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山东省烟台市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
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这是一份山东省烟台市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题），共44页。试卷主要包含了春暖花开正是郊游踏青的好时节，解不等式组，问题引入等内容，欢迎下载使用。
山东省烟台市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式方程的应用（共3小题）
1．（2023•烟台一模）A，B两地之间的国道的长度为180千米．
（1）甲、乙两人均要从A地前往B地．乙乘公交车先走了20千米，甲才开车从A地出发，甲出发40分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的1.5倍，求乙所乘公交车的速度；
（2）高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了40千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了35千米/时，从A地到B地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．
2．（2023•莱阳市二模）春暖花开正是郊游踏青的好时节．为开阔学生视野，一班的家委会准备利用周末组织该班学生参加郊游活动，计划在某商家采购A、B两种水果各600元，其中A种水果比B种水果多买20千克，该商家B种水果的单价是A种水果单价的1.5倍．
（1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经过家委会和商家协商，商家决定给该班购买的A、B两种水果进行优惠，将A、B两种水果都打8折，因此，家长将调整购买计划，购买A、B两种水果共150千克，但购买的总费用不能超过1500元，则至少购买A种水果多少千克？
3．（2023•龙口市二模）为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等．
（1）求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？
（2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？
二．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•烟台一模）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
三．二次函数综合题（共2小题）
5．（2023•芝罘区一模）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023•莱阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C与点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：∠ADO＝∠DBO；
（3）点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
四．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2023•烟台一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，求∠CED的度数．
五．矩形的判定（共1小题）
8．（2023•烟台一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD，垂足为点E，延长DA至点F，使得AF＝DE，连接BF，CF．
求证：四边形BCEF是矩形．
六．正方形的性质（共2小题）
9．（2023•芝罘区一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．求证：AE＝DE．
10．（2023•烟台一模）问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 ．
七．四边形综合题（共2小题）
11．（2023•芝罘区一模）阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，
则：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，
又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，
故∠CAE＝∠ABD．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
请根据以上阅读解决下列问题：
（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的长．
12．（2023•莱阳市二模）已知AE∥BF，AB＝6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC于点M，BG＝10，AC＝5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．
八．切线的性质（共1小题）
13．（2023•烟台一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，过点B作BE∥AC，与过点C的切线交于点E，连接CD．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝5、BD＝2，求BC的长．
九．切线的判定（共1小题）
14．（2023•烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ABC＝∠CBD，CD⊥BD垂足为点D，延长DC交BA的延长线于点E．
（1）EC是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若BC＝48，BD＝45，求⊙O的半径．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
15．（2023•福山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC＝，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
16．（2023•莱阳市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点F，与AB的另一个交点为E，过F作FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求ED的长．
一十一．旋转的性质（共1小题）
17．（2023•龙口市二模）将正方形ABCD的边BC绕点B逆时针旋转至BE，旋转角记为α，过点A作AF垂直于直线CE，垂足为点F，连接AE，DF．
（1）如图1，当α＝40°时，请判断△AEF的形状（不用写出证明过程）；
（2）如图2，当90°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程，并求出的值；如果不成立，请说明理由；
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023•芝罘区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边BC，AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线BP，交边AC于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径画⊙O，交射线BP于点F，G（点G在线段OB上），连接CF，CG．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求的值．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2023•福山区一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；
（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
20．（2023•烟台一模）梨花节期间，为了更好地记录梨乡美景，摄影协会特意请一名摄影师携带无人机进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点O处测得无人机位置点B的仰角为56°；当摄影师迎着坡度为3：4的斜坡从点O走到点A时，无人机的位置恰好从点B水平飞到点C，此时，摄影师在点A处测得点C的仰角∠CAP＝45°，若OA＝5米，BC＝6米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且O、A、B、C四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
21．（2023•龙口市二模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2023•芝罘区一模）为了丰富校园生活、提高学生综合素质，某校开设了无人机、交响乐、诗词会、乒乓球四个社团，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四个社团的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A：无人机
36
0.45
B：交响乐团
0.25
C：诗歌鉴赏
16
b
D：木工制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）求D对应扇形的圆心角的度数；
（3）甲、乙两位同学参加社团活动，若每人从A、B、C、D四种社团中随机选取一种，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一社团的概率．
