．当∠PDB＝90°时，求点P的坐标．
八．全等三角形的判定（共1小题）
12．（2023•高青县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，求∠DEC的度数；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•周村区二模）如图，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
一十．圆周角定理（共1小题）
14．（2023•淄川区二模）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）求证：∠CFD＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝6，，∠BDE＝45°，求EG⋅ED的值．
一十一．切线的性质（共2小题）
15．（2023•桓台县二模）如图，以AB为直径的半圆O中，点D为半圆上不与A，B重合的一个动点，AC平分∠BAD交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线EC，交射线AD于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若AE＝4，AB＝6，求AC的长．
16．（2023•周村区二模）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．
（1）求证：BC是∠ABD的平分线；
（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．
一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2023•临淄区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，且C为的中点，AE交CD于点G，若AF＝2，AE＝8，动点M是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．
（1）求CF的长；
（2）连接OG，AC，求证：OG⊥AC；
（3）当动点M在⊙O的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
18．（2023•沂源县二模）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作△ABC的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的长．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2023•淄川区二模）如图，在△ABC中，AC＝2AB，点E在△ABC的角平分线AD上，且BE＝BD．
（1）请利用尺规作图在图中按题意将图形作完整（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）求证：①△ABE∽△ACD，②E是AD的中点．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•桓台县二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）4；
（2）；．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝4；
（2）
＝
＝，
当时，
原式＝．
2．（2023•淄川区二模）（1）当x＝tan45°时，求代数式的值；
（2）解方程组：．
【答案】（1）3；（2）．
【解答】解：（1）
＝•
＝•
＝，
当x＝tan45°＝1时，原式＝＝3；
（2），
将①代入②，得：3（y﹣2）+2y＝9，
解得y＝3，
将y＝3代入①，得x＝1，
∴该方程组的解是．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
3．（2023•博山区二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x﹣1＝0．
【答案】，；
【解答】解：配方法，
移项得x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
开方得：，
解得：，；
公式法：
∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴，
∴，．
三．分式方程的应用（共3小题）
4．（2023•临淄区二模）广西“钦蜜九号”黄金百香果以“味甜浓香”深受广大顾客的喜爱，某超市用3600元购进一批黄金百香果，很快就销售一空；超市又用5400元购进了第二批黄金百香果，此时大量水果上市，所购买的重量是第一批的2倍，但是每千克黄金百香果比第一批便宜了5元．
（1）该超市购进第一批和第二批黄金百香果每千克的单价分别是多少元？
（2）如果这两批黄金百香果都以相同的标价出售，要使两批黄金百香果全部售完后的利润率不低于50%（不计其他因素），则超市应该将黄金百香果至少标价每千克多少元出售？
【答案】（1）该超市购进第一批黄金百香果的单价是20元，第二批黄金百香果的单价是15元；
（2）超市应该将每千克黄金百香果至少标价25元出售．
【解答】解：（1）设购进第一批黄金百香果单价为x元，则第二批的单价为（x﹣5）元，
由题意得，，
解得x＝20，
检验：当x＝20时，x（x﹣5）≠0，
∴x＝20是原分式方程的解．
∴x﹣5＝20﹣5＝15（元），
答：该超市购进第一批黄金百香果的单价是20元，第二批黄金百香果的单价是15元．
（2）由（1）可得，第一批购进（千克），第二批购进180×2＝360（千克），
设每千克黄金百香果标价a元，
由题意得，（180+360）a≥（3600+5400）×（1+50%），
解得a≥25，
答：超市应该将每千克黄金百香果至少标价25元出售．
5．（2023•沂源县二模）小明午休时从单位出发，到距离单位2000米的书店去买书，他先步行800米后，换骑公共自行车（自行车投放点固定）到达书店，全程用时15分钟．已知小明骑自行车的平均速度是步行速度的3倍．（转换出行方式时，所需时间忽略不计）
（1）求小明步行的平均速度；
（2）买完书后，小明原路返回，采取先骑公共自行车后步行．此时离上班时间只剩10分钟，为按时上班，他的骑行速度提升到原来的1.5倍．问：小明按原来的步行速度能按时到单位吗？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
【答案】（1）小明步行的平均速度为80米/分
（2）小明按原来的步行速度不能按时到单位，若想按时到达，他的步行速度至少提升到120米/分．
【解答】解：（1）设小明步行的平均速度为x米/分，则小明骑自行车的平均速度为3x米/分，
依题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝240．
答：小明步行的平均速度为80米/分．
（2）由（1）得小明原来骑自行车的速度为240米/分，
∵（分钟），，
∴小明按原来的步行速度不能按时到单位．
设他的步行速度应提升到y米/分，
依题意得：，
解得：y≥120，
∴他的步行速度至少提升到120米/分．
答：小明按原来的步行速度不能按时到单位，若想按时到达，他的步行速度至少提升到120米/分．
6．（2023•高青县二模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【解答】解：（1）燃油车每千米行驶费用为＝（元），纯电新能源车每千米行驶费用为＝（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①由题意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
