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山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
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这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，交y轴于点C，动直线l，与y轴交于点C，，交y轴于点C，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•沂源县二模）如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
二．二次函数的应用（共1小题）
2．（2023•淄川区二模）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•淄川区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，动直线l：y＝kx+3a经过点B，交y轴于点D，与抛物线另一交点为E．
（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为x轴上一动点（不与点B重合），连接BC，PE，PC，求的值；
（3）如图2，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，MN交x轴于点F，则当a为何值时，△AMF与△BFN相似？
4．（2023•高青县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
5．（2023•沂源县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
6．（2023•周村区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，过点M作x轴的垂线l，l分别交直线BC和抛物线于点N、P．
①若点M在线段OB上，求OM+MP的最大值；
②以MN为斜边作等腰直角△MNQ，当点Q落在抛物线上时，求此时点Q的坐标．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•高青县二模）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 ；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，求证△BED≌△AFD；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线AC的中点O重合，射线OM，ON分别与DC，BC交于E，F两点，且满足DE＝CF，请求出四边形OFCE的面积．
五．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB＝DE．
（1）求证：DB是⊙O的切线；
（2）求证：∠D＝2∠ACD；
（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．
六．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•沂源县二模）如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE；
（2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长．
（3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式．
七．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•周村区二模）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
（1）求证：MF＝NF；
（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；
（3）若时，求的值．
八．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023•沂源县二模）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
m
93
93
12
九（2）班
99
95
n
93
8.4
（1）直接写出表中m，n的值；
（2）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选两个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•沂源县二模）如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
【答案】（1）6，y＝﹣x+5；
（2）y＝﹣；
（3）D坐标为（2，3）或（3，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，m）代入函数y＝﹣中得：
m＝＝6，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（﹣1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：
在△ACO和△ACF中，
，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO＝＝，
在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴AF＝，FC＝，
∴，
解得：或（舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（﹣1，6），将其代入得：
，
解得：，
∴直线AE的解析式：y＝﹣，
解法二：∵直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
∴∠ACO＝45°，
∴△ACO≌△ACF，
∴OC＝CF＝5，∠ACF＝∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝90°，
∴F坐标为（5，5），
接下来同上．
（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，
∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，
在△D'OM和△ODN中，
，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，﹣d+5），则：DN＝OM＝﹣d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D'（d﹣5，d）且在y＝上，
∴d＝﹣，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（2，3）或（3，2）．
二．二次函数的应用（共1小题）
2．（2023•淄川区二模）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）第一次加价的增长率为50%；
（2）当销售单价为22元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．
【解答】解：（1）设第一次加价的增长率为x，由题意得：
10（1+x）（1+x+10%）＝24，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍）．
∴第一次加价的增长率为50%．
（2）设当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得：
y＝（m﹣10）[100+10（24﹣m）]
＝﹣10m2+440m﹣3400
