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山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
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这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题），共26页。试卷主要包含了÷÷，其中x为不等式组的整数解，，如图所示，两点，且对称轴为直线x＝4等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•高青县一模）先化简，再求值：（）÷÷，其中x为不等式组的整数解．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023•张店区一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•张店区一模）解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
4．（2023•高青县一模）五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
（1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y＝第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y＝和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式x的解集．
六．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•淄川区一模）已知抛物线y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）与x轴交于点A，B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），如图所示．
（1）求抛物线的函数表达式和抛物线的对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
7．（2023•周村区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（4，0）和（0，4），抛物线的对称轴为x＝1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，求△QED面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD交y轴于点F，点M，N分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
8．（2023•高青县一模）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
七．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
八．圆周角定理（共1小题）
10．（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•淄川区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD为直径，AC平分∠BAD，过点C作BD的平行线，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）求证：BC2＝AB•DE．
12．（2023•张店区一模）如图，等边△ABC，点E，F分别在AC，BC边上，AE＝CF，连接AF，BE，相交于点P．
（1）求∠BPF的度数；
（2）求证：BP•BE＝BF•BC．
一十．方差（共1小题）
13．（2023•淄川区一模）随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求也越来越高，为了了解3月中旬某市城区的质量情况，某校“综合实践环境调查小组”，从2345天气预报网，抽取了朝阳区和南关区这两个城区2022年3月11日到2022年3月20日的空气质量指数，作为样本进行统计，过程如下，请补充完整．
收集数据：
朝阳区
167
61
79
78
97
153
59
179
85
209
南关区
74
54
47
47
43
43
59
104
119
251
（备注：空气质量指数，简称AQI，是定期描述空气质量的数据）
整理、描述数据：
（1）按表整理、描述这两个城区空气质量指数的数据：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
朝阳区
南关区
4
3
2
0
1
（说明：空气质量指数≤50时，空气质量为优；50＜空气质量指数≤100时，空气质量为良；100＜空气质量指数≤150时，空气质量为轻度污染；150＜空气质量指数≤200时，空气质量为中度污染；200＜空气质量指数≤300时，空气质量为重度污染）
分析数据：
（2）两城区的空气质量指数的平均数、中位数、方差如表：
城区
平均数
中位数
方差
朝阳区
116.7
91
2699.21
南关区
84.1
3723.89
（3）请将以上两个表格补充完整得出结论可以推断出哪个城区这十天中空气质量情况比较好？请至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•高青县一模）先化简，再求值：（）÷÷，其中x为不等式组的整数解．
【答案】﹣，﹣．
【解答】解：（﹣x+3）÷
＝••
＝••
＝﹣••
＝﹣，
解不等式组得：﹣4＜x＜﹣1，
所以不等式组的整数解是﹣3，﹣2，
要使分式：（﹣x+3）÷有意义，x﹣3≠0且3x≠0且x+3≠0，
所以x不能为3、0、﹣3，
取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023•张店区一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
【答案】（1）20%；
（2）38元．
【解答】解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意，得400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价应定为m元，
根据题意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，
解得m1＝38，m2＝80，
∵售价在35元至40元范围内，
∴m＝38，
答：这种台灯售价应定为38元．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•张店区一模）解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
【答案】﹣1＜x≤5．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5，
表示在数轴上，如图所示：
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
4．（2023•高青县一模）五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
（1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？
