精品解析：广东省深圳市坪山区坪山中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

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坪山区坪山中学2021-2022学年第一学期八年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 计算（）2的结果是（ ）
A 16 B. ﹣16 C. 4 D. ﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的性质进行计算．
【详解】解：()2＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，，， （a≥0，b>0）．
2. 下列计算正确是（　　）
A. －＝ B. ＋＝ C. 3－＝3 D. 3＋2＝5
【答案】A
【解析】
【分析】结合选项根据二次根式的加减法的运算法则求解即可．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、≠，故本选项不符合题意；
C、3-=2≠3，故本选项不符合题意；
D、3+2≠5，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握其运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
3. 如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（-1，-1），“马”位于点（2，-1），则“兵”位于点（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系来确定位置即可得出答案．
【详解】解：如图所示：则“兵”位于（-3，2）．


故选：B．
【点睛】本题考查了坐标位置的确定，解题的关键在于建立平面直角坐标系．
4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 9，16，25 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股数定义进行分析即可．
【详解】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、82+152=172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
5. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度．则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据到轴的距离即为纵坐标的绝对值，到轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案．
【详解】解：∵点在第四象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，
∴点P的横坐标是3，纵坐标是﹣4，即点P的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，属于基础题型，熟练掌握坐标系中点的坐标符号特点是解题的关键．
6. 若点，都在直线上，则与的大小关系是　　
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据-2＜3即可得出结论．
【详解】解：，
随的增大而增大．
又点，都在直线上，，
．
故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7. 小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，则s与t的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据小刚取车的整个过程共分三个阶段：慢匀速步行，图像是坡直线，然后休息反应时间变化路程不变，再快匀速骑自行车，图像是陡直线即可．
【详解】解：小刚取车的整个过程共分三个阶段：
①徒步从家到同学家，s随时间t的增大而增大；
②在同学家逗留期间，s不变；
③骑车返回途中，速度是徒步速度的3倍，s随t的增大而增大，并且比徒步时的直线更陡；
纵观各选项，只有B选项符合，
故选B．
【点睛】本题考查图像识别，掌握图形的特征和表示的意义是解题关键．
8. 正比例函数的图象经过点，则它一定经过（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将(-2，1)代入正比例函数解析式中，解出k的值，得到正比例函数的解析式，再进行判断即可；
【详解】∵ 经过(-2，1)，
∴ 将(-2，1)代入中，
得： ，
∴ ，
∴ 函数解析式为：．
∴ 点(2，-1)在函数的图象上，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式，正确掌握知识点是解题的关键；
9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）

A. 5s时，两架无人机都上升了40m
B. 10s时，两架无人机的高度差为20m
C. 乙无人机上升的速度为8m/s
D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，函数y＝kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，则函数y＝2kx－2k的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数y＝kx(k≠0)的图象经过第二、四象限判断出k的大小，再根据一次函数的图象性质判断即可；
【详解】∵函数y＝kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，
∴，
∴，，
∴一次函数y＝2kx－2k的图象经过第一、二、四象限；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象性质，准确分析判断是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】2-=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．

12. 已知点在轴上，则点的坐标为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值，然后求解即可．
【详解】解：点在轴上，
，
解得，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记轴上点的横坐标为0是解题的关键．
13. 某校在研学旅行活动中，一名老师带领x名学生到北京中国科学技术馆参观．已知成人票每张30元，团体学生票每张15元．设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为____．
【答案】y=15x+30
【解析】
【分析】根据学生人数乘学生票价，可得学生总票价为，根据一名老师的票价为30元，可得函数关系式．
【详解】解：由题意，得：
y=15x+30，
故答案为：y=15x+30．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用了学生的票价加老师的票价等于总票价．
14. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是______________

【答案】12
【解析】
【分析】作CP⊥AB于P，根据垂线段最短可知此线段PC就是最小值，根据三角形的面积公式求出PC即可．
【详解】解：作CP⊥AB于P，如图：
由垂线段最短可知，此时PC最小，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，
解得，PC＝12，
故答案为：12．

【点睛】本题考查的是三角形的面积公式、垂线段最短．解题的关键是熟知垂线段最短的性质．
15. 如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为，点D的对应点为，若点A在上，且AB＝10，BC＝8，则AE＝________．

