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山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
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这是一份山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题），共17页。试卷主要包含了＝14+03+42+91＝26，÷的部分运算过程，0﹣|﹣|+﹣；，x2﹣x﹣3＝0等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2023•青州市二模）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1049）＝14+03+42+91＝26．
（1）计算：F（2023）；
（2）当c＝e+4时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是8的倍数．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•青州市二模）以下是某同学化简分式（）÷的部分运算过程：
原式＝[]÷①
＝②
＝
……
（1）上面的运算过程中从第 步出现了错误；错误原因是 ．
（2）请你写出完整的解答过程．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023•临朐县一模）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
（2）化简：（﹣x﹣1）÷，请选择一个恰当的数代入求值．
四．根与系数的关系（共1小题）
4．（2023•青州市二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023•潍城区二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
（1）求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
（2）经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m（50≤m≤150）只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023•临朐县一模）某种商品的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣5，图象如图所示，图象上有两点A（1，4），B（2，11）．
（1）求y关于x的表达式；
（2）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为16元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于16元？
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•青州市二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023•潍坊一模）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如表：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时）
甲校频数（人）
乙校频数（人）
0.5≤x＜1
18
24
1≤x＜1.5
32
40
1.5≤x＜2
48
76
2≤x＜2.5
86
40
2.5≤x＜3
16
20
【数据分析】：
（1）请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．
（2）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：；
类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：
平均分
方差
中位数
众数
最高分
最低分
甲学校
401.8
156.2
373
335
682
23
乙学校
408.8
154.5
373
346
682
35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
九．列表法与树状图法（共2小题）
9．（2023•青州市二模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
①收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3，1，2，2，3，3，2，3，1，x，4，0，5，5，2，6，1，6，3，1；
②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）
分组
频数
0≤x＜2
m
2≤x＜4
n
4≤x＜6
3
6≤x＜8
2
③分析数据：
平均数
中位数
众数
2.8
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）兴趣小组计划抽取该校九年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是 ；
A．从该校九年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校九年级女生中随机抽取20名学生
C．从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生
（2）填空：x＝ ；m＝ ；n＝ ；a＝ ；b＝ ；
（3）已知一周参加家庭劳动的次数在4≤x＜8的这5名学生中，有2名女生，3名男生，现准备从这5名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会．请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．
10．（2023•潍城区二模）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
社团
A
B
C
D
E
人数
a
13
10
c
5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知5名劳技实践社团成员中有2名女生和3名男生，现准备从这5名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
（3）根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2023•青州市二模）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1049）＝14+03+42+91＝26．
（1）计算：F（2023）；
（2）当c＝e+4时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是8的倍数．
【答案】（2）；（3）答案见解答过程．
【解答】（1）解：F（2023）＝24+03+22+31＝16+0+4+3＝23；
（2）证明：∵c＝e+4，
∴F（）﹣F（）
＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2
＝（e+4）2﹣e2
＝（e+4+e）（e+4﹣e）
＝8（e+2）．
∴F（）﹣F（）的运算结果一定是8的倍数．（ ）
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•青州市二模）以下是某同学化简分式（）÷的部分运算过程：
原式＝[]÷①
＝②
＝
……
（1）上面的运算过程中从第 ① 步出现了错误；错误原因是 通分不正确 ．
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）①，通分不正确；
（2）﹣x2﹣x．
【解答】解：（1）运算过程中从第①步出现了错误；错误原因是通分不正确；
故答案为：①，通分不正确；
（2）原式＝式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝﹣x2﹣x．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023•临朐县一模）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
（2）化简：（﹣x﹣1）÷，请选择一个恰当的数代入求值．
【答案】（1）﹣；
（2）1（不唯一）．
【解答】解：（1）（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
＝1﹣﹣3+2
＝﹣；
（2）（﹣x﹣1）÷
＝÷
＝•
＝x﹣2．
当x＝3时，
原式＝3﹣1＝1．
四．根与系数的关系（共1小题）
4．（2023•青州市二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝4，另一个根为；
（2）且m≠2．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣2+1﹣3＝0，
解得：m＝4．
当m＝4时，原方程为2x2﹣x﹣3＝0，即（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴方程的另一个根为．
（2）∵方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0有两个不同的实数根，
∴，
解得：且m≠2，
∴当且m≠2时，方程有两个不同的实数根．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023•潍城区二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