【答案】（1）购进电饭煲25台，电压锅15台；
（2）有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台；
（3）购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多．
【解答】解：（1）设购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得：，
解得：，
答：五星店在该买卖中购进电饭煲25台，电压锅15台；
（2）设购进电饭煲a台，则电压锅（50﹣a）台，
根据题意得：，
解得：，
又a为正整数，
∴a可取23，24，25，
∴有三种方案：
①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；
②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；
③购买电饭煲25台，购买电压锅25台；
（3）设五星店赚钱数额为w元，
当a＝23时，w＝23×（290﹣240）+27×（260﹣200）＝2770；
当a＝24时，w＝24×（290﹣240）+26×（260﹣200）＝2760；
当a＝25时，w＝25×（290﹣240）+25×（260﹣200）＝2750；
综上所述，当a＝23时，w最大，
即购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y＝第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y＝和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式x的解集．
【答案】（1）反比例函数为y＝，直线y＝k2x的表达式为y＝x；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y＝第一象限的图象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函数为y＝，
将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C（﹣4，4﹣m），
∵点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，
∴4﹣m＝，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴，
∴直线y＝k2x的表达式为y＝x；
（2）作AM⊥x轴，交BC于点D，则D（1，），
∴AD＝4﹣＝，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝＝×＝15；
（3）关于x的不等式x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4．
六．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•淄川区一模）已知抛物线y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）与x轴交于点A，B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），如图所示．
（1）求抛物线的函数表达式和抛物线的对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3，对称轴为x＝2；
（2）（2，﹣1）；
（3）Q（，﹣）．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）得：
﹣9+3（m2+3）﹣（6m+9）＝0，
解得m＝3（舍去）或m＝﹣1，
∴m的值是﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为x＝2；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC函数表达式为y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得：
3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC函数表达式为y＝x﹣3，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝2，
则BC交直线x＝2于点P，如图，
∴PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PA+PC的值最小．
当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，此时P点坐标为（2，﹣1），
∴PA+PC的值最小时，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1）；
（3）过A作AK⊥AC，交CP延长线于K，过K作KT⊥x轴于T，如图：
∵∠ACP＝45°，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴AC＝AK，∠KAT＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠ATK，
∴△AOC≌△KTA（AAS），
∴OC＝AT＝3，OA＝TK＝1，
∴K（4，﹣1），
由C（0，﹣3），K（4，﹣1）得直线CK解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或，
∴Q（，﹣）．
7．（2023•周村区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（4，0）和（0，4），抛物线的对称轴为x＝1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，求△QED面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD交y轴于点F，点M，N分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得，，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
∵B（4，0），对称轴为x＝1，
∴A（﹣2，0），
∵D（2，m）在抛物线的解析式y＝﹣x2+x+4上，
∴D（2，4），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+2；
（2）如图1，作EG⊥x轴，设Q（m，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA，
∴，
即，
解得：EG＝，
∴S△BEQ＝×（4﹣m）×，
∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣1）2+3，
∴△QED面积的最大值是3；
（3）∵直线AD交y轴于点F，
∴F（0，2），
∵抛物线的顶点坐标（1，），
①如图2，若CF为平行四边形的一边，则点N于抛物线的顶点重合，此时，MN＝CF＝2，
∴点M的坐标（1，），（1，）；
②如图3，若CF为平行四边形的一条对角线，则CF与MN互相平分，
过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为H，K，MN与HK交于点P，
易得△MHP≌△NKP，