＝﹣10（m﹣22）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当m＝22时，y取得最大值为1440．
∴当销售单价为22元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•淄川区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，动直线l：y＝kx+3a经过点B，交y轴于点D，与抛物线另一交点为E．
（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为x轴上一动点（不与点B重合），连接BC，PE，PC，求的值；
（3）如图2，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，MN交x轴于点F，则当a为何值时，△AMF与△BFN相似？
【答案】（1）抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）的值为．
（3）当时，△AMF与△BFN相似．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
答：抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵动直线l：y＝kx+3a经过点B，
∴3k+3a＝0，
∴k＝﹣a，
∴动直线l：y＝﹣ax+3a，
∵动直线l交y轴于点D，与抛物线另一交点为E，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝﹣ax+3a，D（0，3a），
∴x1＝﹣2，x2＝3（舍去），
∴E（﹣2，5a），
∴，
，
∴．
答：的值为．
（3）∵∠AFM＝∠BFN，
∴只需要再有一对角相等，则△AMF∽△BFN，
①当∠FAM＝∠FBN时，AD∥BC，
∵C（0，﹣3a），D（0，3a），A（﹣1，0），B（3，0），
∴AD与BC不可能平行，舍去．
②当∠AMF＝∠FBN时，sin∠AMF＝sin∠FBN，
∵D（0，3a），A（﹣1，0），
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴，
∴，
如图，过点F作FK⊥AM交于点K，
∴，．
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴，
∴，
∴，
∴，
即当时，△AMF∽△BFN．
答：当时，△AMF与△BFN相似．
4．（2023•高青县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+2；
（2）点M的坐标为（2，1）；
（3）以B、D、N为顶点的三角形当D（2，0）时与△OBC相似，此时点N的坐标为（2，﹣1）．
【解答】解：（1）∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵OB＝2OC，
∴OB＝4，
∴B（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称，
∴A（1，0），
把A（1，0），B（4，0），C（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+d，把B（4，0），C（0，2）分别代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（t，0），且0＜t＜4，
则M（t，﹣t+2），N（t，t2﹣t+2），
∴MN＝﹣t+2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，MN最大，最大值为2，
此时点M的坐标为（2，1）；
（3）以B、D、N为顶点的三角形能够与△OBC相似．理由如下：
设D（n，0），且0＜n＜4，则N（n，n2﹣n+2），
又∵B（4，0），C（0，2），
∴BD＝4﹣n，DN＝|n2﹣n+2|，OB＝4，OC＝2，
当△BDN∽△BOC时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝0或n＝2或n＝4，
∵0＜n＜4，
∴n＝0或n＝4均不符合题意，即当n＝2时，△BDN∽△BOC成立，此时N（2，﹣1）；
当△BDN∽△COB时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝4或n＝﹣3或n＝5，
∵0＜n＜4，
∴n＝4或n＝﹣3或n＝5均不符合题意，即△BDN∽△COB不成立；
综上所述，以B、D、N为顶点的三角形当D（2，0）时与△OBC相似，此时点N的坐标为（2，﹣1）．
5．（2023•沂源县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣5ax+4a＝0，解得x1＝1，x2＝4，则A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵△ABC的面积为3，
∴•3•OC＝3，解得OC＝2，则C（0，﹣2），
把C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣5ax+4a得4a＝﹣2，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD＝4a﹣（ax2﹣5ax+4a）＝﹣ax2+5ax，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠BCP＝2∠ABC，
∴∠PCD＝∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC＝CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，解得x1＝0，x2＝6，
∴点P的横坐标为6；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，
∵AK＝FK，
∴∠KAF＝∠KFA，
而∠KAF＝∠KAH+∠PAH，∠KFA＝∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH＝∠FKP，
∴∠HAP＝∠KPA，
∴HA＝HP，
∴△AHP为等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，
在Rt△PFG中，∵PF＝﹣4a＝2，∠FPG＝45°，
∴FG＝PG＝PF＝2，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH＝FG＝2，
∴K（6，2），
设直线KB的解析式为y＝mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得，
解得，
∴直线KB的解析式为y＝x﹣4，
当a＝﹣时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2，
解方程组，
解得或，
∴Q（﹣1，﹣5），
而P（6，﹣5），
∴PQ∥x 轴，
∴QP＝7．
6．（2023•周村区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，过点M作x轴的垂线l，l分别交直线BC和抛物线于点N、P．
①若点M在线段OB上，求OM+MP的最大值；
②以MN为斜边作等腰直角△MNQ，当点Q落在抛物线上时，求此时点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）①；
②或．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣4中，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）①令x＝0代入，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b1，
将B（3，0），C（0，﹣4）代入并求得：，
∴直线BC的函数表达式为：，
设M的坐标为（m，0），则、，
∴，
∴当时，OM+MP最大值为；
