精品解析：广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

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2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（以下各题只有一项正确答案，请将答题卡对应选项涂黑．每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 3.1415926 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数和无理数的定义直接求解，无限不循环小数是无理数．
【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、 3.1415926是有理数，故本选项不符合题意；
D、是有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数和无理数的判断，熟练掌握有理数和无理数的概念是解答此题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】A、不能计算，故错误；
B、，正确；
C、3+2不能计算，故错误；
D、，故错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
3. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点M，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可．
【详解】设点M的坐标为（，），
∵点M到轴的距离为，
∴，
∴，
∵点M到轴的距离为，
∴，
∴，
∵点M在第四象限内，
∴，，
即点M的坐标为（，）
故选：D
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点．
4. 已知点P（x，y），且，则点P在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】解：



点在第四象限
故选D
5. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x-2≥0且x−3≠0，
解得且．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
6. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A. a2+b2=c2 B. a=5，b=12，c=13 C. ∠A=∠B+∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、a2+b2=c2，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符号要求；
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
7. 若点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，则m、n的值为（　　）
A. m＝1，n＝﹣1 B.
C. m＝﹣5，n＝7 D.
【答案】C
【解析】
【分析】让两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数列式求值即可．
【详解】解：∵点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，
∴2m+3+n＝0，2﹣m＝n，
解得：m＝﹣5，n＝7，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8. 如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（ ）


A. 49cm B. 50cm C. 54cm D. 64cm
【答案】B
【解析】
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，


则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长．
∵圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，
∴AB2=142+482=196+2304=2500，
∴AB=50（cm）．
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，解题关键是把圆柱的侧面展开成矩形，化曲面为平面，用勾股定理解决．
9. 一次函数与，它们在同一坐标系内的图像可能为( )

A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，有由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，
【详解】解：A、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；一次函数y=kbx的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立；
B、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0，与次函数y=kbx的图象可知kb＞0，矛盾；
C、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＜0，即kb＜0，与次函数y=kbx的图象可知kb＞0，矛盾；
D、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y=kbx的图象可知kb＜0，矛盾．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解答的关键．
10. 如图，平行于x轴的直线l与y轴、直线y=3x、直线y=x分别交于点A、B、C．则下列结论正确的个数有（ ）
①∠AOB+∠BOC=45°；②BC=2AB；③OB2=10AB2；④OC2=OB2．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由直线y=x得出∠AOC=45°，得出①正确；由直线y=3x和y=x得出OA=3AB，OA=AC，因此AC=3AB，BC=2AB，得出②正确；由勾股定理得出③正确，④不正确；即可得出结论．
【详解】解：∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
即∠AOB+∠BOC=45°，
∴①正确；
∵平行于x轴的直线l与直线y=3x、直线y=x分别交于点B、C，
∴OA=3AB，OA=AC，
∴AC=3AB，
∴BC=2AB，
∴②正确；
∵OB2=AB2+OA2=AB2+（3AB）2=10AB2，
∴③正确；
∵OC2=OA2+AC2=（3AB）2+（3AB2）=18AB2=OB2=OB2，
∴④不正确；
结论正确的有3个，
故选：C．
【点睛】考点：两条直线相交或平行问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若的值在两个整数与之间，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数，进而得出答案．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
12. 若函数是关于x的一次函数，则____________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据一次函数自变量的次数为1，比例系数不为0求解即可．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
∴且，
解得，，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题关键是明确一次函数比例系数不为0这一限制条件．
13. 如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是-1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______．

【答案】1
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出点E表示的实数．
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得：
AC＝＝
∵点A在数轴上对应的数是-1，
∴点E表示的实数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，解题的关键是勾股定理得出AC的长．
14. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为__．
【答案】2
【解析】
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：※※


，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15. 如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．

【答案】（﹣6，0）或（，0）．
【解析】
【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
根据勾股定理可得AB＝=5，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，

设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
∴m＝﹣6；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，

设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+22，
∴m＝；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），
故答案为：（﹣6，0）或（，0）．
【点睛】此题考查是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
三、解答题（第16题6分、第17题6分、第18题8分、第19题8分、第20题8分、第21题10分、第22题10分，共55分）
16. 计算：
（1）（﹣）﹣（﹣）；
（2）（）（）+（）2．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式、去括号，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】（1）原式，
；
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法、平方差公式、完全平方公式，熟记运算法则和公式是解题关键．
17. （1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
（2）已知，其中x是整数，且，求的算术平方根．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）利用算术平方根，立方根定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值；
（2）根据题意，利用无理数估算的方法求出x与y的值，即可求出x−y＋的算术平方根的值．
【详解】解：（1）∵2a＋1的算术平方根是3，3a−b−1的立方根是2，
∴2a＋1＝9，3a−b−1＝8，
解得：a＝4，b＝3，
则原式＝＝4；
（2）解：∵10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，1＜＜2，
∴x＝11，y＝10＋−11＝−1，
则x−y＋＝11−＋1＋＝12，
∴x−y＋的算术平方根是2．
【点睛】此题考查了实数的运算、无理数的估算和算术平方根、立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．