23．（2023•福山区一模）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
13
17
20
10
（1）计算上述试验中“3朝下”的频率是 ；
（2）根据试验结果，投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？
（3）随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．
24．（2023•福山区一模）“六一”国际儿童节即将到来，守护好妇女儿童的健康关系着祖国的希望、民族的未来．当前，我国可应用的HPV疫苗包括二价、四价和九价疫苗，使用年龄范围为9至45岁女性．引起宫颈癌HPV高危型别最主要的是16和18亚型，二价HPV疫苗可预防70%以上宫颈癌．世界卫生组织推荐9至14岁女孩作为HPV疫苗的首要接种人群，越早接种效果越好．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数扇形统计图：
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
10周岁以下
300
0.05
c
0.125
10至19周岁
1200
b
1200
0.3
20至29周岁
a
0.15
400
0.1
30至39周岁
1500
0.25
1000
0.25
40至49周岁
2100
0.35
900
d
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，10﹣19周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 ；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，画树状图展示所有等可能的结果，并求这三人同时在乙医院接种的概率．
山东省烟台市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共3小题）
1．（2023•烟台一模）A，B两地之间的国道的长度为180千米．
（1）甲、乙两人均要从A地前往B地．乙乘公交车先走了20千米，甲才开车从A地出发，甲出发40分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的1.5倍，求乙所乘公交车的速度；
（2）高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了40千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了35千米/时，从A地到B地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．
【答案】（1）乙所乘公交车的速度为60千米/小时；
（2）该长途汽车在原来国道上行驶的速度为63千米/小时．
【解答】解：（1）设乙所乘公交车的速度为x千米/小时，则甲开车的速度为1.5千米/小时，
由题意得：1.5x×＝20+x，
解得：x＝60，
答：乙所乘公交车的速度为60千米/小时；
（2）设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为y千米/小时，则该长途汽车在高速公路上行驶的速度为（x+35）千米/小时，
由题意得：＝×，
解得：x＝63，
经检验，x＝63是原方程的解，且符合题意，
答：该长途汽车在原来国道上行驶的速度为63千米/小时．
2．（2023•莱阳市二模）春暖花开正是郊游踏青的好时节．为开阔学生视野，一班的家委会准备利用周末组织该班学生参加郊游活动，计划在某商家采购A、B两种水果各600元，其中A种水果比B种水果多买20千克，该商家B种水果的单价是A种水果单价的1.5倍．
（1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经过家委会和商家协商，商家决定给该班购买的A、B两种水果进行优惠，将A、B两种水果都打8折，因此，家长将调整购买计划，购买A、B两种水果共150千克，但购买的总费用不能超过1500元，则至少购买A种水果多少千克？
【答案】（1）A种水果的单价是10元，B种水果的单价是15元；
（2）至少购买A种水果75千克．
【解答】解：（1）设该商家A种水果的单价是x元，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，
∴1.5x＝1.5×10＝15．
答：A种水果的单价是10元，B种水果的单价是15元．
（2）设购买A种水果m千克，
根据题意得：10×0.8m+15×0.8（150﹣m）≤1500，
解得：m≥75，
∴m的最小值为75．
答：至少购买A种水果75千克．
3．（2023•龙口市二模）为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等．
（1）求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？
（2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？
【答案】（1）A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品；
（2）10台．
【解答】解：（1）设A种型号机器每小时生产xkg产品，B种型号机器每小时生产（x﹣10）kg产品，根据题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
则x﹣10＝50，
答：A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品；
（2）设需要A型号机器m台，则需要B型号机器（18﹣m）台，
根据题意得：60m+50（18﹣m）≥1000，
解得：m≥10，
答：至少需要A型号机器10台．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•烟台一模）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞2，解集在数轴上表示见解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞2，
∴原不等式组的解集为：x＞2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
三．二次函数综合题（共2小题）
5．（2023•芝罘区一模）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）△BCE的面积有最大值4，E（2，4）；
（3）存在，（3，）或（5，﹣）或（﹣3，﹣）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
将B、C点代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过E点作EG∥y轴交BC于点G，
设E（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴EG＝﹣t2+2t，
∴S△BCE＝（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设Q（1，m），P（n，﹣n2+n+4），B（0，4），C（4，0），
①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4，
解得n＝3，
∴P（3，）；
②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5，
∴P（5，﹣）；
③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1，
解得n＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣）；
综上所述：P点坐标为（3，）或（5，﹣）或（﹣3，﹣）．
6．（2023•莱阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C与点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：∠ADO＝∠DBO；
（3）点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）；
（2）见解答；
（3）（1+，）或（1﹣，）或（﹣2，3）或（2，1）．
【解答】（1）解：由题意得，
由，
得x1＝4，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）；
（2）证明：由抛物线的表达式知：点C（0，﹣2），则点D（0，2），
∴OD＝2，OB＝4，OA＝1，
∵，
∴△DOB∽△AOD．
∴∠ADO＝∠DBO；
（3）解：设点Q（m，﹣m+2），点P（m，n），n＝m2﹣m﹣2，
当CD为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：
，
整理得：m2＝m，
解得：m＝0（舍去）或2，
则t＝﹣2，即点Q（﹣2，3）；
当CQ是平行四边形的对角线时，同理可得：
，
解得：，
即点Q（2，1）；
当CP是平行四边形的对角线时，同理可得：
，
解得：t＝m＝1，
综上，点Q的坐标为：（1+，）或（1﹣，）或（﹣2，3）或（2，1）．
四．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2023•烟台一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，求∠CED的度数．
【答案】18°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∠A+∠BCD+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝72°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE＝∠A＝36°，
∵AC∥BE，
∴∠BED＝∠CDE＝36°，∠CBE＝∠BCD＝72°，
∵BC＝BD，
∴∠CDE+∠BDE＝∠BCD＝72°，