②若点Q在MN的右侧，设，M（m，0），
则由等腰直角三角形的性质得：，
∴，
∴，
把点N坐标代入中，得2n2﹣7n+3＝0，
解得，n2＝3（舍去），
故；
若点Q在MN的左侧，设，
同理得：，
把点N坐标代入中，得10n2﹣23n﹣21＝0，
解得，n2＝3（舍去），
故；
综上，点Q的坐标为或．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•高青县二模）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 相等 ；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，求证△BED≌△AFD；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线AC的中点O重合，射线OM，ON分别与DC，BC交于E，F两点，且满足DE＝CF，请求出四边形OFCE的面积．
【答案】（1）相等；
（2）见解答；
（3）4．
【解答】（1）解：DE与DF的数量关系是：相等，理由：
当点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点时，
则ED＝AC＝AF，且DE∥AC，
同理可得：DF＝AE＝AB＝AC＝ED＝AF，
即DE＝DF，
故答案为：相等；
（2）证明：∵点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD，∠DAF＝45°＝∠B，
∵AF＝BE，
∴△BED≌△AFD（SAS）；
（3）解：如图，连接OD，
由题意知，点O是正方形对角线的交点，
∴∠ODE＝45°＝∠OCN，OD＝OC，
∵DE＝CF，
∴△DEO≌△CFO（SAS），
∴△DEO和△CFO面积相等，
则OFCE的面积＝S△OCE+S△COF
＝S△OCE+S△DEO
＝S△COD
＝S正方形ABCD
＝×4×4＝4．
五．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB＝DE．
（1）求证：DB是⊙O的切线；
（2）求证：∠D＝2∠ACD；
（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）ME的长是．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠A＝90°，
∵点A是弧MC的中点，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACM，
∵DB＝DE，∠DEB＝∠AEC，
∴∠DBE＝∠DEB＝∠AEC，
∴∠DBC＝∠DBE+∠ABC＝∠AEC+∠ACM＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且DB⊥OB，
∴DB是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BMC＝∠DBC＝90°，
∴∠D＝∠MBC＝90°﹣∠BCD，
∵∠ABM＝∠ABC＝∠ACD，
∴∠MBC＝2∠ABC＝2∠ACD，
∴∠D＝2∠ACD．
（3）解：作EF⊥BC于点F，
∵EM⊥BM，BA平分∠MBC，
∴FE＝ME，
∵∠DBC＝90°，DB＝6，DC＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵DC•BM＝BC•DC＝S△DBC，
∴×10BM＝×8×6，
∴BM＝，
∴CM＝＝＝，
∵BM•ME+BC•FE＝BM•CM＝S△MBC，
∴×ME+×8ME＝××，
∴ME＝，
∴ME的长是．
六．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•沂源县二模）如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE；
（2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长．
（3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）；
（3）n＝．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝8，
∴BG＝CGBC＝AC＝4，∠BAG＝∠CAG＝30°，
∴AG＝BG＝4，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝4：3，
∴BE＝BG＝3，
∴EG＝BE+BG＝3+4＝7，
在Rt△AEG中，AE＝＝＝；
（3）如图2，过点E作EH⊥AD于点H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴sin∠EBD＝＝，
∴EH＝BE，BH＝BE，
∵＝m，
∴BG＝mBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2mBE，
∴AH＝AB+BH＝2mBE+BE＝（2m+）BE，
在Rt△AHE中，tan∠EAD＝＝＝，
∴n＝．
七．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•周村区二模）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
（1）求证：MF＝NF；
（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；
（3）若时，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）MF＝5；
（3）．
【解答】（1）证明：∵BM平分∠ABF，
∴∠ABN＝∠FBM，
在矩形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
由翻折可知∠C＝∠EFB＝90°，
∵点M在EF的延长线上，
∠MFB＝∠EFB＝90°，
∴∠A＝∠MFB＝90°，
∴∠BMF+∠FBM＝∠ANB+∠ABN，
∴∠BMF＝∠ANB，
又∠ANB＝∠FNM，
∴∠BMF＝∠FNM，
∴FN＝FM；
（2）解：∵BC＝10，
由翻折可知，
BF＝BC＝10，
在Rt△ABF中，AB＝6，
∴，
设MF＝FN＝x，
则AN＝8﹣x，
由（1）可知∠A＝∠MFB＝90°，∠ABN＝∠FBM，
∴△ABN∽△FBM，
∴，
∴，
解得：x＝5，
即MF＝5；
（3）解：如图，过点N作NH⊥BF，垂足为H，
设DF＝m，AN＝n，则，
∴，
∵BN平分∠ABF，
∴NA＝NH＝n，
∵∠HFN＝∠AFB，∠FHN＝∠FAB＝90°，
∴△FNH∽△FBA，
∴，
即，
故AB＝3n，，
又∵FB＝FH+BH＝FH+AB，即，
∴，
∴．
八．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023•沂源县二模）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
m
93
93
12
九（2）班
99
95
n
93
8.4
（1）直接写出表中m，n的值；
（2）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选两个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．
【答案】（1）94，95.5；
（2）．
【解答】解：（1）m＝（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）÷10＝94（分）；
把九（2）班的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：n＝＝95.5，
故答案为：94，95.5；
（2）设九（1）班中98分的两名学生分别用A、B表示，九（2）班中98分的两名学生分别用a、b表示，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中另外两个决赛名额落在同一个班级的结果数为4，
