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山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
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这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题），共19页。试卷主要包含了先化简，再求值，2023；，两点等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•岱岳区一模）（1）．
（2）解不等式组：．
二．分式的化简求值（共3小题）
2．（2023•泰安一模）先化简，再求值：，其中x是满足条件1﹣的非负整数．
3．（2023•泰山区一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
4．（2023•新泰市一模）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2023•（）2023；
（2）化简：先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
三．二次根式的化简求值（共1小题）
5．（2023•肥城市一模）（1）先化简，再求值：，其中x＝3．
（2）计算：．
四．分式方程的应用（共2小题）
6．（2023•泰安一模）夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元．若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%．
该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
A型号
B型号
进货价格（元/台）
1100
1400
销售价格（元/台）
今年的销售价格
2400
（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；
（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
7．（2023•新泰市一模）某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表所示．已知用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．
甲
乙
进价/（元/袋）
m
m﹣2
售价/（元/袋）
20
13
（1）求m的值．
（2）现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少要购进甲种绿色袋装食品多少袋？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
8．（2023•宁阳县一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围．
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．
9．（2023•岱岳区一模）如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线y＝相交于C、D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝3，OE＝1．
（1）求m和k的值；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标．
六．反比例函数综合题（共1小题）
10．（2023•泰山区一模）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象相交于A（﹣1，a）、B两点，点C在第三象限，BC∥x轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．
八．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•泰安一模）五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查．该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：A—去淄博吃烧烤；B—去济南南部山区：C—去登泰山；D—泰安周边游；E—宅在家里．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 人；m＝ ；n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校学生有640人，试估计只选C—去登泰山的学生有多少人？
（4）该社团计划从5人中（A—去淄博吃烧烤的2人，D—泰安周边游3人）随机抽取2人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的概率．
13．（2023•岱岳区一模）某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）条形统计图中，m＝ ，n＝ ；
（3）扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数 ；
（4）小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率．（用树状图或列表法解答）．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•岱岳区一模）（1）．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）1＜x＜3．
【解答】解：（1）
＝•
＝
＝
＝﹣；
（2），
解不等式①，得：x＞1；
解不等式②，得x＜3，
∴原不等式组的解集为1＜x＜3．
二．分式的化简求值（共3小题）
2．（2023•泰安一模）先化简，再求值：，其中x是满足条件1﹣的非负整数．
【答案】，1．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵1﹣，
解得：x≤2，
又x﹣1≠0，x2﹣4x+4≠0，
即x≠1，x≠2，
∴满足条件的非负整数为：0，
∴当x＝0时，
原式＝﹣
＝1．
3．（2023•泰山区一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），1+；
（2）2≤x＜5．
【解答】解：（1）
＝
＝，
当时，
原式＝
＝
＝1+；
（2），
解不等式①得，x＜5，
解不等式②得，x≥2，
∴不等式组的解集为：2≤x＜5，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
．
4．（2023•新泰市一模）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2023•（）2023；
（2）化简：先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】（1）；
（2）﹣a﹣1，当a＝3时，原式＝﹣4．
【解答】解：（1）2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2023•（）2023
＝+3﹣+2×+22023•（）2023
＝+3﹣+2×+（2×）2023
＝+3﹣+2×+12023
＝+3﹣+2×+1
＝+3﹣++1
＝；
（2）
＝•
＝•
＝•
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵当a＝﹣1，2，﹣2时，原分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
三．二次根式的化简求值（共1小题）
5．（2023•肥城市一模）（1）先化简，再求值：，其中x＝3．
（2）计算：．
【答案】（1）﹣，﹣5；
（2）3．
【解答】解：（1）原式＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5；
（2）原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
四．分式方程的应用（共2小题）
6．（2023•泰安一模）夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元．若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%．
该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
A型号
B型号
进货价格（元/台）
1100
1400
销售价格（元/台）
今年的销售价格
2400
（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；
（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