∴∠BDE＝36°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵∠CEB+∠BCE+∠CBE＝180°，
∴∠CEB＝54°，
∴∠CED＝∠CEB﹣∠BED＝54°﹣36°＝18°．
五．矩形的判定（共1小题）
8．（2023•烟台一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD，垂足为点E，延长DA至点F，使得AF＝DE，连接BF，CF．
求证：四边形BCEF是矩形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AF＝DE，
∴AF+AE＝DE+AE，
即EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形．
六．正方形的性质（共2小题）
9．（2023•芝罘区一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．求证：AE＝DE．
【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ECB﹣∠ECB，
∴∠ABE＝∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE．
10．（2023•烟台一模）问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 ．
【答案】问题引入：
BE＝DE，理由见解答过程；
问题延伸：
（1）PC＝PG，理由见解答过程；
（2）．
【解答】解：问题引入：
BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
问题延伸：
（1）PC＝PG，理由如下：
如图，延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
（2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵PC＝PG＝PM＝，
∴MG＝2，
∵MC2+CG2＝MG2，
∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2，
解得x＝1，
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
∴CF＝＝＝．
故答案为：．
七．四边形综合题（共2小题）
11．（2023•芝罘区一模）阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，
则：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，
又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，
故∠CAE＝∠ABD．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
请根据以上阅读解决下列问题：
（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）15．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴，
∴，
∴DE＝15．
12．（2023•莱阳市二模）已知AE∥BF，AB＝6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC于点M，BG＝10，AC＝5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①证明见解答过程；
②．
【解答】（1）证明：∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，BC＝DC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）①证明：∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC，
∴AC⊥BD，BM＝DM，
∴∠AMD＝90°，
∵C是BG的中点，
∴CM∥DG，
∴∠BDG＝∠AMD＝90°，
∴△BDG是直角三角形；
②解：∵BM＝DM，C是BG的中点，BG＝10，
∴CM是△BDG的中位线，
∴，
设CM＝x，
∵AC＝5，
∴AM＝5﹣x，
在Rt△AMD中，DM2＝AD2﹣AM2，
在Rt△CMD中，DM2＝CD2﹣CM2，
∴AD2﹣AM2＝CD2﹣CM2，
即62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得：，
∴，
∴．
八．切线的性质（共1小题）
13．（2023•烟台一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，过点B作BE∥AC，与过点C的切线交于点E，连接CD．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝5、BD＝2，求BC的长．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°，
∴CD⊥AB，∠BDC＝90°，
∵CE切⊙O于C，
∴AC⊥CE，
∵BE∥AC，
∴BE⊥CE，∠EBC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵CD⊥AB，CE⊥BE，
∴CD＝CE；
（2）解：∵AC＝5，AB＝AC，
∴AB＝5，
∵BD＝2，
∴AD＝5﹣2＝3，
由勾股定理得：CD＝＝4，
由勾股定理得：BC＝＝2．
九．切线的判定（共1小题）
14．（2023•烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ABC＝∠CBD，CD⊥BD垂足为点D，延长DC交BA的延长线于点E．
（1）EC是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若BC＝48，BD＝45，求⊙O的半径．
【答案】（1）EC是⊙O的切线，理由见解析；（2）⊙O的半径为．
【解答】解：（1）EC是⊙O的切线，
理由：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴OC⊥DE，
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，CD⊥BD，
∴∠ACB＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∴，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
15．（2023•福山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC＝，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，
∴BM＝BD＝×4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
＝﹣××2
＝．
16．（2023•莱阳市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点F，与AB的另一个交点为E，过F作FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求ED的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥BD，
∵FG⊥BD，
∴OF⊥FG，
∵OF过O，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DFC＝90°，
即DF⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴F为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BF＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BF＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
一十一．旋转的性质（共1小题）
17．（2023•龙口市二模）将正方形ABCD的边BC绕点B逆时针旋转至BE，旋转角记为α，过点A作AF垂直于直线CE，垂足为点F，连接AE，DF．
（1）如图1，当α＝40°时，请判断△AEF的形状（不用写出证明过程）；
（2）如图2，当90°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程，并求出的值；如果不成立，请说明理由；
【答案】（1）△AEF为等腰直角三角形；
（2）成立，证明见解析，＝．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，α＝40°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CBE＝50°，
∵边BC绕点B逆时针旋转至BE，
∴BC＝BE＝BA，
∴，，
∴∠AEF＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
∵BC绕点B逆时针旋转至BE，
∴BC＝BE，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BE，∠ABE＝α﹣90°，
∴．
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝90°，
∴，
∴．
∴∠AEF＝45°，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴△AEF为等腰直角三角形．
连接AC，
∵，，
∴．
∵∠EAC＝∠EAF+∠BAF+∠BAC＝45°+∠BAF+45°＝90°+∠BAF，∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°+∠BAF，
∴∠EAC＝∠DAF，
∴△EAC∽△FAD，