所以另外两个决赛名额落在同一个班级的概率＝＝．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•沂源县二模）如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
二．二次函数的应用（共1小题）
2．（2023•淄川区二模）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•淄川区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，动直线l：y＝kx+3a经过点B，交y轴于点D，与抛物线另一交点为E．
（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为x轴上一动点（不与点B重合），连接BC，PE，PC，求的值；
（3）如图2，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，MN交x轴于点F，则当a为何值时，△AMF与△BFN相似？
4．（2023•高青县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
5．（2023•沂源县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
6．（2023•周村区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，过点M作x轴的垂线l，l分别交直线BC和抛物线于点N、P．
①若点M在线段OB上，求OM+MP的最大值；
②以MN为斜边作等腰直角△MNQ，当点Q落在抛物线上时，求此时点Q的坐标．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•高青县二模）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 ；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，求证△BED≌△AFD；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线AC的中点O重合，射线OM，ON分别与DC，BC交于E，F两点，且满足DE＝CF，请求出四边形OFCE的面积．
五．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB＝DE．
（1）求证：DB是⊙O的切线；
（2）求证：∠D＝2∠ACD；
（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．
六．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•沂源县二模）如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE；
（2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长．
（3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式．
七．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•周村区二模）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
（1）求证：MF＝NF；
（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；
（3）若时，求的值．
八．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023•沂源县二模）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
m
93
93
12
九（2）班
99
95
n
93
8.4
（1）直接写出表中m，n的值；
（2）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选两个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•沂源县二模）如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
【答案】（1）6，y＝﹣x+5；
（2）y＝﹣；
（3）D坐标为（2，3）或（3，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，m）代入函数y＝﹣中得：
m＝＝6，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（﹣1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：
在△ACO和△ACF中，
，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO＝＝，
在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴AF＝，FC＝，
∴，
解得：或（舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（﹣1，6），将其代入得：
，
解得：，
∴直线AE的解析式：y＝﹣，
解法二：∵直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
∴∠ACO＝45°，
∴△ACO≌△ACF，
∴OC＝CF＝5，∠ACF＝∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝90°，
∴F坐标为（5，5），
接下来同上．
（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，
∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，
在△D'OM和△ODN中，
，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，﹣d+5），则：DN＝OM＝﹣d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D'（d﹣5，d）且在y＝上，
∴d＝﹣，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（2，3）或（3，2）．
二．二次函数的应用（共1小题）
2．（2023•淄川区二模）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）第一次加价的增长率为50%；
（2）当销售单价为22元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．
【解答】解：（1）设第一次加价的增长率为x，由题意得：
10（1+x）（1+x+10%）＝24，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍）．
∴第一次加价的增长率为50%．
（2）设当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得：
y＝（m﹣10）[100+10（24﹣m）]
＝﹣10m2+440m﹣3400
＝﹣10（m﹣22）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当m＝22时，y取得最大值为1440．
∴当销售单价为22元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．
三．二次函数综合题（共4小题）
3．（2023•淄川区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，动直线l：y＝kx+3a经过点B，交y轴于点D，与抛物线另一交点为E．