【答案】（1）2000元；
（2）当购进A型号空调134台，B型号空调266台时，才能使这批空调获利最多．
【解答】解：（1）设今年7月份该品牌A型号空调的销售单价为x元，则去年7月份该品牌A型号空调的销售单价为（x﹣400）元，
依题意得：＝，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意，
答：今年7月份该品牌A型号空调的销售单价为2000元．
（2）设购进A型号空调m台，则购进B型号空调（400﹣m）台，
依题意得：400﹣m≤2m，
解得：m≥．
设购进的这批空调全部售出后获得的利润为w元，则w＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（400﹣m）＝﹣100m+400000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥，且m为正整数，
∴当m＝134时，w取得最大值，此时400﹣m＝400﹣134＝266．
答：当购进A型号空调134台，B型号空调266台时，才能使这批空调获利最多．
7．（2023•新泰市一模）某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表所示．已知用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．
甲
乙
进价/（元/袋）
m
m﹣2
售价/（元/袋）
20
13
（1）求m的值．
（2）现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少要购进甲种绿色袋装食品多少袋？
【答案】（1）m的值为10；
（2）超市至少购进甲种绿色袋装食品160袋．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：m＝10．
经检验m＝10是原分式方程的解．
答：m的值为10；
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，
根据题意得：（20﹣10）x+（13﹣10+2）（800﹣x）≥4800
解得：x≥160．
答：该超市至少购进甲种绿色袋装食品160袋．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
8．（2023•宁阳县一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围．
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+1；（2）0＜x＜1或x＜﹣2；（3）P点坐标为（，）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）观察图象，k1x+b＜的x的取值范围是0＜x＜1或x＜﹣2；
（3）设P（x，x+1），
∵S△AOP：S△BOP＝1：3，
∴AP：PB＝1：3，
即PB＝3PA，
∴（x+2）2+（x+1+1）2＝9[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∴P点坐标为（，）．
9．（2023•岱岳区一模）如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线y＝相交于C、D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝3，OE＝1．
（1）求m和k的值；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标．
【答案】（1）m＝1，﹣；（2）（﹣7，0）或（5，0）．
【解答】解：（1）∵OB＝3，OE＝1，
∴B（3，0），C点的横坐标为﹣1，
∵直线y＝﹣x+m经过点B，
∴0＝﹣×3+m，解得m＝1，
∴直线为：y＝﹣x+1，
把x＝﹣1代入y＝﹣x+1得，y＝﹣×（﹣1）+1＝，
∴C（﹣1，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣1×＝﹣，
（2）∵OB＝3，CE＝，
∴S△COB＝×3×＝2，
∵S△CEF＝2S△COB，
∴S△CEF＝×EF×＝4，
∴EF＝6，
∵E（﹣1，0），
∴F（﹣7，0）或（5，0）．
六．反比例函数综合题（共1小题）
10．（2023•泰山区一模）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象相交于A（﹣1，a）、B两点，点C在第三象限，BC∥x轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式是：；
（2）点D（﹣1﹣2，2）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，a）在直线y＝﹣2x上，
∴a＝﹣2×（﹣1）＝2，
即点A的坐标为（﹣1，2），
∵点A（﹣1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数的表达式是：；
（2）由题意得：，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（1，﹣2），
∵点A（﹣1，2），
∴，
∵菱形ABCD是以AB，BC为边，且BC∥x轴，
∴，
∴点D（﹣1﹣2，2）．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．
【答案】（1）见解析；
（2）BD＝AC；BD⊥AC；
（3）见解析．
【解答】（1）证明：∵CH⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠BCH＝180°﹣（∠CHB+∠HBC）＝45°，
∴∠BCH＝∠HBC，
∴HC＝HB；
（2）解：BD＝AC；BD⊥AC；证明如下：
如图，
在△AHC和△DHB中，
∴△AHC≌△DHB（SAS），
∴BD＝AC，∠1＝∠2，
∵∠CDE＝∠BDH，
∴∠AEB＝∠BHC＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，
∴∠FHE＝90°，
即∠4+∠5＝90°．
又∵∠3+∠4＝∠BHC＝90°，
∴∠5＝∠3，
在△CHE和△BHF中，
∴△CHE≌△BHF（ASA），
∴EH＝FH，
又∵∠FHE＝90°，
∴．
八．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•泰安一模）五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查．该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：A—去淄博吃烧烤；B—去济南南部山区：C—去登泰山；D—泰安周边游；E—宅在家里．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 200 人；m＝ 144 ；n＝ 20 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校学生有640人，试估计只选C—去登泰山的学生有多少人？
（4）该社团计划从5人中（A—去淄博吃烧烤的2人，D—泰安周边游3人）随机抽取2人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的概率．
【答案】（1）200，144，20；
（2）见解答；
（3）128；
（4）．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生数为2×（80+20）＝200（人），
所以m＝×360°＝144°，
n%＝×100%＝20%，
即n＝20；
故答案为：200，144，20；
（2）D组的人数为15%×200＝30（人），
补全条形统计图为：
（3）640×20%＝128（人），
所以估计只选C—去登泰山的学生有128人；
（4）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的结果数为12，
所以所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的概率＝＝．
13．（2023•岱岳区一模）某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 300 名同学；
（2）条形统计图中，m＝ 60 ，n＝ 90 ；
（3）扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数 72° ；
（4）小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率．（用树状图或列表法解答）．
【答案】（1）300．
（2）60；90．
（3）72°．
（4）．
【解答】解：（1）105÷35%＝300（名）．
故答案为：300．
（2）n＝300×30%＝90，
m＝300﹣105﹣45﹣90＝60．
故答案为：60；90．