（1）求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
（2）经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m（50≤m≤150）只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】（1）一只A型风筝的进价是100元，一只B型风筝的进价是80元；
（2）当购进50只A型风筝，250只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【解答】解：（1）设一只B型风筝的进价是x元，则一只A型风筝的进价是（x+20）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100．
答：一只A型风筝的进价是100元，一只B型风筝的进价是80元；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w＝[2（130﹣m）﹣100]m+（120﹣80）（300﹣m）＝﹣2m2+120m+12000，
即w＝﹣2（m﹣30）2+13800，
∵﹣2＜0，且50≤m≤150，
∴w随m的增长而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×（50﹣30）2+13800＝13000，此时300﹣m＝300﹣50＝250．
答：当购进50只A型风筝，250只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023•临朐县一模）某种商品的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣5，图象如图所示，图象上有两点A（1，4），B（2，11）．
（1）求y关于x的表达式；
（2）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为16元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于16元？
【答案】（1）y关于x的表达式为y＝﹣x2+10x﹣5；
（2）当销售定价为3元或7元时，该种商品的销售利润为16元；结合图象当3≤x≤7时，该种商品的销售利润不低于16元．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣5图象过点A（1，4），B（2，11），
∴，
解得，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x2+10x﹣5；
（2）当y＝16时，﹣x2+10x﹣5＝16，
解得x1＝3，x2＝7，
∴当销售定价为3元或7元时，该种商品的销售利润为16元；
结合图象当3≤x≤7时，该种商品的销售利润不低于16元．
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•青州市二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
如图：
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）如图，∵OB＝12，BF＝8，则OE＝OB＝12，OF＝12+8＝20，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴EF2＝OF2﹣OE2＝202﹣122＝256，
解得：EF＝16，
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴AE＝2BE，
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023•潍坊一模）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如表：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时）
甲校频数（人）
乙校频数（人）
0.5≤x＜1
18
24
1≤x＜1.5
32
40
1.5≤x＜2
48
76
2≤x＜2.5
86
40
2.5≤x＜3
16
20
【数据分析】：
（1）请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．
（2）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：；
类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：
平均分
方差
中位数
众数
最高分
最低分
甲学校
401.8
156.2
373
335
682
23
乙学校
408.8
154.5
373
346
682
35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
【答案】【数据分析】（1）频数分布直方图见解析，n＜m；
（2）乙＝1.73；
【统计应用】这种说法不对，理由见解析．
【解答】解：【数据分析】（1）如图所示：
因为，甲校所得数据的中位数m满足2≤m＜2.5，
乙校所得数据的中位数n满足1.5≤n＜2，
所以，n＜m；
（2）乙＝×（0.75×24+1.25×40+1.75×76+2.25×40+2.75×20）＝1.73；
【统计应用】这种说法不对．
因为从两所学校的平均成绩来看，乙校学生的平均成绩高，而且乙校学生的方差小，学生成绩两极分化小，但其学生作业的完成平均时间比甲校短．
九．列表法与树状图法（共2小题）
9．（2023•青州市二模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
①收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3，1，2，2，3，3，2，3，1，x，4，0，5，5，2，6，1，6，3，1；
②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）
分组
频数
0≤x＜2
m
2≤x＜4
n
4≤x＜6
3
6≤x＜8
2
③分析数据：
平均数
中位数
众数
2.8
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）兴趣小组计划抽取该校九年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是 C ；
A．从该校九年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校九年级女生中随机抽取20名学生
C．从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生
（2）填空：x＝ 3 ；m＝ 5 ；n＝ 10 ；a＝ 3 ；b＝ 3 ；
（3）已知一周参加家庭劳动的次数在4≤x＜8的这5名学生中，有2名女生，3名男生，现准备从这5名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会．请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．
【答案】（1）C；
（2）3，5，10，3，3；
（3）．
【解答】解：（1）∵调查样本要具有代表性，
∴从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生．
故答案为：C；
（2）从扇形图可知，0≤x＜2组占总人数的25%，
∴m＝20×25%＝5，
∴n＝20﹣5﹣3﹣2＝10，
∵平均数为2.8，
∴（3+1+2+2+3+3+2+3+1+x+4+0+5+5+2+6+1+6+3+1）＝2.8×20，
解得x＝3，
数据按由小到大的顺序排序：
0，1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，5，5，6，6，
∴中位数a＝＝3，
众数b＝3．
故答案为：3，5，10，3，3；
（3）列表如下：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，男3）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，男3）
（男2，女1）
（男2，女2）
男3
（男3，男1）
（男3，男2）
（男3，女1）
（男3，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，男3）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，男3）
（女2，女1）
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
∴“谈体会的两人都是男生”的概率为．
10．（2023•潍城区二模）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
社团
A
B
C
D
E
人数
a
13
10
c
5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中a＝ 15 ，b＝ 20 ，c＝ 7 ；
（2）已知5名劳技实践社团成员中有2名女生和3名男生，现准备从这5名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
（3）根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？
【答案】（1）15，20，7；
（2）；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50（人），
∴a＝50×30%＝15，
b%＝10÷50×100%＝20%，即b＝20，
c＝50﹣（15+13+10+5）＝7，