（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为x轴上一动点（不与点B重合），连接BC，PE，PC，求的值；
（3）如图2，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，MN交x轴于点F，则当a为何值时，△AMF与△BFN相似？
【答案】（1）抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）的值为．
（3）当时，△AMF与△BFN相似．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
答：抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵动直线l：y＝kx+3a经过点B，
∴3k+3a＝0，
∴k＝﹣a，
∴动直线l：y＝﹣ax+3a，
∵动直线l交y轴于点D，与抛物线另一交点为E，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝﹣ax+3a，D（0，3a），
∴x1＝﹣2，x2＝3（舍去），
∴E（﹣2，5a），
∴，
，
∴．
答：的值为．
（3）∵∠AFM＝∠BFN，
∴只需要再有一对角相等，则△AMF∽△BFN，
①当∠FAM＝∠FBN时，AD∥BC，
∵C（0，﹣3a），D（0，3a），A（﹣1，0），B（3，0），
∴AD与BC不可能平行，舍去．
②当∠AMF＝∠FBN时，sin∠AMF＝sin∠FBN，
∵D（0，3a），A（﹣1，0），
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴，
∴，
如图，过点F作FK⊥AM交于点K，
∴，．
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴，
∴，
∴，
∴，
即当时，△AMF∽△BFN．
答：当时，△AMF与△BFN相似．
4．（2023•高青县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+2；
（2）点M的坐标为（2，1）；
（3）以B、D、N为顶点的三角形当D（2，0）时与△OBC相似，此时点N的坐标为（2，﹣1）．
【解答】解：（1）∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵OB＝2OC，
∴OB＝4，
∴B（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称，
∴A（1，0），
把A（1，0），B（4，0），C（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+d，把B（4，0），C（0，2）分别代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（t，0），且0＜t＜4，
则M（t，﹣t+2），N（t，t2﹣t+2），
∴MN＝﹣t+2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，MN最大，最大值为2，
此时点M的坐标为（2，1）；
（3）以B、D、N为顶点的三角形能够与△OBC相似．理由如下：
设D（n，0），且0＜n＜4，则N（n，n2﹣n+2），
又∵B（4，0），C（0，2），
∴BD＝4﹣n，DN＝|n2﹣n+2|，OB＝4，OC＝2，
当△BDN∽△BOC时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝0或n＝2或n＝4，
∵0＜n＜4，
∴n＝0或n＝4均不符合题意，即当n＝2时，△BDN∽△BOC成立，此时N（2，﹣1）；
当△BDN∽△COB时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝4或n＝﹣3或n＝5，
∵0＜n＜4，
∴n＝4或n＝﹣3或n＝5均不符合题意，即△BDN∽△COB不成立；
综上所述，以B、D、N为顶点的三角形当D（2，0）时与△OBC相似，此时点N的坐标为（2，﹣1）．
5．（2023•沂源县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣5ax+4a＝0，解得x1＝1，x2＝4，则A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵△ABC的面积为3，
∴•3•OC＝3，解得OC＝2，则C（0，﹣2），
把C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣5ax+4a得4a＝﹣2，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD＝4a﹣（ax2﹣5ax+4a）＝﹣ax2+5ax，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠BCP＝2∠ABC，
∴∠PCD＝∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC＝CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，解得x1＝0，x2＝6，
∴点P的横坐标为6；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，
∵AK＝FK，
∴∠KAF＝∠KFA，
而∠KAF＝∠KAH+∠PAH，∠KFA＝∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH＝∠FKP，
∴∠HAP＝∠KPA，
∴HA＝HP，
∴△AHP为等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，
在Rt△PFG中，∵PF＝﹣4a＝2，∠FPG＝45°，
∴FG＝PG＝PF＝2，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH＝FG＝2，
∴K（6，2），
设直线KB的解析式为y＝mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得，
解得，
∴直线KB的解析式为y＝x﹣4，
当a＝﹣时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2，
解方程组，
解得或，
∴Q（﹣1，﹣5），
而P（6，﹣5），
∴PQ∥x 轴，
∴QP＝7．
6．（2023•周村区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，过点M作x轴的垂线l，l分别交直线BC和抛物线于点N、P．
①若点M在线段OB上，求OM+MP的最大值；
②以MN为斜边作等腰直角△MNQ，当点Q落在抛物线上时，求此时点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）①；
②或．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣4中，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）①令x＝0代入，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b1，
将B（3，0），C（0，﹣4）代入并求得：，
∴直线BC的函数表达式为：，
设M的坐标为（m，0），则、，
∴，
∴当时，OM+MP最大值为；
②若点Q在MN的右侧，设，M（m，0），
则由等腰直角三角形的性质得：，
∴，
∴，
把点N坐标代入中，得2n2﹣7n+3＝0，
解得，n2＝3（舍去），
故；
若点Q在MN的左侧，设，
同理得：，
把点N坐标代入中，得10n2﹣23n﹣21＝0，
解得，n2＝3（舍去），
故；
综上，点Q的坐标为或．
四．四边形综合题（共1小题）
