精品解析：广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

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广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题
1. 以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ）
A. 6，8，11 B. 5，12，13 C. 1，，2 D. 3，4，5
【答案】A
【解析】
【分析】由两条短边长的平方和不等于长边的平方，可得出这三个数不能作为直角三角形的三边长，此题得解．
【详解】解：A.∵62+82=100，112=121，100≠121，
∴6，8，11不能作为直角三角形的三边长；
B. ∵52+122=169，132=169，169=169，
∴5，12，13能作为直角三角形的三边长；
C. ∵12+()2=4，22=4，4=4，
∴1，，2能作为直角三角形的三边长；
D. ∵32+42=25，52=25，25=25，
∴3，4，5能作为直角三角形的三边长；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
2. 如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（　　）

A. 40° B. 50° C. 140° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. ＝2 B. ×＝ C. −＝ D. ÷＝4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的化简和二次根式的运算，注意二次根式的性质：．
4. 已知点在轴上，则（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出a的值．
【详解】解：点在轴上，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，明确点在x轴上时，纵坐标为0是解题的关键．
5. 新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
362
36.3
36.2
36.4
36.3

A. 36.3和36.2 B. 36.2和36.3 C. 36.3和36.3 D. 36.2和36.1
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【详解】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，
该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解题的关键．
6. 正比例函数（）的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数随的增大而减小可知，再根据函数中系数的符号判断图像即可．
【详解】∵正比例函数随的增大而减小，
∴，则
函数中，
∴函数图象经过一、二、三象限
故选A．
【点睛】本题考查判断一次函数图象，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
7. 已知，如图，，则、、之间的关系为（　　）

A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等即可解答，此题在解答过程中，需添加辅助线．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，
∴∠β=∠AEF+∠γ，即∠AEF=∠β-∠γ，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8. 下列命题中为真命题的是（　　）
A. 三角形的一个外角等于两内角的和
B. 是最简二次根式
C. 数，，都是无理数
D. 已知点E(1，a)与点F(b，2)关于x轴对称，则a+b＝﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，a=1，b=-2，则a+b＝﹣1，正确，真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点，难度不大.
9. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走.下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需.设从甲地到乙地的上坡路程长，平路路程长为，依题意列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
【详解】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm，
由题意得：
故选C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
10. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论：
①；
②；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是（ ）．

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】①由函数图象中的信息求出m的值；
②根据“路程时间速度”求出甲的速度，并求出a的值；
③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；
④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：由题意，得，故①结论正确；
，则，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，
由题意，得：，
解得，
当时，，
解得：，
甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当时，．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为，
由题意得：，
解得，
．
当时，
解得：，
当时，
解得：，
，，
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距，故④结论错误．
正确结论的个数是3个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键．
二、填空题
11. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
12. 如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要______m．

【答案】26
【解析】
【分析】首先画出圆柱的平面展开图，再利用勾股定理计算出梯子最短长度即可．
【详解】如图所示：
（m），
故答案为：26．
．
【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径，关键是掌握勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
13. 如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，5），则方程组的解是______．

【答案】
【解析】
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求得结论．
【详解】把P（m，5）代入y＝x+2得m+2＝5，解得m＝3，
所以P点坐标（3，5），
所以方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查两直线与二元一次方程组的解，要从数与形两个方面来理解两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系，即数形结合．
14. 要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．

【答案】10
【解析】
【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．
【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，

∵AP＝A'P，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，
∵A（0，3），
∴A'（0，﹣3），
∵B（6，5），
5-（-3）=8，6-0=6
∴A'B＝=10，
∴P点到A、B的距离最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是__________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，−a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【详解】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，

∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝−4，
∴P点坐标为（−4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，