经检验，a＝600是分式方程的解，且符合题意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2023•临淄区二模）（1）；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；
（2）x≥﹣1．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2），
解①得，x＞﹣3；
解②得，x≥﹣1；
∴不等式组的解集是x≥﹣1；
解集在数轴上表示如下：
．
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023•桓台县二模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点D，函数的图象经过点A（3，4）和点D．
（1）求点D的坐标；
（2）求▱OABC的面积．
【答案】（1）D（6，2），（2）36．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD＝CD，
∴点D的纵坐标为2，
∵点D在y＝的图象上，
∴D（6，2）．
（2）∵AD＝CD，A（3，4），D（6，2）
∴C（9，0）；
∴OC＝9，
∴平行四边形OABC的周长面积为9×4＝36．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
9．（2023•临淄区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）8；
（3）0＜x＜1或x＞3．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
∴6＝﹣2m+8，n＝﹣2×3+8，k＝6m，
∴m＝1，n＝2，k＝6，
∴点A（1，6），点B（3，2），
反比例函数解析式为：；
（2）∵y＝﹣2x+8，
当x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝4，
如图所示：C（0，8），D（4，0），
∴OC＝8，OD＝4，
∴S△OAB＝S△COD﹣S△AOC﹣S△BOD＝＝＝8；
（3）由图象可得当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在一次函数的上方．
即不等式的解集为：0＜x＜1或x＞3．
10．（2023•周村区二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知OC＝2，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）4；
（3）x＞1或﹣3＜x＜0．
【解答】解：（1）∵点C在y轴正半轴，OC＝2，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为y＝x+2．
将y＝3代入y＝x+2，得x＝1，
∴B（1，3）．
将点B（1，3）代入，得，
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为．
（2）将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2，
∴点D的坐标是（0，﹣2），
∴OD＝2．
将y＝x+2代入，得，
解得x1＝1，x2＝﹣3．当x＝﹣3时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴点A的坐标是（﹣3，﹣1），
∵点B的纵坐标为3，
∴．
（3）由图象知：x＞1或﹣3＜x＜0．
七．二次函数综合题（共1小题）
11．（2023•桓台县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标；
（3）如图2，过点Q作DQ⊥y轴，交BC于点D，连接PD．当∠PDB＝90°时，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
（3）P（﹣，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
答：抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA•CF﹣PA•QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时，S△CPQ有最大值为2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
答：△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
（3）由（1）（2）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，C（﹣1，﹣4），B（﹣3，0），A（1，0），
∴BC：y＝﹣2x﹣6，AC：y＝2x﹣2，
设P（p，0）（﹣3≤p≤1），
∵PQ∥BC，
∴PQ：y＝﹣2x+2p，
∴，解得，
∴Q（，p﹣1），
把y＝p﹣1代入y＝﹣2x﹣6，得x＝﹣，
∴D（﹣，p﹣1），
过点D作DH⊥BP于H，
∴DH＝|p﹣1|，PH＝，BH＝，
∵∠PDB＝90°，
∴∠DBP+∠BPD＝90°，
∵∠DHB＝90°，∠BDH+∠PBD＝90°，
∴∠BDH＝∠BPD，
∵∠BHD＝PHD＝90°，
∴△BHD∽△DHP，
∴，
∴DH2＝BH•PH，
∴，
∴p＝1或p＝﹣，
当p＝1时，∠PDB不存在，
∴P（﹣，0）．
答：P（﹣，0）．
八．全等三角形的判定（共1小题）
12．（2023•高青县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，求∠DEC的度数；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE．
【答案】（1）115°；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣25°﹣40°＝115°；
（2）证明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝40°+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•周村区二模）如图，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∴BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
一十．圆周角定理（共1小题）
14．（2023•淄川区二模）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）求证：∠CFD＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝6，，∠BDE＝45°，求EG⋅ED的值．
【答案】（1）见解析；
（2）100°；
（3）．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD＝∠E，
∴∠C＝∠CFD；
（2）解：∵∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝100°；
（3）解：如图，连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝6，