7．（2023•高青县二模）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 相等 ；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，求证△BED≌△AFD；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线AC的中点O重合，射线OM，ON分别与DC，BC交于E，F两点，且满足DE＝CF，请求出四边形OFCE的面积．
【答案】（1）相等；
（2）见解答；
（3）4．
【解答】（1）解：DE与DF的数量关系是：相等，理由：
当点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点时，
则ED＝AC＝AF，且DE∥AC，
同理可得：DF＝AE＝AB＝AC＝ED＝AF，
即DE＝DF，
故答案为：相等；
（2）证明：∵点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD，∠DAF＝45°＝∠B，
∵AF＝BE，
∴△BED≌△AFD（SAS）；
（3）解：如图，连接OD，
由题意知，点O是正方形对角线的交点，
∴∠ODE＝45°＝∠OCN，OD＝OC，
∵DE＝CF，
∴△DEO≌△CFO（SAS），
∴△DEO和△CFO面积相等，
则OFCE的面积＝S△OCE+S△COF
＝S△OCE+S△DEO
＝S△COD
＝S正方形ABCD
＝×4×4＝4．
五．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB＝DE．
（1）求证：DB是⊙O的切线；
（2）求证：∠D＝2∠ACD；
（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）ME的长是．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠A＝90°，
∵点A是弧MC的中点，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACM，
∵DB＝DE，∠DEB＝∠AEC，
∴∠DBE＝∠DEB＝∠AEC，
∴∠DBC＝∠DBE+∠ABC＝∠AEC+∠ACM＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且DB⊥OB，
∴DB是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BMC＝∠DBC＝90°，
∴∠D＝∠MBC＝90°﹣∠BCD，
∵∠ABM＝∠ABC＝∠ACD，
∴∠MBC＝2∠ABC＝2∠ACD，
∴∠D＝2∠ACD．
（3）解：作EF⊥BC于点F，
∵EM⊥BM，BA平分∠MBC，
∴FE＝ME，
∵∠DBC＝90°，DB＝6，DC＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵DC•BM＝BC•DC＝S△DBC，
∴×10BM＝×8×6，
∴BM＝，
∴CM＝＝＝，
∵BM•ME+BC•FE＝BM•CM＝S△MBC，
∴×ME+×8ME＝××，
∴ME＝，
∴ME的长是．
六．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•沂源县二模）如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE；
（2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长．
（3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）；
（3）n＝．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝8，
∴BG＝CGBC＝AC＝4，∠BAG＝∠CAG＝30°，
∴AG＝BG＝4，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝4：3，
∴BE＝BG＝3，
∴EG＝BE+BG＝3+4＝7，
在Rt△AEG中，AE＝＝＝；
（3）如图2，过点E作EH⊥AD于点H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴sin∠EBD＝＝，
∴EH＝BE，BH＝BE，
∵＝m，
∴BG＝mBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2mBE，
∴AH＝AB+BH＝2mBE+BE＝（2m+）BE，
在Rt△AHE中，tan∠EAD＝＝＝，
∴n＝．
七．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•周村区二模）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
（1）求证：MF＝NF；
（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；
（3）若时，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）MF＝5；
（3）．
【解答】（1）证明：∵BM平分∠ABF，
∴∠ABN＝∠FBM，
在矩形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
由翻折可知∠C＝∠EFB＝90°，
∵点M在EF的延长线上，
∠MFB＝∠EFB＝90°，
∴∠A＝∠MFB＝90°，
∴∠BMF+∠FBM＝∠ANB+∠ABN，
∴∠BMF＝∠ANB，
又∠ANB＝∠FNM，
∴∠BMF＝∠FNM，
∴FN＝FM；
（2）解：∵BC＝10，
由翻折可知，
BF＝BC＝10，
在Rt△ABF中，AB＝6，
∴，
设MF＝FN＝x，
则AN＝8﹣x，
由（1）可知∠A＝∠MFB＝90°，∠ABN＝∠FBM，
∴△ABN∽△FBM，
∴，
∴，
解得：x＝5，
即MF＝5；
（3）解：如图，过点N作NH⊥BF，垂足为H，
设DF＝m，AN＝n，则，
∴，
∵BN平分∠ABF，
∴NA＝NH＝n，
∵∠HFN＝∠AFB，∠FHN＝∠FAB＝90°，
∴△FNH∽△FBA，
∴，
即，
故AB＝3n，，
又∵FB＝FH+BH＝FH+AB，即，
∴，
∴．
八．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023•沂源县二模）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
m
93
93
12
九（2）班
99
95
n
93
8.4
（1）直接写出表中m，n的值；
（2）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选两个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．
【答案】（1）94，95.5；
（2）．
【解答】解：（1）m＝（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）÷10＝94（分）；
把九（2）班的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：n＝＝95.5，
故答案为：94，95.5；
（2）设九（1）班中98分的两名学生分别用A、B表示，九（2）班中98分的两名学生分别用a、b表示，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中另外两个决赛名额落在同一个班级的结果数为4，
所以另外两个决赛名额落在同一个班级的概率＝＝．
相关试卷
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，连接AC，BC，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
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