∴＝．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023•芝罘区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边BC，AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线BP，交边AC于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径画⊙O，交射线BP于点F，G（点G在线段OB上），连接CF，CG．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）⊙O的半径长为3；
（3）的值是．
【解答】（1）证明：作OH⊥BA于点H，
由作图得BF是∠ABC的平分线，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∴OH＝OC，
∵圆心O到AB的距离等于⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵AB•OH+BC•OC＝AC•BC＝S△ABC，且OH＝OC，
∴×10OC+×6OC＝×8×6，
∴OC＝3，
∴⊙O的半径长为3．
（3）解：∵∠OCB＝90°，OC＝3，BC＝6，
∴OB＝＝＝3，
∵OG＝OC＝3，
∴BG＝OB﹣OG＝3﹣3，
∵FG是⊙O的直径，
∴∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠OCF＝90°﹣∠ACG，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠BCG＝∠BFC，
∵∠CBG＝∠FBC，
∴△CBG∽△FBC，
∴＝＝＝，
∴的值是．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2023•福山区一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；
（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】（1）（6﹣2）米；
（2）能通过．
【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，
由题意可知，∠ADC＝60°，PE＝2.4米，QE＝0.4米，
在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4﹣0.4＝2（米），
∴tan30°＝，
∴DQ＝＝2（米），
∴PF＝AB﹣DQ＝（6﹣2）（米），
（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2﹣0.4＝2.8（米），
∴DQ＝PQ•tan53°≈2.8×1.33＝3.724（米），
∴PF＝6﹣3.724≈2.276（米），
∵2.276＞2.1，
∴能通过．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
20．（2023•烟台一模）梨花节期间，为了更好地记录梨乡美景，摄影协会特意请一名摄影师携带无人机进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点O处测得无人机位置点B的仰角为56°；当摄影师迎着坡度为3：4的斜坡从点O走到点A时，无人机的位置恰好从点B水平飞到点C，此时，摄影师在点A处测得点C的仰角∠CAP＝45°，若OA＝5米，BC＝6米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且O、A、B、C四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
【答案】15.4米．
【解答】解：过A作AD⊥地面于D，
∵OA坡度为3：4，
设AD＝3h，则OD＝4h，
∵OA＝5，
∴AD2+OD2＝OA2，即（3h）2+（4h）2＝52，
∴h＝1，
∴AD＝3，OD＝4，
过B作BE⊥地面于E，交AP于F，交AC于G，过C作CM⊥地面于M，交AP于N，
∵∠CAP＝45°，
∴△AFG和△ANC均为等腰直角三角形，
∴AF＝GF，AN＝CN，
设AF＝x米，则GF＝x米，
∵BC∥AP，且∠BFN＝∠CNF＝90°，
∴四边形BCNF为矩形，
∴FN＝BC＝6，BF＝CN＝AN＝6+x，
∵FE＝AD＝3，
∴BE＝BF+FE＝6+x+3＝9+x，OE＝OD+DE＝4+x，
∵∠BOM＝56°，，
∴9+x＝1.48×（4+x），
解得：x≈6.4，
∴BE≈9+6.4＝15.4米，
答：无人机距水平地面的高度约为15.4米．
21．（2023•龙口市二模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
【答案】约为1.33米．
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，
则AE＝AD﹣DE＝2.8﹣1.6＝1.2（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴BE＝AE＝（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝58°，tan∠ACE＝＝tan58°≈1.60，
∴CE≈＝＝0.75（米），
∴MN＝BC＝BE﹣CE＝﹣0.75≈1.33（米），
答：小聪在有效测温区间MN的长度约为1.33米．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2023•芝罘区一模）为了丰富校园生活、提高学生综合素质，某校开设了无人机、交响乐、诗词会、乒乓球四个社团，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四个社团的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A：无人机
36
0.45
B：交响乐团
0.25
C：诗歌鉴赏
16
b
D：木工制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 80 ，b＝ 0.2 ；
（2）求D对应扇形的圆心角的度数；
（3）甲、乙两位同学参加社团活动，若每人从A、B、C、D四种社团中随机选取一种，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一社团的概率．
【答案】（1）80、0.2；
（2）36°；
（3）．
【解答】解：（1）由题意得：a＝36÷0.45＝80，
∴b＝16÷80＝0.2，
故答案为：80，0.2；
（2）D对应扇形的圆心角为：360°×＝36°；
（3）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，
所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为＝．
23．（2023•福山区一模）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
13
17
20
10
（1）计算上述试验中“3朝下”的频率是 ；
（2）根据试验结果，投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？
（3）随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．
【答案】（1）；（2）这种说法是错误的；（3）．
【解答】解：（1）“4朝下”的频率：；
故答案为：．
（2）这种说法是错误的．在60次试验中，“2朝下”的频率为并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为．只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．
（3）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和不小于4的结果有13种．
∴两次朝下的数字之和不小于4的概率＝．
24．（2023•福山区一模）“六一”国际儿童节即将到来，守护好妇女儿童的健康关系着祖国的希望、民族的未来．当前，我国可应用的HPV疫苗包括二价、四价和九价疫苗，使用年龄范围为9至45岁女性．引起宫颈癌HPV高危型别最主要的是16和18亚型，二价HPV疫苗可预防70%以上宫颈癌．世界卫生组织推荐9至14岁女孩作为HPV疫苗的首要接种人群，越早接种效果越好．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数扇形统计图：
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
10周岁以下
300
0.05
c
0.125
10至19周岁
1200
b
1200
0.3
20至29周岁
a
0.15
400
0.1
30至39周岁
1500
0.25
1000
0.25
40至49周岁
2100
0.35
900
d
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ 900 ，b＝ 0.2 ，c＝ 500 ，d＝ 0.225 ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，10﹣19周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 86.4° ；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，画树状图展示所有等可能的结果，并求这三人同时在乙医院接种的概率．
【答案】（1）900，0.2，500，0225；
（2）86.4°；
（3）．
【解答】解：（1）在甲医院接种人数为：300÷0.05＝6000（人），
∴a＝6000×0.15＝900，
b＝1200÷6000＝0.2，
在乙医院的接种人数为：1200÷0.3＝4000（人），
∴c＝4000×0.125＝500，
d＝900÷4000＝0.225，
故答案为：900，0.2，500，0225；
（2）在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，10﹣19周岁年龄段人数为：1200+1200＝2400（人），