（3）360°×＝72°．
故答案为：72°．
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有4种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•岱岳区一模）（1）．
（2）解不等式组：．
二．分式的化简求值（共3小题）
2．（2023•泰安一模）先化简，再求值：，其中x是满足条件1﹣的非负整数．
3．（2023•泰山区一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
4．（2023•新泰市一模）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2023•（）2023；
（2）化简：先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
三．二次根式的化简求值（共1小题）
5．（2023•肥城市一模）（1）先化简，再求值：，其中x＝3．
（2）计算：．
四．分式方程的应用（共2小题）
6．（2023•泰安一模）夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元．若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%．
该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
A型号
B型号
进货价格（元/台）
1100
1400
销售价格（元/台）
今年的销售价格
2400
（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；
（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
7．（2023•新泰市一模）某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表所示．已知用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．
甲
乙
进价/（元/袋）
m
m﹣2
售价/（元/袋）
20
13
（1）求m的值．
（2）现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少要购进甲种绿色袋装食品多少袋？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
8．（2023•宁阳县一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围．
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．
9．（2023•岱岳区一模）如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线y＝相交于C、D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝3，OE＝1．
（1）求m和k的值；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标．
六．反比例函数综合题（共1小题）
10．（2023•泰山区一模）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象相交于A（﹣1，a）、B两点，点C在第三象限，BC∥x轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．
八．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•泰安一模）五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查．该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：A—去淄博吃烧烤；B—去济南南部山区：C—去登泰山；D—泰安周边游；E—宅在家里．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 人；m＝ ；n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校学生有640人，试估计只选C—去登泰山的学生有多少人？
（4）该社团计划从5人中（A—去淄博吃烧烤的2人，D—泰安周边游3人）随机抽取2人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的概率．
13．（2023•岱岳区一模）某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）条形统计图中，m＝ ，n＝ ；
（3）扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数 ；
（4）小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率．（用树状图或列表法解答）．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•岱岳区一模）（1）．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）1＜x＜3．
【解答】解：（1）
＝•
＝
＝
＝﹣；
（2），
解不等式①，得：x＞1；
解不等式②，得x＜3，
∴原不等式组的解集为1＜x＜3．
二．分式的化简求值（共3小题）
2．（2023•泰安一模）先化简，再求值：，其中x是满足条件1﹣的非负整数．
【答案】，1．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵1﹣，
解得：x≤2，
又x﹣1≠0，x2﹣4x+4≠0，
即x≠1，x≠2，
∴满足条件的非负整数为：0，
∴当x＝0时，
原式＝﹣
＝1．
3．（2023•泰山区一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），1+；
（2）2≤x＜5．
【解答】解：（1）
＝
＝，
当时，
原式＝
＝
＝1+；
（2），
解不等式①得，x＜5，
解不等式②得，x≥2，
∴不等式组的解集为：2≤x＜5，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
．
4．（2023•新泰市一模）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2023•（）2023；
（2）化简：先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】（1）；
（2）﹣a﹣1，当a＝3时，原式＝﹣4．
【解答】解：（1）2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2023•（）2023
＝+3﹣+2×+22023•（）2023
＝+3﹣+2×+（2×）2023
＝+3﹣+2×+12023
＝+3﹣+2×+1
＝+3﹣++1
＝；
（2）
＝•
＝•
＝•
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵当a＝﹣1，2，﹣2时，原分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
三．二次根式的化简求值（共1小题）
5．（2023•肥城市一模）（1）先化简，再求值：，其中x＝3．
（2）计算：．
【答案】（1）﹣，﹣5；
（2）3．
【解答】解：（1）原式＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5；
（2）原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
四．分式方程的应用（共2小题）
6．（2023•泰安一模）夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元．若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%．
该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
A型号
B型号
进货价格（元/台）
1100
1400
销售价格（元/台）
今年的销售价格
2400
（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；
（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
【答案】（1）2000元；
（2）当购进A型号空调134台，B型号空调266台时，才能使这批空调获利最多．
【解答】解：（1）设今年7月份该品牌A型号空调的销售单价为x元，则去年7月份该品牌A型号空调的销售单价为（x﹣400）元，
