精品解析：广东省深圳市光明区凤凰城实验学校2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷

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光明区凤凰城实验学校2021-2022学年第一学期八年级期中考试数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在下列实数中：，，3.14114111411114…，，，，无理数的个数有（　　）个．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：整数，是分数，这两个数是有理数，
，，3.14114111411114…，，这四个数是无理数．
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2. 下列各式中,正确的是( )
A. =±4 B. ±=4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
3. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 3，4，5 B. 7，8，25 C. 6，8，10 D. 5，12，13
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，∴3，4，5能构成直角三角形，不符合题意．
B、∵，∴7，8，25不能构成直角三角形，符合题意；
C、∵，∴6，8，10能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴5，12，13能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4. 点（5，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. （5，-2） B. （-5，-2） C. （-5,2） D. （2，-5）
【答案】C
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】点A（5，2）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣5，2）．
故选C．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5. 一组数据1，4，5，2，8，它们数据分析正确的是（　　）
A. 平均数是5 B. 中位数是5 C. 方差是6 D. 极差是6
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、方差和极差的概念分别计算可得．
【详解】解：将数据重新排列为1、2、4、5、8，
则这组数据的平均数为，中位数为4，
方差为，
极差为，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的计算，掌握平均数、中位数、方差和极差的概念是解答本题的关键．
6. 如图，直线，AB=BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA=20°，则∠1的度数为( )

A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=70°，再根据等边对等角可得∠BCA=∠BAC=70°，继而根据两直线平行，内错角相等即可求得答案.
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC=90°-∠DCA=90°-20°=70°，
∵AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=70°，
∵，
∴∠1=∠BCA=70°，
故选B.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
7. 下列四个命题中，真命题的是（　　）
A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B. 相等的角是对顶角
C. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
D. 若，则且
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质及三角形外角的性质与有理数的乘法依次判断即可．
【详解】解：A、两条直线平行被第三条直线所截，内错角相等，原命题为假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题，不符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，原命题为真命题，符合题意；
D、若，则或，原命题为假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查平行线的性质、对顶角的性质及三角形外角的性质与有理数的乘法，真假命题的判断，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
8. 一次函数与的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④；⑤当时，，正确的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数图象，利用一次函数的性质对①②③④进行判断；利用函数图象得到x＞2时，一次函数y1=kx+b的图象在y2=mx+n的图象上方，则可对⑤进行判断．
【详解】解：∵一次函数y1=kx+b的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，所以①正确；
∵一次函数y1=kx+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴b＜0，所以②错误；
∵一次函数y2=mx+n的图象经过第二、四象限，
∴m＜0，所以③错误；
∵一次函数y2=mx+n的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴n＞0，所以④正确；
∵x＞2时，y1＞y2，
∴当x=3时：y1＞y2．所以⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：通过两个一次函数图象的位置关系去比较两函数值的大小．也考查了一次函数的性质．
9. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有这样一道题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？其意思为：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚三人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可建立方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据和尚数和馒头数的等量关系直接列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设大和尚有人，小和尚有人，
有100个和尚可列方程x+y=100，
大和尚一人分3个，小和尚三人分1个，正好分完100馒头，
可列方程，
联立得，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，需读懂题意，找到等量关系；根据有100个和尚，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个，正好分完100馒头列出方程组是解答的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．
【详解】解：如图，连接DF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴∠GAF=∠GAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
设GD=GF=x，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(4+x)2=82+(12-x)2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG=×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=×24==14.4，故④正确，
故①③④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是_____．
【答案】y=2x+1．
【解析】
【详解】解：一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式为：y=2x+3﹣2，化简得，y=2x+1，
故答案为：y=2x+1．
12. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为_______分．
【答案】88.8
【解析】
【分析】根据加权平均公式进行计算，即可得到答案.
【详解】解：由题意，则该名教师的综合成绩为：



故答案为88.8
【点睛】本题考查加权平均公式，解题的关键是掌握加权平均公式.
13. 如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是______ ．

【答案】
【解析】
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（1，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：∵函数y=ax+b和y=kx的图象的交点P的坐标为（1，1），
∴关于的二元一次方程组的解是．
故答案为．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，学生们认真认真分校即可.
14. 如图，将三边分别向两边延长，并在每条延长线上任取两点连接起来，又得到三个新三角形，则的度数是___________．