∴10﹣19周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360°×＝86.4°，
故答案为：86.4°；
（3）画树状图如图：
∴共有8种等可能的结果，A、B、C三人在乙医院接种的情况有1种，
∴这三人同时在乙医院接种的概率为．
山东省烟台市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式方程的应用（共3小题）
1．（2023•烟台一模）A，B两地之间的国道的长度为180千米．
（1）甲、乙两人均要从A地前往B地．乙乘公交车先走了20千米，甲才开车从A地出发，甲出发40分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的1.5倍，求乙所乘公交车的速度；
（2）高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了40千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了35千米/时，从A地到B地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．
2．（2023•莱阳市二模）春暖花开正是郊游踏青的好时节．为开阔学生视野，一班的家委会准备利用周末组织该班学生参加郊游活动，计划在某商家采购A、B两种水果各600元，其中A种水果比B种水果多买20千克，该商家B种水果的单价是A种水果单价的1.5倍．
（1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经过家委会和商家协商，商家决定给该班购买的A、B两种水果进行优惠，将A、B两种水果都打8折，因此，家长将调整购买计划，购买A、B两种水果共150千克，但购买的总费用不能超过1500元，则至少购买A种水果多少千克？
3．（2023•龙口市二模）为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等．
（1）求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？
（2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？
二．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•烟台一模）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
三．二次函数综合题（共2小题）
5．（2023•芝罘区一模）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023•莱阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C与点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：∠ADO＝∠DBO；
（3）点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
四．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2023•烟台一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，求∠CED的度数．
五．矩形的判定（共1小题）
8．（2023•烟台一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD，垂足为点E，延长DA至点F，使得AF＝DE，连接BF，CF．
求证：四边形BCEF是矩形．
六．正方形的性质（共2小题）
9．（2023•芝罘区一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．求证：AE＝DE．
10．（2023•烟台一模）问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 ．
七．四边形综合题（共2小题）
11．（2023•芝罘区一模）阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，
则：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，
又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，
故∠CAE＝∠ABD．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
请根据以上阅读解决下列问题：
（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的长．
12．（2023•莱阳市二模）已知AE∥BF，AB＝6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC于点M，BG＝10，AC＝5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．
八．切线的性质（共1小题）
13．（2023•烟台一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，过点B作BE∥AC，与过点C的切线交于点E，连接CD．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝5、BD＝2，求BC的长．
九．切线的判定（共1小题）
14．（2023•烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ABC＝∠CBD，CD⊥BD垂足为点D，延长DC交BA的延长线于点E．
（1）EC是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若BC＝48，BD＝45，求⊙O的半径．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
15．（2023•福山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC＝，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
16．（2023•莱阳市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点F，与AB的另一个交点为E，过F作FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求ED的长．
一十一．旋转的性质（共1小题）
17．（2023•龙口市二模）将正方形ABCD的边BC绕点B逆时针旋转至BE，旋转角记为α，过点A作AF垂直于直线CE，垂足为点F，连接AE，DF．
（1）如图1，当α＝40°时，请判断△AEF的形状（不用写出证明过程）；
（2）如图2，当90°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程，并求出的值；如果不成立，请说明理由；
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023•芝罘区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边BC，AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线BP，交边AC于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径画⊙O，交射线BP于点F，G（点G在线段OB上），连接CF，CG．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求的值．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2023•福山区一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；
（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
20．（2023•烟台一模）梨花节期间，为了更好地记录梨乡美景，摄影协会特意请一名摄影师携带无人机进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点O处测得无人机位置点B的仰角为56°；当摄影师迎着坡度为3：4的斜坡从点O走到点A时，无人机的位置恰好从点B水平飞到点C，此时，摄影师在点A处测得点C的仰角∠CAP＝45°，若OA＝5米，BC＝6米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且O、A、B、C四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
21．（2023•龙口市二模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2023•芝罘区一模）为了丰富校园生活、提高学生综合素质，某校开设了无人机、交响乐、诗词会、乒乓球四个社团，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四个社团的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A：无人机
36
0.45
B：交响乐团
0.25
C：诗歌鉴赏
16
b
D：木工制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）求D对应扇形的圆心角的度数；
（3）甲、乙两位同学参加社团活动，若每人从A、B、C、D四种社团中随机选取一种，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一社团的概率．
23．（2023•福山区一模）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
13
17
20
10
（1）计算上述试验中“3朝下”的频率是 ；
（2）根据试验结果，投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？