在Rt△ABD中，，BD＝6，
∴AB＝9，
∵∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝∠AOE＝90°，
∵，
∴，
∵∠AOE＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∵△AEG∽△DEA，
∴，
即．
一十一．切线的性质（共2小题）
15．（2023•桓台县二模）如图，以AB为直径的半圆O中，点D为半圆上不与A，B重合的一个动点，AC平分∠BAD交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线EC，交射线AD于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若AE＝4，AB＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∵EC是圆O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°；
（2）解：如图，连接BC．
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠E，
又∵∠BAC＝∠EAC，
∴△BAC∽△CAE，
∴，
∵AE＝4，AB＝6，
∴AC＝＝＝2．
16．（2023•周村区二模）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．
（1）求证：BC是∠ABD的平分线；
（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BC＝4．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线MC与⊙O相切于点C
∴∠OCM＝90°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDM＝90°，
∴∠OCM＝∠ADM，
∴OC∥BD，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OA＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠DBC＝∠CBA，即BC是∠ABD的平分线；
（2）连接AC，连接AE交OC于点F，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝8，
由（1）知OC∥BD，O为AB的中点，
∴AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴CF＝OC﹣OF＝2，
∴AC＝＝2，
∴BC＝＝4．
一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2023•临淄区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，且C为的中点，AE交CD于点G，若AF＝2，AE＝8，动点M是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．
（1）求CF的长；
（2）连接OG，AC，求证：OG⊥AC；
（3）当动点M在⊙O的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【答案】（1）4；
（2）见解答；
（3）的比值不变，比值为．
【解答】（1）解：∵C为的中点，弦CD⊥AB于F，
∴，
∴，
∴AE＝DC＝8，
∴CF＝DF＝4，
（2）证明：连接AC，BC，OG，BC交AE于点N，
∵，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠DCA＝∠CBA，
∵∠BFE+∠EBC＝90°，∠ABC+∠DCB＝90°，
∴AG＝GC，∠DCB＝∠EFB，
∴∠DCB＝∠ANC，
∴GN＝GC，
∵AO＝BO，
∴OG是△OAN的中位线，
∴GO∥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∴OG⊥AC；
（3）解：的值不变．
理由：如图2，连接DO，则DO⊥PD，DF⊥PO，
∵∠OFD＝∠ODP，∠FOD＝∠POD，
∴△OFD∽△ODP，
同理△OFD∽△DFP，
则DO2＝FO•OP，
DF2＝OF•FP，
由（1）知DF＝4，
设AO＝x，则FO＝x﹣2，
故x2＝（x﹣2）2+42，
解得：x＝5，故FO＝3，
即42＝3•FP，
∴FP＝．
当点M与点A重合时：＝＝，
当点M与点B重合时：＝，
当点M不与点A、B重合时：连接FM、PM、MO、DO，
∵DO2＝FO•OP，
∴OM2＝FO•OP，
∴，
∵∠AOM＝∠MOA，
∴△OFM∽△OPM，
∴．
综上所述，的比值不变，比值为．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
18．（2023•沂源县二模）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作△ABC的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的长．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求作．
（2）在Rt△ADB中，tan∠BAD＝＝，
∵AD＝4，
∴BD＝，
∵∠BAC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ADB∽△CDA，
∴AD2＝BD•CD，
∴CD＝3．
解法二：此题解法复杂了，∠BAD＝∠C，通过tan∠C计算更快．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2023•淄川区二模）如图，在△ABC中，AC＝2AB，点E在△ABC的角平分线AD上，且BE＝BD．
（1）请利用尺规作图在图中按题意将图形作完整（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）求证：①△ABE∽△ACD，②E是AD的中点．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；
②证明见解答．
【解答】（1）作法：1．以点A为圆心，适当长为半径作弧交AB于点F，交AC于点G，
2．分别以点F、点G为圆心，大于FG的长为半径弧，两弧在∠BAC内部交于点H，
3．作射线AH交BC于点D，
4．以点B为圆心，BD的长为半径作弧交AD于点E，
5．连接BE，
线段AD和线段BE就是所求的图形．
证明：连接FH、GH，
在△AFH和△AGH中，
，
∴△AFH≌△AGH（SSS），
∴∠FAH＝∠GAH，
∴AD是△ABC的角平分线，
由作图得BE＝BD，
∴线段AD、线段BE就是所求的图形．
（2）证明：①∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∵AD平分∠BAC，点E在AD上，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠BED﹣∠BAE＝∠BDE﹣∠CAD，
∴∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△ACD．
②∵△ABE∽△ACD，AC＝2AB，
∴＝＝，
∴AE＝AD＝（AE+DE），
∴AE＝DE，
∴E是AD的中点．
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