∴点M，N的横坐标分别是1，﹣1，
∴N（﹣1，），
∴PK＝＝HP，
∴HO＝，
∴M（1，），
综上所述，点M的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）．
8．（2023•高青县一模）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
【答案】（1）y＝x2﹣8x+12；P（4，﹣4）；
（2）存在；D（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（3）当0＜t≤2时，S＝t2；
当2＜t＜4时，S＝﹣t2+12t﹣12．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c
由题意得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12，
点P的坐标为（4，﹣4）；
（2）存在点D，使S△ODB＝S△DPB．理由如下：
①若点D在x轴上方，
∵P（4，﹣4），
∴直线OP解析式为y＝﹣x，
当直线BD平行于直线OP时，同底等高，
∴S△ODB＝S△DPB，
∴设直线BD的解析式为y＝﹣x+b，
当y＝0时，x2﹣8x+12＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
把B（6，0）代入y＝﹣x+b得，b＝6，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+6，
联立，解得，
∴D（2，4），
②若点D在x轴下方，
∵P（4，﹣4），B（6，0），
∴直线BP解析式为y＝2x﹣12，
当直线DP平行于直线OB时，S△ODB＝S△DPB，
∵P（4，﹣4），
∴将y＝﹣4代入y＝2x得：D（﹣2，﹣4），
∴当D（2，4））或（﹣2，﹣4）时，S△ODB＝S△DPB．
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP＝t，
∴PH＝t，MH＝t，HN＝t，
∴S＝t2；
②当2＜t＜4时，P1G＝2t﹣4，P1H＝t，
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴，
∴，
∴＝3t2﹣12t+12，
∴S＝t2﹣（3t2﹣12t+12）＝﹣t2+12t﹣12，
综上所述：当0＜t≤2时，S＝t2；
当2＜t＜4时，S＝﹣t2+12t﹣12．
七．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，
即∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，
∴△AGC是等边三角形．
八．圆周角定理（共1小题）
10．（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
∵∠E＝∠BAC
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AC
∴∠E＝∠ECA
∴∠ECA＝∠DAC
∴EC‖AD；
（2）四边形EBCA是矩形．理由如下，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
又∵BC＝CD
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AB为⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°，
又∵BE∥AC
∴∠EBC＝∠ACD＝90°
∴四边形EBCA是矩形．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•淄川区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD为直径，AC平分∠BAD，过点C作BD的平行线，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）求证：BC2＝AB•DE．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）如图：连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴BC＝DC；
∵BD为直径，
∴OB＝OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵BD∥CE，
∴∠OCE＝∠COD＝90°，
∴OC⊥CE，
∴CE与⊙O相切；
（2）∵BD∥CE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
∴，
∴DC•BC＝AB•DE，
∵BC＝DC，
∴BC2＝AB•DE．
12．（2023•张店区一模）如图，等边△ABC，点E，F分别在AC，BC边上，AE＝CF，连接AF，BE，相交于点P．
（1）求∠BPF的度数；
（2）求证：BP•BE＝BF•BC．
【答案】（1）60°；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF．
∵∠BAF+∠CAF＝60°，
∴∠BAF+∠ABE＝60°，
∴∠BPF＝∠BAF+∠ABE＝60°；
（2）证明：∵∠BPF＝∠C＝60°，∠PBF＝∠CBE，
∴△BPF∽△BCE，
∴，
∴BP•BE＝BF•BC．
一十．方差（共1小题）
13．（2023•淄川区一模）随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求也越来越高，为了了解3月中旬某市城区的质量情况，某校“综合实践环境调查小组”，从2345天气预报网，抽取了朝阳区和南关区这两个城区2022年3月11日到2022年3月20日的空气质量指数，作为样本进行统计，过程如下，请补充完整．
收集数据：
朝阳区
167
61
79
78
97
153
59
179
85
209
南关区
74
54
47
47
43
43
59
104
119
251
（备注：空气质量指数，简称AQI，是定期描述空气质量的数据）
整理、描述数据：
（1）按表整理、描述这两个城区空气质量指数的数据：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
朝阳区
0
6
0
3
1
南关区
4
3
2
0
1
（说明：空气质量指数≤50时，空气质量为优；50＜空气质量指数≤100时，空气质量为良；100＜空气质量指数≤150时，空气质量为轻度污染；150＜空气质量指数≤200时，空气质量为中度污染；200＜空气质量指数≤300时，空气质量为重度污染）
分析数据：
（2）两城区的空气质量指数的平均数、中位数、方差如表：
城区
平均数
中位数
方差
朝阳区
116.7
91
2699.21
南关区
84.1
56.5
3723.89
（3）请将以上两个表格补充完整得出结论可以推断出哪个城区这十天中空气质量情况比较好？请至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
【答案】（1）0，6，0，3，1；
（2）56.5；
（3）南关区这十天中空气质量表较好；说明见解析．
【解答】解：（1）根据给出的数据补充表格如下：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
朝阳区
0
6
0
3
1
南关区
4
3
2
0
1
（2）按大小排列，中间两个数据分别为54、59，其平均数为：，则南关区空气质量的中位数是56.5；