（3）随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．
24．（2023•福山区一模）“六一”国际儿童节即将到来，守护好妇女儿童的健康关系着祖国的希望、民族的未来．当前，我国可应用的HPV疫苗包括二价、四价和九价疫苗，使用年龄范围为9至45岁女性．引起宫颈癌HPV高危型别最主要的是16和18亚型，二价HPV疫苗可预防70%以上宫颈癌．世界卫生组织推荐9至14岁女孩作为HPV疫苗的首要接种人群，越早接种效果越好．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数扇形统计图：
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
10周岁以下
300
0.05
c
0.125
10至19周岁
1200
b
1200
0.3
20至29周岁
a
0.15
400
0.1
30至39周岁
1500
0.25
1000
0.25
40至49周岁
2100
0.35
900
d
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，10﹣19周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 ；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，画树状图展示所有等可能的结果，并求这三人同时在乙医院接种的概率．
山东省烟台市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共3小题）
1．（2023•烟台一模）A，B两地之间的国道的长度为180千米．
（1）甲、乙两人均要从A地前往B地．乙乘公交车先走了20千米，甲才开车从A地出发，甲出发40分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的1.5倍，求乙所乘公交车的速度；
（2）高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了40千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了35千米/时，从A地到B地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．
【答案】（1）乙所乘公交车的速度为60千米/小时；
（2）该长途汽车在原来国道上行驶的速度为63千米/小时．
【解答】解：（1）设乙所乘公交车的速度为x千米/小时，则甲开车的速度为1.5千米/小时，
由题意得：1.5x×＝20+x，
解得：x＝60，
答：乙所乘公交车的速度为60千米/小时；
（2）设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为y千米/小时，则该长途汽车在高速公路上行驶的速度为（x+35）千米/小时，
由题意得：＝×，
解得：x＝63，
经检验，x＝63是原方程的解，且符合题意，
答：该长途汽车在原来国道上行驶的速度为63千米/小时．
2．（2023•莱阳市二模）春暖花开正是郊游踏青的好时节．为开阔学生视野，一班的家委会准备利用周末组织该班学生参加郊游活动，计划在某商家采购A、B两种水果各600元，其中A种水果比B种水果多买20千克，该商家B种水果的单价是A种水果单价的1.5倍．
（1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经过家委会和商家协商，商家决定给该班购买的A、B两种水果进行优惠，将A、B两种水果都打8折，因此，家长将调整购买计划，购买A、B两种水果共150千克，但购买的总费用不能超过1500元，则至少购买A种水果多少千克？
【答案】（1）A种水果的单价是10元，B种水果的单价是15元；
（2）至少购买A种水果75千克．
【解答】解：（1）设该商家A种水果的单价是x元，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，
∴1.5x＝1.5×10＝15．
答：A种水果的单价是10元，B种水果的单价是15元．
（2）设购买A种水果m千克，
根据题意得：10×0.8m+15×0.8（150﹣m）≤1500，
解得：m≥75，
∴m的最小值为75．
答：至少购买A种水果75千克．
3．（2023•龙口市二模）为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等．
（1）求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？
（2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？
【答案】（1）A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品；
（2）10台．
【解答】解：（1）设A种型号机器每小时生产xkg产品，B种型号机器每小时生产（x﹣10）kg产品，根据题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
则x﹣10＝50，
答：A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品；
（2）设需要A型号机器m台，则需要B型号机器（18﹣m）台，
根据题意得：60m+50（18﹣m）≥1000，
解得：m≥10，
答：至少需要A型号机器10台．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•烟台一模）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞2，解集在数轴上表示见解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞2，
∴原不等式组的解集为：x＞2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
三．二次函数综合题（共2小题）
5．（2023•芝罘区一模）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）△BCE的面积有最大值4，E（2，4）；
（3）存在，（3，）或（5，﹣）或（﹣3，﹣）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
将B、C点代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过E点作EG∥y轴交BC于点G，
设E（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴EG＝﹣t2+2t，
∴S△BCE＝（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设Q（1，m），P（n，﹣n2+n+4），B（0，4），C（4，0），
①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4，
解得n＝3，
∴P（3，）；
②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5，
∴P（5，﹣）；
③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1，
解得n＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣）；
综上所述：P点坐标为（3，）或（5，﹣）或（﹣3，﹣）．
6．（2023•莱阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C与点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：∠ADO＝∠DBO；
（3）点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）；
（2）见解答；
（3）（1+，）或（1﹣，）或（﹣2，3）或（2，1）．
【解答】（1）解：由题意得，
由，
得x1＝4，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）；
（2）证明：由抛物线的表达式知：点C（0，﹣2），则点D（0，2），
∴OD＝2，OB＝4，OA＝1，
∵，
∴△DOB∽△AOD．
∴∠ADO＝∠DBO；
（3）解：设点Q（m，﹣m+2），点P（m，n），n＝m2﹣m﹣2，
当CD为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：
，
整理得：m2＝m，
解得：m＝0（舍去）或2，
则t＝﹣2，即点Q（﹣2，3）；
当CQ是平行四边形的对角线时，同理可得：
，
解得：，
即点Q（2，1）；
当CP是平行四边形的对角线时，同理可得：
，
解得：t＝m＝1，
综上，点Q的坐标为：（1+，）或（1﹣，）或（﹣2，3）或（2，1）．
四．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2023•烟台一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，求∠CED的度数．
【答案】18°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∠A+∠BCD+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝72°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE＝∠A＝36°，
∵AC∥BE，
∴∠BED＝∠CDE＝36°，∠CBE＝∠BCD＝72°，
∵BC＝BD，
∴∠CDE+∠BDE＝∠BCD＝72°，
∴∠BDE＝36°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵∠CEB+∠BCE+∠CBE＝180°，
∴∠CEB＝54°，
∴∠CED＝∠CEB﹣∠BED＝54°﹣36°＝18°．
五．矩形的判定（共1小题）
8．（2023•烟台一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD，垂足为点E，延长DA至点F，使得AF＝DE，连接BF，CF．