（1）在图中画出，的面积是______________；
（2）若点P与点C关于x轴对称，则点P的坐标为_____________；
（3）已知Q为y轴上一点，若的面积为8，求点Q的坐标．
【答案】（1）4；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于x轴对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【详解】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4；
故答案：4；

（2）点P与点C关于x轴对称，则点P的坐标为：；
故答案为：；
（3）∵Q为y轴上一点，△ACQ的面积为8，
∴AQ•4＝8
∴AQ＝4，
故Q点坐标为：（0，5）或（0，−3）．
【点睛】此题主要考查了三角形面积求法以及关于x轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
19. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x吨时，应交水费y元．
（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；
（2）小颖家四月份、五月份分别交水费456元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
【答案】（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y=2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2.8x﹣16；（2）小颖家五月份比四月份节约用水3吨．
【解析】
【分析】（1）因为月用水量不超过20吨时，按2元/吨计费，所以当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y=2x；因为月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按2元/吨收费，超过部分按2.8元/吨计费，所以当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.8（x-20），即y=2.6x-12；
（2）由题意可得：因为五月份缴费金额不超过40元，所以用y=2x计算用水量；四月份缴费金额超过40元，所以用y=2.8x-16计算用水量，进一步得出结果即可．
【详解】解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y=2x；
当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.8（x-20）=2.8x-16；
（2）因为小颖家五月份的水费都不超过40元，四月份的水费超过40元，
所以把y=38代入y=2x中，得x=19；
把y=45.6代入y=2.8x-16中，得x=22．
所以22-19=3吨．
答：小颖家五月份比四月份节约用水3吨．
【点睛】一次函数的应用．
20. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在处．

（1）若，求．
（2）若点恰好在矩形的对角线上，求的长．
【答案】（1）20°；（2）3
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝∠B＝90°，再由折叠的性质得∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，则∠BEA＝∠B′EA＝55°，得∠BAE＝35°，则∠BAB′＝70°，即可求解；
（2）由折叠性质得BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，设BE＝B′E＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，再在Rt△CB′E中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠的性质得：∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠CEB′＝70°，
∴∠BEB′＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BEA＝∠B′EA＝×110°＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BAB′＝2×35°＝70°，
∴∠DAB′＝∠BAD﹣∠BAB′＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°；
（2）点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，如图1所示：

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，
∴B′C＝AC﹣AB′＝10﹣6＝4，∠CB′E＝90°，
设BE＝B′E＝x，
则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△CB′E中，由勾股定理得：CE2＝B′E2+B′C2，
即：（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
21. “低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程米与时间分钟的关系如图，请结合图象，解答下列问题：

______，______，______；
若小军的速度是120米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
在的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
【答案】（1）10；15；200；（2）750米；（3）2.5分钟和5分钟.
【解析】
【分析】（1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度=路程÷时间，即可求出m的值；
（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x的值，用其减去15即可得出结论；
【详解】解：（1）1500÷150=10（分钟），
10+5=15（分钟），
（3000-1500）÷（22.5-15）=200（米/分）．
故答案为：10；15；200．
（2）根据题意可得：线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200（x-15）=200x-1500；

线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x．
联立两函数解析式成方程组， ，
解得：，
∴3000-2250=750（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）根据题意得：|200x-1500-120x|=100，
解得：x1==17.5，x2=20，
17.5-15=2.5（分钟），20-15=5（分钟）．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，2.5分钟和5分钟时与小军相距100米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式；（3）结合（2）找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．

（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(4，4)；（2）(4，0)或(8，0) 或(，0) 或(，0) ；（3）存在，理由见解析，M（8，−4）或（0，12）
【解析】
【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标；
（2）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三种情况进行讨论；
（3）分两种情况讨论：当M在x轴下方时；当M在x轴上方时.把△MOC的面积是△AOC面积的2倍的数量关系转化为△MOA的面积与△AOC面积的数量关系即可求解.
【详解】解： (1)联立两直线解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点C的坐标为(4，4)．
(2) 如图， 分三种情况讨论：

OC为腰，当OC=P1C时，
∵C（4，4），
∴P1（8，0）；
OC为腰，当OC=OP2= OP3时，
∵C（4，4），
∴OC=，
，；
当P4C=OP4时，设P（x，0），
则x= ，
解得x=4，
∴P4（4，0）．
综上所述，P点坐标为P1（8，0），P2（，0），，P4（4，0）．
（3）当y=0时，有0=−2x+12，
解得：x=6，
∴点A的坐标为(6，0)，
∴OA=6，
∴S△OAC=× 6× 4=12．
设M（x，y），当M在x轴下方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积，，
∴，
∴y=−4，
∴，
∴x=8，
∴M（8，−4）
当M在x轴上方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，
∴
∴y=12时，
∴，
∴x=0，
∴M（0，12）
综上所述，M（8，−4）或（0，12）.
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标问题及等腰三角形的性质和判定等知识，在解答（2）、（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．