【答案】5
【解析】
【分析】先求出，，设，则，运用勾股定理列出关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，AB＝10，BC＝8，
∴∠D＝∠C＝∠DAB＝90°，AB＝DC＝10，AD＝BC＝8，
∵折叠，
∴，，，；
∵在中，，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：5．
【点睛】该题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理的应用等相关知识，熟练掌握矩形的性质、勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共55分）
16. 计算：
（1）×；
（2）(－)÷＋；
（3）(－3)×；
（4）(1－)2＋÷．
【答案】（1）3；（2）；（3）3；（4）3．
【解析】
【分析】（1）先算乘法，再化简，即可求解；
（2）先算括号内的和化简二次根式，然后再算除法，最后合并，即可求解；
（3）先算括号内的，再计算除法，即可求解；
（4）先算平方和除法，最后合并，即可求解．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式


；
（3）原式


；
（4）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握利用二次根式的性质化简是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO；
（2）连接AC，求S△ABC；
（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB=8？若存在，请求点P坐标．

【答案】（1）11；（2）7；（3）存在，（0，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥OA于点D，根据 S四边形ABCO=S梯形CODB＋S△ABD，利用面积公式求解即可；
（2）根据S△ABC＝S四边形ABCO-S△AOC，利用面积公式求解即可；
（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．
【详解】解：（1）如图1，过点B作BD⊥OA于点D，

∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2），
∴OC=2，OD=3，BD=4，AD=4-3=1，
∴S四边形ABCO=S梯形CODB＋S△ABD=＋=9＋2=11；
（2）如图2，连接AC，

S△ABC＝S四边形ABCO-S△AOC=11-=11-4=7；
（3）设P（m，0），则有×|m-4|×4=8，
∴m=0或8，
∴P（0，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程解决问题．
18. 一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC应为直角，工人师傅测得∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13，请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．

【答案】这个零件符合要求，理由见解析
【解析】
【分析】先根据勾股定理求AC的长，再利用勾股定理的逆定理，判断出△ABC的形状，从而判断这个零件是否符合要求．
【详解】解：这个零件符合要求，理由如下：
连接AC．

∵∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
∴AC==5，
∵AB=12，BC=13，且,
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
故这个零件符合要求．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是先求出AC的长，结合BC和AB的长可判断出△ABC的形状．
19. 如图，求：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1顶点的A1坐标________，线段CC1的长度为________；
（2）在y轴上存在一点P，使得AP＋BP的值最小，则AP＋BP的最小值为________；
（3）在x轴正半轴上存在一点M，使得S△ABM＝S△ABC，则点M的坐标为________．

【答案】（1）图见解析，A1（－3，4），CC1＝10；（2）2；（3）M（4，0）．
【解析】
【分析】（1）根据图形得： ，则点A、B、C关于y轴的对称点为，即可画出图形；
（2）连接交y轴于点P，连接BP，此时 ，则PA+PB的值最小，最小值为 的长，即可求解；
（3）过点C作CM∥AB，交x轴于点M，连接AM，BM，此时S△ABM＝S△ABC，即可求解．
【详解】解：（1）根据图形得： ，
所以点A、B、C关于y轴的对称点为，
如图所示，画出如下图形：

由图可知，A1（－3，4），CC1＝10；
（2）连接交y轴于点P，连接BP，此时 ，则PA+PB的值最小，
最小值为 ，
即AP＋BP的最小值为 ；
（3）过点C作CM∥AB，交x轴于点M，连接AM，BM，此时S△ABM＝S△ABC，
设直线AB的解析式为 ，
将点代入，得：
，解得： ，
所以直线AB的解析式为 ，
因为CM∥AB，
所以可设直线CM的解析式为 ，
因为，
所以 ，解得： ，
所以直线CM的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
所以点M（4，0）．
【点睛】本题考查作图一轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
20. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．
（1）月用电量为50度时，应交电费_______元；
（2）当x≥100时，每度电的费用是_______元；月用电量为150度时，应交电费_______元；
（3）当x≤100时，求y与x之间的函数关系式．