【答案】360°##360度
【解析】
【分析】利用三角形外角的性质，把转化为，转化为，转化为，继续利用外角性质，把转化为两倍三角形的内角和即可得证．
【详解】解：如图

∵，，，
∴.
又∵，，，
∴

，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、内角和定理等知识，把转化为，转化为，转化为是解决本题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形、、…，按如图所示的方式放置，其中点…，均在一次函数y=kx+b的图象上，点…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ___________．

【答案】(，)
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点、的坐标；然后将点、的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，然后将其横坐标代入直线方程求得相应的y值，从而得到点的坐标．
【详解】解：如图，点的坐标为，点的坐标为，
，，则．
是等腰直角三角形，，
．
点的坐标是．
同理，在等腰直角中，，，则．
点、均在一次函数的图象上，
，
解得，
该直线方程是．
点，的横坐标相同，都是3，
当时，，即，则，
．
同理，，

，
当时，，
即点的坐标为．
故答案为：(，)．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．
三、解答题（共55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）6 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用二次根式混合运算法则即可解答；
（2）先利用二次根式、零指数幂、绝对值等知识将各项化简，再计算即可解答．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】


．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及零指数幂运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题关键．
17. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】整理方程组为一般式，再利用代入消元法求解可得．
【详解】
由①得x+1=6y③
将③代入②得：2×6y﹣y=22
解得：y=2
把y=2代入③得：x+1=12
解得：x=11
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18. 为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极加强体育锻炼，坚持做跳绳运动，跳绳可以让全身肌肉匀称有力，同时会让呼吸系统、心脏、心血管系统得到充分锻炼．学校为了了解学生的跳绳情况，在七年级随机抽取了10名男生和10名女生，测试了这些学生一分钟跳绳的个数，测试结果统计如下：

请你根据统计图提供信息，回答下列问题：
（1）所测学生一分钟跳绳个数的众数是_________，中位数是___________；
（2）求这20名学生一分钟跳绳个数的平均数；
（3）若该校七年级共有学生960人，若一分钟跳绳个数在160个以上（含160）为优秀，则该校七年级学生跳绳成绩优秀的大约有多少人？
【答案】（1）160个；160个；（2）155个；（3）576人
【解析】
【分析】（1）根据统计图即可求得所测学生一分钟跳绳个数众数以及中位数；
（2）根据平均数的计算公式计算即可；
（3）先算出一分钟跳绳个数在160个及以上的人在抽取的20个学生中所占的百分比，则可算出该校七年级学生跳绳成绩优秀的人数．
【详解】（1）由统计图知，一分钟跳绳160个的学生人数最多，所以所测学生一分钟跳绳个数的众数是160个；由统计图得，把20个学生一分钟的跳绳成绩按从小到大的顺序排列，则正中间的第10和11个数，这两个数都是160,所以中位数为160个；
故答案为：160个；160个
（2）这20名学生一分钟跳绳个数的平均数为：
（个）
（3）一分钟跳绳个数在160个及以上的人在抽取的20个学生中所占的百分比为：
则该校七年级学生跳绳成绩优秀的大约有：（人）
【点睛】本题考查了统计图，反映一组数据集中趋势的众数、中位数和平均数，用样本估计总体等知识，关键是读懂统计图，掌握众数、中位数和平均数的概念．
19. 小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．

（1）小带行驶的速度是每小时___________千米；
（2）小路的车出发后___________小时追上小带的车；
（3）当小带和小路的车相距50千米时，t=___________．
【答案】（1）60 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）由函数图象上点含义可得小带的速度为每小时千米，从而可得答案；
（2）先求解两个函数的解析式，由函数值相等建立方程，从而可得答案；
（3）分三种情况讨论，当时，利用一次函数的性质可得答案，当时，利用路程除以时间及一元一次方程可得答案．
【小问1详解】
解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，
小带行驶的时间为5小时，
而小路是在小带出发1小时后出发的，且用时3小时，即比小带早小带到1小时，
∴小带的速度为每小时：（千米）
【小问2详解】
设小带车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
∴，小带行驶的速度是每小时60千米．
设小路车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得 ，
解得：，
∴，
令，可得：，解得：，
即小带、小路两直线的交点横坐标为，
此时小路出发时间为小时，即小路车出发小时后追上小带车，
【小问3详解】
当时，令，
可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
当时，当时，此时小路还没出发，满足条件；
当时，小路到达B城后，
∴
∴
综上可知当t的值为 或或或时，两车相距50千米，
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是小带车所用的时间．
20. 如图， ．