设P点坐标为（a，−a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
把A、P坐标代入可得，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝x＋8，
令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82，
∵B（−4，0），
∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16，
解得a＝12，则−a＋4＝−8，
∴P点坐标为（12，−8），
综上可知，P点坐标为（−4，8）或（12，−8）．
故答案为：（−4，8）或（12，−8）．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出P点的位置，由条件得到AP∥OB或AC＝BC是解题的关键．
三、解答题
16. 计算：
（1）．
（2）﹣2×+|1﹣|．
【答案】（1）0 （2）-3
【解析】
【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
【小问1详解】
解：+
＝+
＝+
＝-+
＝0．
【小问2详解】
解：﹣2×+|1﹣|
＝﹣2﹣2×+﹣1
＝﹣2﹣+﹣1
＝﹣3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，灵活运用所学知识化简每一个数成为解答本题的关键．
17. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）②﹣①得出4y＝12，求出y，再把y＝3代入②求出x即可；
（2）整理后①+②得出6x＝12，求出x，再把x＝2代入①求出y即可．
【小问1详解】
，
②﹣①，得4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②，得x+3＝15，
解得：x＝12，
所以方程组的解是；
【小问2详解】
，
原方程组化为：，
①+②，得6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得6+2y＝4，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法．
18. 如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．

（1）求ABD的面积．
（2）求BC的长（结果保留根号）．
【答案】（1）6 （2）3+4
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理说明△ABD是直角三角形，再根据三角形面积公式列式计算即可；
（2）先利用勾股定理求出DC，然后根据BC＝BD+DC求解即可．
【小问1详解】
解：∵在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；
【小问2详解】
解：∵∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝3+4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和运用勾股定理解直角三角形，运用勾股定理判定△ABD为直角三角形是解答本题的关键．
19. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35

（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【答案】（1）8，7.5
（2）八，八年级成绩的方差小于七年级
（3）1080
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可．
【小问1详解】
解:由表可知，
八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：8、7.5；
【小问2详解】
解:八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级；
【小问3详解】
解:估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
【答案】（1）购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元
（2）购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元
【解析】
【分析】（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，根据“购买'A课程'3课时与'B课程'5课时共需付款410元，购买'A课程'5课时与'B课程'3课时共需付款470元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，利用总利润＝每课时获得的利润×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元．
【小问2详解】
设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，
依题意得：w＝25m+20（60﹣m）＝5m+1200．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1200＝1400．
答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和写出函数关系式．
21. 点E在射线DA上，点F、G为射线BC．上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图，当点G在F右侧时，求证：；

（2）如图，当点G在BF左侧时，求证：；

（3）如图，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，，求∠B的度数．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；
（2）过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴；

（2）过点G作交AD于K，
同理可证，
∴，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；

（3）设，则，，，
∵DN平分∠PDM，
∴，

∴，，
∵DG⊥NG，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键在于能够熟知平行线的性质与判定条件．
22. 【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

【答案】（1）见详解；（2）；（3）点D坐标（，）或（4，7）或（，）．
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，根据平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，角角边证明△CDA≌△BEC；
（2）证明△ABO≌∠BCD，求出点C的坐标为（-3，5），构建二元一次方程组求出k=5，b=10，利用待定系数法求出直线l2的函数表达式为y=-5x-10；
（3）证明△MCP≌△HPD，由其性质，点D在直线y=-2x+1求出m=或n=0或，将m的值代入，得点D坐标为（，）或（4，7）或（，）．
【详解】解：（1）如图1所示：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，
又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：

∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB=∠BOA=90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO=BD，BO=CD，
又∵直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），
∴AO=2，BO=3，
∴BD=2，CD=3，
∴点C的坐标为（-3，5），
设l2的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
∴，
∴直线l2的函数表达式为y=5x10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：

设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD=90°，CP=PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，
∴∠CPM+∠PDH=90°，
又∵∠CPM+∠DPM=90°，
∴∠PCM=∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM=PH，PM=PD，
∴点D的坐标为（7+m，-3+m），
又∵点D在直线y=-2x+1上，
∴-2（7+m）+1=-3+m，
解得：m=，
即点D的坐标为（，）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：

设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA=CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM=CH，MC=HD，
∴点D的坐标为（4+n，-7），
又∵点D在直线y=-2x+1上，
∴-2（4+n）+1=-7，
解得：n=0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，-7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：

设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD=PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD=PQ，MC=DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y=-2x+1上，
∴-2×+1=，
解得：k=−，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，）；
综合上述，点D坐标（，）或（4，7）或（，）．
【点睛】本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数求法，待定系数等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形．