求证：四边形BCEF是矩形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AF＝DE，
∴AF+AE＝DE+AE，
即EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形．
六．正方形的性质（共2小题）
9．（2023•芝罘区一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．求证：AE＝DE．
【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ECB﹣∠ECB，
∴∠ABE＝∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE．
10．（2023•烟台一模）问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 ．
【答案】问题引入：
BE＝DE，理由见解答过程；
问题延伸：
（1）PC＝PG，理由见解答过程；
（2）．
【解答】解：问题引入：
BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
问题延伸：
（1）PC＝PG，理由如下：
如图，延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
（2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵PC＝PG＝PM＝，
∴MG＝2，
∵MC2+CG2＝MG2，
∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2，
解得x＝1，
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
∴CF＝＝＝．
故答案为：．
七．四边形综合题（共2小题）
11．（2023•芝罘区一模）阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，
则：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，
又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，
故∠CAE＝∠ABD．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
请根据以上阅读解决下列问题：
（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）15．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴，
∴，
∴DE＝15．
12．（2023•莱阳市二模）已知AE∥BF，AB＝6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC于点M，BG＝10，AC＝5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①证明见解答过程；
②．
【解答】（1）证明：∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，BC＝DC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）①证明：∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC，
∴AC⊥BD，BM＝DM，
∴∠AMD＝90°，
∵C是BG的中点，
∴CM∥DG，
∴∠BDG＝∠AMD＝90°，
∴△BDG是直角三角形；
②解：∵BM＝DM，C是BG的中点，BG＝10，
∴CM是△BDG的中位线，
∴，
设CM＝x，
∵AC＝5，
∴AM＝5﹣x，
在Rt△AMD中，DM2＝AD2﹣AM2，
在Rt△CMD中，DM2＝CD2﹣CM2，
∴AD2﹣AM2＝CD2﹣CM2，
即62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得：，
∴，
∴．
八．切线的性质（共1小题）
13．（2023•烟台一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，过点B作BE∥AC，与过点C的切线交于点E，连接CD．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝5、BD＝2，求BC的长．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°，
∴CD⊥AB，∠BDC＝90°，
∵CE切⊙O于C，
∴AC⊥CE，
∵BE∥AC，
∴BE⊥CE，∠EBC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵CD⊥AB，CE⊥BE，
∴CD＝CE；
（2）解：∵AC＝5，AB＝AC，
∴AB＝5，
∵BD＝2，
∴AD＝5﹣2＝3，
由勾股定理得：CD＝＝4，
由勾股定理得：BC＝＝2．
九．切线的判定（共1小题）
14．（2023•烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ABC＝∠CBD，CD⊥BD垂足为点D，延长DC交BA的延长线于点E．
（1）EC是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若BC＝48，BD＝45，求⊙O的半径．
【答案】（1）EC是⊙O的切线，理由见解析；（2）⊙O的半径为．
【解答】解：（1）EC是⊙O的切线，
理由：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴OC⊥DE，
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，CD⊥BD，
∴∠ACB＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∴，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
15．（2023•福山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC＝，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，
∴BM＝BD＝×4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
＝﹣××2
＝．
16．（2023•莱阳市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点F，与AB的另一个交点为E，过F作FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求ED的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥BD，
∵FG⊥BD，
∴OF⊥FG，
∵OF过O，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DFC＝90°，
即DF⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴F为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BF＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BF＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
一十一．旋转的性质（共1小题）
17．（2023•龙口市二模）将正方形ABCD的边BC绕点B逆时针旋转至BE，旋转角记为α，过点A作AF垂直于直线CE，垂足为点F，连接AE，DF．
（1）如图1，当α＝40°时，请判断△AEF的形状（不用写出证明过程）；
（2）如图2，当90°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程，并求出的值；如果不成立，请说明理由；
【答案】（1）△AEF为等腰直角三角形；
（2）成立，证明见解析，＝．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，α＝40°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CBE＝50°，
∵边BC绕点B逆时针旋转至BE，
∴BC＝BE＝BA，
∴，，
∴∠AEF＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
∵BC绕点B逆时针旋转至BE，
∴BC＝BE，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BE，∠ABE＝α﹣90°，
∴．
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝90°，
∴，
∴．
∴∠AEF＝45°，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴△AEF为等腰直角三角形．
连接AC，
∵，，
∴．
∵∠EAC＝∠EAF+∠BAF+∠BAC＝45°+∠BAF+45°＝90°+∠BAF，∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°+∠BAF，
∴∠EAC＝∠DAF，
∴△EAC∽△FAD，
∴＝．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023•芝罘区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边BC，AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线BP，交边AC于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径画⊙O，交射线BP于点F，G（点G在线段OB上），连接CF，CG．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）⊙O的半径长为3；