（3）南关区这十天中空气质量表较好；
朝阳区的空气质量指数的平均数高于南关区空气质量指数的平均数，
朝阳区的空气质量指数的中位数高于南关区空气质量指数的中位数，
从而得出南关区这十天空气质量比较好．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•高青县一模）先化简，再求值：（）÷÷，其中x为不等式组的整数解．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023•张店区一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•张店区一模）解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
4．（2023•高青县一模）五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
（1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y＝第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y＝和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式x的解集．
六．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•淄川区一模）已知抛物线y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）与x轴交于点A，B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），如图所示．
（1）求抛物线的函数表达式和抛物线的对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
7．（2023•周村区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（4，0）和（0，4），抛物线的对称轴为x＝1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，求△QED面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD交y轴于点F，点M，N分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
8．（2023•高青县一模）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
七．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
八．圆周角定理（共1小题）
10．（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•淄川区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD为直径，AC平分∠BAD，过点C作BD的平行线，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）求证：BC2＝AB•DE．
12．（2023•张店区一模）如图，等边△ABC，点E，F分别在AC，BC边上，AE＝CF，连接AF，BE，相交于点P．
（1）求∠BPF的度数；
（2）求证：BP•BE＝BF•BC．
一十．方差（共1小题）
13．（2023•淄川区一模）随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求也越来越高，为了了解3月中旬某市城区的质量情况，某校“综合实践环境调查小组”，从2345天气预报网，抽取了朝阳区和南关区这两个城区2022年3月11日到2022年3月20日的空气质量指数，作为样本进行统计，过程如下，请补充完整．
收集数据：
朝阳区
167
61
79
78
97
153
59
179
85
209
南关区
74
54
47
47
43
43
59
104
119
251
（备注：空气质量指数，简称AQI，是定期描述空气质量的数据）
整理、描述数据：
（1）按表整理、描述这两个城区空气质量指数的数据：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
朝阳区
南关区
4
3
2
0
1
（说明：空气质量指数≤50时，空气质量为优；50＜空气质量指数≤100时，空气质量为良；100＜空气质量指数≤150时，空气质量为轻度污染；150＜空气质量指数≤200时，空气质量为中度污染；200＜空气质量指数≤300时，空气质量为重度污染）
分析数据：
（2）两城区的空气质量指数的平均数、中位数、方差如表：
城区
平均数
中位数
方差
朝阳区
116.7
91
2699.21
南关区
84.1
3723.89
（3）请将以上两个表格补充完整得出结论可以推断出哪个城区这十天中空气质量情况比较好？请至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•高青县一模）先化简，再求值：（）÷÷，其中x为不等式组的整数解．
【答案】﹣，﹣．
【解答】解：（﹣x+3）÷
＝••
＝••
＝﹣••
＝﹣，
解不等式组得：﹣4＜x＜﹣1，
所以不等式组的整数解是﹣3，﹣2，
要使分式：（﹣x+3）÷有意义，x﹣3≠0且3x≠0且x+3≠0，
所以x不能为3、0、﹣3，
取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023•张店区一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
【答案】（1）20%；
（2）38元．
【解答】解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意，得400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价应定为m元，
根据题意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，
解得m1＝38，m2＝80，
∵售价在35元至40元范围内，
∴m＝38，
答：这种台灯售价应定为38元．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•张店区一模）解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
【答案】﹣1＜x≤5．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5，
表示在数轴上，如图所示：
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
4．（2023•高青县一模）五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
（1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？
【答案】（1）购进电饭煲25台，电压锅15台；
（2）有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台；
（3）购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多．