故答案为：15，20，7；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝；
（3）样本中劳动实践人数最少，所以应加强学生劳动实践方面的教育与引导．
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2023•青州市二模）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1049）＝14+03+42+91＝26．
（1）计算：F（2023）；
（2）当c＝e+4时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是8的倍数．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•青州市二模）以下是某同学化简分式（）÷的部分运算过程：
原式＝[]÷①
＝②
＝
……
（1）上面的运算过程中从第 步出现了错误；错误原因是 ．
（2）请你写出完整的解答过程．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023•临朐县一模）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
（2）化简：（﹣x﹣1）÷，请选择一个恰当的数代入求值．
四．根与系数的关系（共1小题）
4．（2023•青州市二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023•潍城区二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
（1）求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
（2）经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m（50≤m≤150）只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023•临朐县一模）某种商品的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣5，图象如图所示，图象上有两点A（1，4），B（2，11）．
（1）求y关于x的表达式；
（2）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为16元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于16元？
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•青州市二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023•潍坊一模）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如表：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时）
甲校频数（人）
乙校频数（人）
0.5≤x＜1
18
24
1≤x＜1.5
32
40
1.5≤x＜2
48
76
2≤x＜2.5
86
40
2.5≤x＜3
16
20
【数据分析】：
（1）请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．
（2）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：；
类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：
平均分
方差
中位数
众数
最高分
最低分
甲学校
401.8
156.2
373
335
682
23
乙学校
408.8
154.5
373
346
682
35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
九．列表法与树状图法（共2小题）
9．（2023•青州市二模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
①收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3，1，2，2，3，3，2，3，1，x，4，0，5，5，2，6，1，6，3，1；
②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）
分组
频数
0≤x＜2
m
2≤x＜4
n
4≤x＜6
3
6≤x＜8
2
③分析数据：
平均数
中位数
众数
2.8
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）兴趣小组计划抽取该校九年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是 ；
A．从该校九年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校九年级女生中随机抽取20名学生
C．从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生
（2）填空：x＝ ；m＝ ；n＝ ；a＝ ；b＝ ；
（3）已知一周参加家庭劳动的次数在4≤x＜8的这5名学生中，有2名女生，3名男生，现准备从这5名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会．请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．
10．（2023•潍城区二模）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
社团
A
B
C
D
E
人数
a
13
10
c
5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知5名劳技实践社团成员中有2名女生和3名男生，现准备从这5名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
（3）根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2023•青州市二模）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1049）＝14+03+42+91＝26．
（1）计算：F（2023）；
（2）当c＝e+4时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是8的倍数．
【答案】（2）；（3）答案见解答过程．
【解答】（1）解：F（2023）＝24+03+22+31＝16+0+4+3＝23；
（2）证明：∵c＝e+4，
∴F（）﹣F（）
＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2
＝（e+4）2﹣e2
＝（e+4+e）（e+4﹣e）
＝8（e+2）．
∴F（）﹣F（）的运算结果一定是8的倍数．（ ）
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•青州市二模）以下是某同学化简分式（）÷的部分运算过程：
原式＝[]÷①
＝②
＝
……
（1）上面的运算过程中从第 ① 步出现了错误；错误原因是 通分不正确 ．
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）①，通分不正确；
（2）﹣x2﹣x．
【解答】解：（1）运算过程中从第①步出现了错误；错误原因是通分不正确；
故答案为：①，通分不正确；
（2）原式＝式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝﹣x2﹣x．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023•临朐县一模）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
（2）化简：（﹣x﹣1）÷，请选择一个恰当的数代入求值．
【答案】（1）﹣；
（2）1（不唯一）．
【解答】解：（1）（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
＝1﹣﹣3+2
＝﹣；
（2）（﹣x﹣1）÷
＝÷
＝•
＝x﹣2．
当x＝3时，
原式＝3﹣1＝1．
四．根与系数的关系（共1小题）
4．（2023•青州市二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝4，另一个根为；
（2）且m≠2．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣2+1﹣3＝0，
解得：m＝4．
当m＝4时，原方程为2x2﹣x﹣3＝0，即（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴方程的另一个根为．
（2）∵方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0有两个不同的实数根，
∴，
解得：且m≠2，
∴当且m≠2时，方程有两个不同的实数根．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023•潍城区二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
（1）求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
（2）经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m（50≤m≤150）只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】（1）一只A型风筝的进价是100元，一只B型风筝的进价是80元；