（3）的值是．
【解答】（1）证明：作OH⊥BA于点H，
由作图得BF是∠ABC的平分线，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∴OH＝OC，
∵圆心O到AB的距离等于⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵AB•OH+BC•OC＝AC•BC＝S△ABC，且OH＝OC，
∴×10OC+×6OC＝×8×6，
∴OC＝3，
∴⊙O的半径长为3．
（3）解：∵∠OCB＝90°，OC＝3，BC＝6，
∴OB＝＝＝3，
∵OG＝OC＝3，
∴BG＝OB﹣OG＝3﹣3，
∵FG是⊙O的直径，
∴∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠OCF＝90°﹣∠ACG，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠BCG＝∠BFC，
∵∠CBG＝∠FBC，
∴△CBG∽△FBC，
∴＝＝＝，
∴的值是．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2023•福山区一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；
（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】（1）（6﹣2）米；
（2）能通过．
【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，
由题意可知，∠ADC＝60°，PE＝2.4米，QE＝0.4米，
在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4﹣0.4＝2（米），
∴tan30°＝，
∴DQ＝＝2（米），
∴PF＝AB﹣DQ＝（6﹣2）（米），
（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2﹣0.4＝2.8（米），
∴DQ＝PQ•tan53°≈2.8×1.33＝3.724（米），
∴PF＝6﹣3.724≈2.276（米），
∵2.276＞2.1，
∴能通过．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
20．（2023•烟台一模）梨花节期间，为了更好地记录梨乡美景，摄影协会特意请一名摄影师携带无人机进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点O处测得无人机位置点B的仰角为56°；当摄影师迎着坡度为3：4的斜坡从点O走到点A时，无人机的位置恰好从点B水平飞到点C，此时，摄影师在点A处测得点C的仰角∠CAP＝45°，若OA＝5米，BC＝6米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且O、A、B、C四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
【答案】15.4米．
【解答】解：过A作AD⊥地面于D，
∵OA坡度为3：4，
设AD＝3h，则OD＝4h，
∵OA＝5，
∴AD2+OD2＝OA2，即（3h）2+（4h）2＝52，
∴h＝1，
∴AD＝3，OD＝4，
过B作BE⊥地面于E，交AP于F，交AC于G，过C作CM⊥地面于M，交AP于N，
∵∠CAP＝45°，
∴△AFG和△ANC均为等腰直角三角形，
∴AF＝GF，AN＝CN，
设AF＝x米，则GF＝x米，
∵BC∥AP，且∠BFN＝∠CNF＝90°，
∴四边形BCNF为矩形，
∴FN＝BC＝6，BF＝CN＝AN＝6+x，
∵FE＝AD＝3，
∴BE＝BF+FE＝6+x+3＝9+x，OE＝OD+DE＝4+x，
∵∠BOM＝56°，，
∴9+x＝1.48×（4+x），
解得：x≈6.4，
∴BE≈9+6.4＝15.4米，
答：无人机距水平地面的高度约为15.4米．
21．（2023•龙口市二模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
【答案】约为1.33米．
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，
则AE＝AD﹣DE＝2.8﹣1.6＝1.2（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴BE＝AE＝（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝58°，tan∠ACE＝＝tan58°≈1.60，
∴CE≈＝＝0.75（米），
∴MN＝BC＝BE﹣CE＝﹣0.75≈1.33（米），
答：小聪在有效测温区间MN的长度约为1.33米．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2023•芝罘区一模）为了丰富校园生活、提高学生综合素质，某校开设了无人机、交响乐、诗词会、乒乓球四个社团，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四个社团的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A：无人机
36
0.45
B：交响乐团
0.25
C：诗歌鉴赏
16
b
D：木工制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 80 ，b＝ 0.2 ；
（2）求D对应扇形的圆心角的度数；
（3）甲、乙两位同学参加社团活动，若每人从A、B、C、D四种社团中随机选取一种，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一社团的概率．
【答案】（1）80、0.2；
（2）36°；
（3）．
【解答】解：（1）由题意得：a＝36÷0.45＝80，
∴b＝16÷80＝0.2，
故答案为：80，0.2；
（2）D对应扇形的圆心角为：360°×＝36°；
（3）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，
所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为＝．
23．（2023•福山区一模）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
13
17
20
10
（1）计算上述试验中“3朝下”的频率是 ；
（2）根据试验结果，投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？
（3）随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．
【答案】（1）；（2）这种说法是错误的；（3）．
【解答】解：（1）“4朝下”的频率：；
故答案为：．
（2）这种说法是错误的．在60次试验中，“2朝下”的频率为并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为．只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．
（3）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和不小于4的结果有13种．
∴两次朝下的数字之和不小于4的概率＝．
24．（2023•福山区一模）“六一”国际儿童节即将到来，守护好妇女儿童的健康关系着祖国的希望、民族的未来．当前，我国可应用的HPV疫苗包括二价、四价和九价疫苗，使用年龄范围为9至45岁女性．引起宫颈癌HPV高危型别最主要的是16和18亚型，二价HPV疫苗可预防70%以上宫颈癌．世界卫生组织推荐9至14岁女孩作为HPV疫苗的首要接种人群，越早接种效果越好．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数扇形统计图：
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
10周岁以下
300
0.05
c
0.125
10至19周岁
1200
b
1200
0.3
20至29周岁
a
0.15
400
0.1
30至39周岁
1500
0.25
1000
0.25
40至49周岁
2100
0.35
900
d
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ 900 ，b＝ 0.2 ，c＝ 500 ，d＝ 0.225 ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，10﹣19周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 86.4° ；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，画树状图展示所有等可能的结果，并求这三人同时在乙医院接种的概率．
【答案】（1）900，0.2，500，0225；
（2）86.4°；
（3）．
【解答】解：（1）在甲医院接种人数为：300÷0.05＝6000（人），
∴a＝6000×0.15＝900，
b＝1200÷6000＝0.2，
在乙医院的接种人数为：1200÷0.3＝4000（人），
∴c＝4000×0.125＝500，
d＝900÷4000＝0.225，
故答案为：900，0.2，500，0225；
（2）在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，10﹣19周岁年龄段人数为：1200+1200＝2400（人），
∴10﹣19周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360°×＝86.4°，
故答案为：86.4°；
（3）画树状图如图：
∴共有8种等可能的结果，A、B、C三人在乙医院接种的情况有1种，
∴这三人同时在乙医院接种的概率为．
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