（1）猜想与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分于点，求的度数．
【答案】（1） ，见解析
（2）51°
【解析】
【分析】（1）要证，只需证，而由可得，结合，依等角的补角相等这一性质可得．
（2）由角平分线的定义可得，由得，由三角形外角的性质得，最后根据便可得．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能够正确掌握角平分线的定义，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21. 阅读下列两段材料，回答问题：
材料一：点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（，）．例如，点（1，5），（3，﹣1）的中点坐标为（，），即（2，2）．
材料二：如图1，正比例函数l1：y＝k1x和l2：y＝k2x的图象相互垂直，分别在l1和l2上取点A，B，使得AO＝BO．分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D．显然，△AOC≌△OBD．设OC＝BD＝a，AC＝OD＝b，则A（﹣a，b），B（b，a）．于是k1＝﹣，k2＝，所以k1•k2的值为一个常数．一般地，一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2可分别由正比例函数l1，l2平移得到．
所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2的图象相互垂直，则k1•k2的值为一个常数．

（1）在材料二中，k1•k2＝　 （写出这个常数具体的值）；
（2）如图2，在矩形OBAC中A（4，2），点D是OA中点，用两段材料的结论，求点D的坐标和OA的垂直平分线l的解析式；
（3）若点C′与点C关于OA对称，用两段材料的结论，求点C′的坐标．
【答案】（1）﹣1；（2）点D的坐标为（2，1），OA的垂直平分线l的解析式为y＝﹣2x+5；（3）点C′的坐标为（，﹣）．
【解析】
【分析】（1）将，的值相乘，即可得出结论；
（2）由点，的坐标可求出其中点的坐标，由点的坐标可得出直线的解析式，由（1）的结论可设直线的解析式为，代入点的坐标即可求出直线的解析式；
（3）由矩形的性质可得出点的坐标，由（1）的结论可设直线的解析式为，代入点的坐标可求出直线的解析式，联立直线和的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，再由点为线段的中点可求出点的坐标．
【详解】解：（1），，
．
故答案为：；
（2）点的坐标为，点的坐标为，点是中点，
点的坐标为．
点的坐标为，
直线的解析式为．
直线直线，
设直线的解析式为．
直线过点，
，解得：，
的垂直平分线的解析式为；
（3）点的坐标为，四边形为矩形，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，
，即直线的解析式为．
联立直线和的解析式成方程组，得：，
解得：，
点的坐标为，，
点为线段的中点，
点的坐标为，，即，．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）将，的值相乘；（2）利用中点坐标公式求出点的坐标；（3）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点的坐标．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于点C，点D与点B关于x轴对称，连接交直线于点E．

（1）求直线的解析式；
（2）在x轴上存在一点P，使得的和最小，并求出其最小值；
（3）当时，点Q为y轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）
（3）点的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）分别计算、的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式；
（3）根据轴对称的最短路径先确认的位置：连接交轴于，此时，最小，即是的长，利用勾股定理可计算的长，最后将其配方后，根据二次函数的最值可得结论；
（4）存在三种情况：分别以、、三个顶点为直角顶点，画图可得的坐标．
【小问1详解】
直线交轴于点，交轴于点，
令，得，
∴，
令，，
，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
，
直线的解析式为；
【小问2详解】
如图2，

点与点关于轴对称，
当时，的值最小，即，
，，
，
，
，
；
则的和最小为；
【小问3详解】
设交x轴于点F，
∵直线的解析式为，点E横坐标为a，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
，
设，，
为等腰直角三角形时，存在以下三种情况：
①当为直角顶点时，如图3，

，
则，，
，
；
②当为直角顶点时，如图3，同理得；

③当为直角顶点时，如图4，此时与重合，

综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了轴对称的最短路径问题，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标的求法的运用，解题的关键是正确画图，学会利用数形结合和分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．