【解答】解：（1）设购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得：，
解得：，
答：五星店在该买卖中购进电饭煲25台，电压锅15台；
（2）设购进电饭煲a台，则电压锅（50﹣a）台，
根据题意得：，
解得：，
又a为正整数，
∴a可取23，24，25，
∴有三种方案：
①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；
②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；
③购买电饭煲25台，购买电压锅25台；
（3）设五星店赚钱数额为w元，
当a＝23时，w＝23×（290﹣240）+27×（260﹣200）＝2770；
当a＝24时，w＝24×（290﹣240）+26×（260﹣200）＝2760；
当a＝25时，w＝25×（290﹣240）+25×（260﹣200）＝2750；
综上所述，当a＝23时，w最大，
即购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y＝第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y＝和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式x的解集．
【答案】（1）反比例函数为y＝，直线y＝k2x的表达式为y＝x；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y＝第一象限的图象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函数为y＝，
将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C（﹣4，4﹣m），
∵点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，
∴4﹣m＝，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴，
∴直线y＝k2x的表达式为y＝x；
（2）作AM⊥x轴，交BC于点D，则D（1，），
∴AD＝4﹣＝，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝＝×＝15；
（3）关于x的不等式x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4．
六．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•淄川区一模）已知抛物线y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）与x轴交于点A，B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），如图所示．
（1）求抛物线的函数表达式和抛物线的对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3，对称轴为x＝2；
（2）（2，﹣1）；
（3）Q（，﹣）．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）得：
﹣9+3（m2+3）﹣（6m+9）＝0，
解得m＝3（舍去）或m＝﹣1，
∴m的值是﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为x＝2；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC函数表达式为y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得：
3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC函数表达式为y＝x﹣3，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝2，
则BC交直线x＝2于点P，如图，
∴PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PA+PC的值最小．
当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，此时P点坐标为（2，﹣1），
∴PA+PC的值最小时，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1）；
（3）过A作AK⊥AC，交CP延长线于K，过K作KT⊥x轴于T，如图：
∵∠ACP＝45°，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴AC＝AK，∠KAT＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠ATK，
∴△AOC≌△KTA（AAS），
∴OC＝AT＝3，OA＝TK＝1，
∴K（4，﹣1），
由C（0，﹣3），K（4，﹣1）得直线CK解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或，
∴Q（，﹣）．
7．（2023•周村区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（4，0）和（0，4），抛物线的对称轴为x＝1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，求△QED面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD交y轴于点F，点M，N分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得，，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
∵B（4，0），对称轴为x＝1，
∴A（﹣2，0），
∵D（2，m）在抛物线的解析式y＝﹣x2+x+4上，
∴D（2，4），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+2；
（2）如图1，作EG⊥x轴，设Q（m，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA，
∴，
即，
解得：EG＝，
∴S△BEQ＝×（4﹣m）×，
∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣1）2+3，
∴△QED面积的最大值是3；
（3）∵直线AD交y轴于点F，
∴F（0，2），
∵抛物线的顶点坐标（1，），
①如图2，若CF为平行四边形的一边，则点N于抛物线的顶点重合，此时，MN＝CF＝2，
∴点M的坐标（1，），（1，）；
②如图3，若CF为平行四边形的一条对角线，则CF与MN互相平分，
过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为H，K，MN与HK交于点P，
易得△MHP≌△NKP，
∴点M，N的横坐标分别是1，﹣1，
∴N（﹣1，），
∴PK＝＝HP，
∴HO＝，
∴M（1，），
综上所述，点M的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）．
8．（2023•高青县一模）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