依题意得：＝，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意，
答：今年7月份该品牌A型号空调的销售单价为2000元．
（2）设购进A型号空调m台，则购进B型号空调（400﹣m）台，
依题意得：400﹣m≤2m，
解得：m≥．
设购进的这批空调全部售出后获得的利润为w元，则w＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（400﹣m）＝﹣100m+400000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥，且m为正整数，
∴当m＝134时，w取得最大值，此时400﹣m＝400﹣134＝266．
答：当购进A型号空调134台，B型号空调266台时，才能使这批空调获利最多．
7．（2023•新泰市一模）某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表所示．已知用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．
甲
乙
进价/（元/袋）
m
m﹣2
售价/（元/袋）
20
13
（1）求m的值．
（2）现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少要购进甲种绿色袋装食品多少袋？
【答案】（1）m的值为10；
（2）超市至少购进甲种绿色袋装食品160袋．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：m＝10．
经检验m＝10是原分式方程的解．
答：m的值为10；
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，
根据题意得：（20﹣10）x+（13﹣10+2）（800﹣x）≥4800
解得：x≥160．
答：该超市至少购进甲种绿色袋装食品160袋．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
8．（2023•宁阳县一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围．
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+1；（2）0＜x＜1或x＜﹣2；（3）P点坐标为（，）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）观察图象，k1x+b＜的x的取值范围是0＜x＜1或x＜﹣2；
（3）设P（x，x+1），
∵S△AOP：S△BOP＝1：3，
∴AP：PB＝1：3，
即PB＝3PA，
∴（x+2）2+（x+1+1）2＝9[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∴P点坐标为（，）．
9．（2023•岱岳区一模）如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线y＝相交于C、D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝3，OE＝1．
（1）求m和k的值；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标．
【答案】（1）m＝1，﹣；（2）（﹣7，0）或（5，0）．
【解答】解：（1）∵OB＝3，OE＝1，
∴B（3，0），C点的横坐标为﹣1，
∵直线y＝﹣x+m经过点B，
∴0＝﹣×3+m，解得m＝1，
∴直线为：y＝﹣x+1，
把x＝﹣1代入y＝﹣x+1得，y＝﹣×（﹣1）+1＝，
∴C（﹣1，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣1×＝﹣，
（2）∵OB＝3，CE＝，
∴S△COB＝×3×＝2，
∵S△CEF＝2S△COB，
∴S△CEF＝×EF×＝4，
∴EF＝6，
∵E（﹣1，0），
∴F（﹣7，0）或（5，0）．
六．反比例函数综合题（共1小题）
10．（2023•泰山区一模）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象相交于A（﹣1，a）、B两点，点C在第三象限，BC∥x轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式是：；
（2）点D（﹣1﹣2，2）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，a）在直线y＝﹣2x上，
∴a＝﹣2×（﹣1）＝2，
即点A的坐标为（﹣1，2），
∵点A（﹣1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数的表达式是：；
（2）由题意得：，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（1，﹣2），
∵点A（﹣1，2），
∴，
∵菱形ABCD是以AB，BC为边，且BC∥x轴，
∴，
∴点D（﹣1﹣2，2）．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．
【答案】（1）见解析；
（2）BD＝AC；BD⊥AC；
（3）见解析．
【解答】（1）证明：∵CH⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠BCH＝180°﹣（∠CHB+∠HBC）＝45°，
∴∠BCH＝∠HBC，
∴HC＝HB；
（2）解：BD＝AC；BD⊥AC；证明如下：
如图，
在△AHC和△DHB中，
∴△AHC≌△DHB（SAS），
∴BD＝AC，∠1＝∠2，
∵∠CDE＝∠BDH，
∴∠AEB＝∠BHC＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，
∴∠FHE＝90°，
即∠4+∠5＝90°．
又∵∠3+∠4＝∠BHC＝90°，
∴∠5＝∠3，
在△CHE和△BHF中，
∴△CHE≌△BHF（ASA），
∴EH＝FH，
又∵∠FHE＝90°，
∴．
八．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•泰安一模）五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查．该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：A—去淄博吃烧烤；B—去济南南部山区：C—去登泰山；D—泰安周边游；E—宅在家里．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 200 人；m＝ 144 ；n＝ 20 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校学生有640人，试估计只选C—去登泰山的学生有多少人？
（4）该社团计划从5人中（A—去淄博吃烧烤的2人，D—泰安周边游3人）随机抽取2人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的概率．
【答案】（1）200，144，20；
（2）见解答；
（3）128；
（4）．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生数为2×（80+20）＝200（人），
所以m＝×360°＝144°，
n%＝×100%＝20%，
即n＝20；
故答案为：200，144，20；
（2）D组的人数为15%×200＝30（人），
补全条形统计图为：
（3）640×20%＝128（人），
所以估计只选C—去登泰山的学生有128人；
（4）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的结果数为12，
所以所选2人既有A—去淄博吃烧烤的同学又有D—泰安周边游同学的概率＝＝．
13．（2023•岱岳区一模）某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 300 名同学；
（2）条形统计图中，m＝ 60 ，n＝ 90 ；
（3）扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数 72° ；
（4）小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率．（用树状图或列表法解答）．
【答案】（1）300．
（2）60；90．
（3）72°．
（4）．
【解答】解：（1）105÷35%＝300（名）．
故答案为：300．
（2）n＝300×30%＝90，
m＝300﹣105﹣45﹣90＝60．
故答案为：60；90．
（3）360°×＝72°．
故答案为：72°．
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有4种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
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