【答案】（1）30；（2）， 130；（3）y＝x．
【解析】
【分析】（1）当0＜x≤100时，设y＝mx（m≠0），将（100，60）代入，可得到y与x之间的函数关系式，再将x＝50代入解析式，即可求解；
（2）当x≥100时，用200-60除以200-100，即可得到每度电的费用；然后当x≥100时，设y＝kx＋b（k≠0），将（100，60），（200，200）代入，可得到y与x之间的函数关系式，即可求解；
（3）由（1）即可求解．
【详解】解：（1）当0＜x≤100时，设y＝mx（m≠0），
将（100，60）代入可得：100x＝60，解得：x＝ ，
∴当0＜x≤100时，y＝x，
当x＝50时，，
∴月用电量为50度时，应交电费30元；
（2）当x≥100时，每度电的费用是元，
当x≥100时，设y＝kx＋b（k≠0），
将（100，60），（200，200）代入可得： ，解得： ，
∴当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y＝x－80；
当x＝150时， ，即月用电量为150度时，应交电费130元；
（3）由（1）知当0＜x≤100时，y与x之间的函数关系式为y＝x．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，明确题意，准确得到函数解析式是解题的关键．
21. 平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：
设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝(a＋b＋c)，则有下列面积公式：
S＝（海伦公式）；
S＝（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形面积为_______；
（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝_______；
②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．

【答案】（1） ；（2）①14－x；②9；③84
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解；
（2）①设BD＝x，根据CD=BC-BD，即可求解；
②根据勾股定理，可得AD2＝AC2－CD2，AD2＝AB2－BD2，从而得到AC2－CD2＝AB2－BD2，即可得到方程，解出即可；
③由②以及勾股定理可得AD=12，再由三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：（1）∵三角形边长依次是5、6、7，
∴ ，
∴ ；
（2）①∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14－x；
②∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2－CD2，AD2＝AB2－BD2，
∴AC2－CD2＝AB2－BD2，
∴132－（14－x）2＝152－x2，解得：x＝9；
③由②得 ： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的化简，根据题意准确得到AD的长是解题的关键．
22. 直线AB：y＝x＋b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(－3，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB∶OC＝3∶1．
（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；
（2）在y轴上存在点P，使得以点B、C、P三点构成的三角形为等腰三角形，请直接写出点P的坐标：______________；
（3）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并求出点D的坐标．

【答案】（1）（0，3），y＝－3x＋3；（2）P（0，3－）或（0，3＋）或（0，－3）或（0，）；（3）图见解析，点D的坐标为（－4，3）或（－3，4）或（0，－1）．
【解析】
【分析】（1）由直线AB过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及OB的长度，结合OB：OC=3：1可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式；
（2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可；
（3）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑：①当△BAD≌△ABC时，由OA=OB可得出∠BAC=45°，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠BAC=45°、BD=AC=4，利用内错角相等两直线平行可得出BD∥AC，结合BD的长度即可得出点D的坐标；②当△ABD≌△ABC时，有∠BAD=∠BAC=45°、AD=AC=4，由∠DAC=∠BAD+∠BAC可得出∠DAC=90°，结合BD的长度即可得出点D的坐标；
【详解】解：（1）∵直线AB：y=x+b过点A（-3，0），
∴0=-3+b，
∴b=3．
当x=0时，y=x+b=b=3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB=3．
∵OB：OC=3：1，
∴OC=1．
∵点C在x轴正半轴，
∴点C的坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），
将B（0，3）、C（1，0）代入y=kx+c，得：
，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y=-3x+3．
（2）∵B（0，3）、C（1，0）
∴OB=3，OC=1
∴
①当BC为腰时，点P的位置有三处，(，和)如图，

当时，则有
∴P1（0，－3），
当时，
∴P2（0，3－），
当时，
∴P3（0，3＋）；
②当BC为底边时，设P4（0，m），则有

解得，
∴P4（0，），
∴点P的坐标为P（0，3－）或（0，3＋）或（0，－3）或（0，）
故答案为：P（0，3－）或（0，3＋）或（0，－3）或（0，）
（3）分在x轴上方：△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑：
如图①：

①当△BAD≌△ABC时，∵OA=OB=3，
∴∠BAC=45°．
∵△BAD≌△ABC，
∴∠ABD=∠BAC=45°，BD=AC=4，
∴BD∥AC，
∴点D的坐标为（-4，3）；
②当△ABD≌△ABC时，∠BAD=∠BAC=45°，AD=AC=4，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（-3，4）．
如图②

当△ABD≌△BCA时，BD=AC=4
∴OD=1
∴点D的坐标为（0，-1）．
综上所述，点D的坐标为（-4，3）或（-3，4）或（0，-1）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数表达式；（2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况求出点D的坐标．