【答案】（1）y＝x2﹣8x+12；P（4，﹣4）；
（2）存在；D（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（3）当0＜t≤2时，S＝t2；
当2＜t＜4时，S＝﹣t2+12t﹣12．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c
由题意得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12，
点P的坐标为（4，﹣4）；
（2）存在点D，使S△ODB＝S△DPB．理由如下：
①若点D在x轴上方，
∵P（4，﹣4），
∴直线OP解析式为y＝﹣x，
当直线BD平行于直线OP时，同底等高，
∴S△ODB＝S△DPB，
∴设直线BD的解析式为y＝﹣x+b，
当y＝0时，x2﹣8x+12＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
把B（6，0）代入y＝﹣x+b得，b＝6，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+6，
联立，解得，
∴D（2，4），
②若点D在x轴下方，
∵P（4，﹣4），B（6，0），
∴直线BP解析式为y＝2x﹣12，
当直线DP平行于直线OB时，S△ODB＝S△DPB，
∵P（4，﹣4），
∴将y＝﹣4代入y＝2x得：D（﹣2，﹣4），
∴当D（2，4））或（﹣2，﹣4）时，S△ODB＝S△DPB．
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP＝t，
∴PH＝t，MH＝t，HN＝t，
∴S＝t2；
②当2＜t＜4时，P1G＝2t﹣4，P1H＝t，
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴，
∴，
∴＝3t2﹣12t+12，
∴S＝t2﹣（3t2﹣12t+12）＝﹣t2+12t﹣12，
综上所述：当0＜t≤2时，S＝t2；
当2＜t＜4时，S＝﹣t2+12t﹣12．
七．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，
即∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，
∴△AGC是等边三角形．
八．圆周角定理（共1小题）
10．（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
∵∠E＝∠BAC
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AC
∴∠E＝∠ECA
∴∠ECA＝∠DAC
∴EC‖AD；
（2）四边形EBCA是矩形．理由如下，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
又∵BC＝CD
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AB为⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°，
又∵BE∥AC
∴∠EBC＝∠ACD＝90°
∴四边形EBCA是矩形．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•淄川区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD为直径，AC平分∠BAD，过点C作BD的平行线，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）求证：BC2＝AB•DE．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）如图：连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴BC＝DC；
∵BD为直径，
∴OB＝OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵BD∥CE，
∴∠OCE＝∠COD＝90°，
∴OC⊥CE，
∴CE与⊙O相切；
（2）∵BD∥CE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
∴，
∴DC•BC＝AB•DE，
∵BC＝DC，
∴BC2＝AB•DE．
12．（2023•张店区一模）如图，等边△ABC，点E，F分别在AC，BC边上，AE＝CF，连接AF，BE，相交于点P．
（1）求∠BPF的度数；
（2）求证：BP•BE＝BF•BC．
【答案】（1）60°；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF．
∵∠BAF+∠CAF＝60°，
∴∠BAF+∠ABE＝60°，
∴∠BPF＝∠BAF+∠ABE＝60°；
（2）证明：∵∠BPF＝∠C＝60°，∠PBF＝∠CBE，
∴△BPF∽△BCE，
∴，
∴BP•BE＝BF•BC．
一十．方差（共1小题）
13．（2023•淄川区一模）随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求也越来越高，为了了解3月中旬某市城区的质量情况，某校“综合实践环境调查小组”，从2345天气预报网，抽取了朝阳区和南关区这两个城区2022年3月11日到2022年3月20日的空气质量指数，作为样本进行统计，过程如下，请补充完整．
收集数据：
朝阳区
167
61
79
78
97
153
59
179
85
209
南关区
74
54
47
47
43
43
59
104
119
251
（备注：空气质量指数，简称AQI，是定期描述空气质量的数据）
整理、描述数据：
（1）按表整理、描述这两个城区空气质量指数的数据：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
朝阳区
0
6
0
3
1
南关区
4
3
2
0
1
（说明：空气质量指数≤50时，空气质量为优；50＜空气质量指数≤100时，空气质量为良；100＜空气质量指数≤150时，空气质量为轻度污染；150＜空气质量指数≤200时，空气质量为中度污染；200＜空气质量指数≤300时，空气质量为重度污染）
分析数据：
（2）两城区的空气质量指数的平均数、中位数、方差如表：
城区
平均数
中位数
方差
朝阳区
116.7
91
2699.21
南关区
84.1
56.5
3723.89
（3）请将以上两个表格补充完整得出结论可以推断出哪个城区这十天中空气质量情况比较好？请至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
【答案】（1）0，6，0，3，1；
（2）56.5；
（3）南关区这十天中空气质量表较好；说明见解析．
【解答】解：（1）根据给出的数据补充表格如下：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
朝阳区
0
6
0
3
1
南关区
4
3
2
0
1
（2）按大小排列，中间两个数据分别为54、59，其平均数为：，则南关区空气质量的中位数是56.5；
（3）南关区这十天中空气质量表较好；
朝阳区的空气质量指数的平均数高于南关区空气质量指数的平均数，
朝阳区的空气质量指数的中位数高于南关区空气质量指数的中位数，
从而得出南关区这十天空气质量比较好．
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