（2）当购进50只A型风筝，250只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【解答】解：（1）设一只B型风筝的进价是x元，则一只A型风筝的进价是（x+20）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100．
答：一只A型风筝的进价是100元，一只B型风筝的进价是80元；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w＝[2（130﹣m）﹣100]m+（120﹣80）（300﹣m）＝﹣2m2+120m+12000，
即w＝﹣2（m﹣30）2+13800，
∵﹣2＜0，且50≤m≤150，
∴w随m的增长而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×（50﹣30）2+13800＝13000，此时300﹣m＝300﹣50＝250．
答：当购进50只A型风筝，250只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023•临朐县一模）某种商品的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣5，图象如图所示，图象上有两点A（1，4），B（2，11）．
（1）求y关于x的表达式；
（2）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为16元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于16元？
【答案】（1）y关于x的表达式为y＝﹣x2+10x﹣5；
（2）当销售定价为3元或7元时，该种商品的销售利润为16元；结合图象当3≤x≤7时，该种商品的销售利润不低于16元．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣5图象过点A（1，4），B（2，11），
∴，
解得，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x2+10x﹣5；
（2）当y＝16时，﹣x2+10x﹣5＝16，
解得x1＝3，x2＝7，
∴当销售定价为3元或7元时，该种商品的销售利润为16元；
结合图象当3≤x≤7时，该种商品的销售利润不低于16元．
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•青州市二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
如图：
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）如图，∵OB＝12，BF＝8，则OE＝OB＝12，OF＝12+8＝20，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴EF2＝OF2﹣OE2＝202﹣122＝256，
解得：EF＝16，
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴AE＝2BE，
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023•潍坊一模）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如表：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时）
甲校频数（人）
乙校频数（人）
0.5≤x＜1
18
24
1≤x＜1.5
32
40
1.5≤x＜2
48
76
2≤x＜2.5
86
40
2.5≤x＜3
16
20
【数据分析】：
（1）请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．
（2）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：；
类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：
平均分
方差
中位数
众数
最高分
最低分
甲学校
401.8
156.2
373
335
682
23
乙学校
408.8
154.5
373
346
682
35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
【答案】【数据分析】（1）频数分布直方图见解析，n＜m；
（2）乙＝1.73；
【统计应用】这种说法不对，理由见解析．
【解答】解：【数据分析】（1）如图所示：
因为，甲校所得数据的中位数m满足2≤m＜2.5，
乙校所得数据的中位数n满足1.5≤n＜2，
所以，n＜m；
（2）乙＝×（0.75×24+1.25×40+1.75×76+2.25×40+2.75×20）＝1.73；
【统计应用】这种说法不对．
因为从两所学校的平均成绩来看，乙校学生的平均成绩高，而且乙校学生的方差小，学生成绩两极分化小，但其学生作业的完成平均时间比甲校短．
九．列表法与树状图法（共2小题）
9．（2023•青州市二模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
①收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3，1，2，2，3，3，2，3，1，x，4，0，5，5，2，6，1，6，3，1；
②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）
分组
频数
0≤x＜2
m
2≤x＜4
n
4≤x＜6
3
6≤x＜8
2
③分析数据：
平均数
中位数
众数
2.8
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）兴趣小组计划抽取该校九年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是 C ；
A．从该校九年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校九年级女生中随机抽取20名学生
C．从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生
（2）填空：x＝ 3 ；m＝ 5 ；n＝ 10 ；a＝ 3 ；b＝ 3 ；
（3）已知一周参加家庭劳动的次数在4≤x＜8的这5名学生中，有2名女生，3名男生，现准备从这5名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会．请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．
【答案】（1）C；
（2）3，5，10，3，3；
（3）．
【解答】解：（1）∵调查样本要具有代表性，
∴从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生．
故答案为：C；
（2）从扇形图可知，0≤x＜2组占总人数的25%，
∴m＝20×25%＝5，
∴n＝20﹣5﹣3﹣2＝10，
∵平均数为2.8，
∴（3+1+2+2+3+3+2+3+1+x+4+0+5+5+2+6+1+6+3+1）＝2.8×20，
解得x＝3，
数据按由小到大的顺序排序：
0，1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，5，5，6，6，
∴中位数a＝＝3，
众数b＝3．
故答案为：3，5，10，3，3；
（3）列表如下：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，男3）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，男3）
（男2，女1）
（男2，女2）
男3
（男3，男1）
（男3，男2）
（男3，女1）
（男3，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，男3）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，男3）
（女2，女1）
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
∴“谈体会的两人都是男生”的概率为．
10．（2023•潍城区二模）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
社团
A
B
C
D
E
人数
a
13
10
c
5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中a＝ 15 ，b＝ 20 ，c＝ 7 ；
（2）已知5名劳技实践社团成员中有2名女生和3名男生，现准备从这5名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
（3）根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？
【答案】（1）15，20，7；
（2）；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50（人），
∴a＝50×30%＝15，
b%＝10÷50×100%＝20%，即b＝20，
c＝50﹣（15+13+10+5）＝7，
故答案为：15，20，7；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝；
（3）样本中劳动实践人数最少，所以应加强学生劳动实践方面的教育与引导．
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