2024年中考数学尖子生高分突破：第1章 有理数(教师版)

这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：第1章 有理数(教师版)，共29页。试卷主要包含了1正数和负数，观察下面一列数等内容，欢迎下载使用。
第一章有理数
1.1正数和负数
海选初战
一.选择题
1.检测4个足球，其中超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.超市出售三种品牌的月饼,袋上分別标有质量为g，g，g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A. B. C. D.
答案：D
3.一次数学达标检测以80分为标准成绩,“奋斗”小组4名学生的成绩与标准成绩的差下:分、分、分、分，他们的平均成绩为（ ）
A.78分 B.82分 C.分 D.分
答案：D
4.体育课上，全班女生进行百米测验，达标成绩为18秒.下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示用时超过18秒，“-”表示用时不到18秒，“0”表示刚好达标。这个小组女生的达标率是（ ）
+2
-0.3
0
0
+1.2
+1
-0.5
+0.4
A. B. C. D.
答案：C
5.某项科学研究以45分钟为1个时间单位,并记每天上午10时为0,10时以前记为负，10时以后记为正.例如:记为记为1等等,依此类推,上午记为（）
A. B. C. D.
答案：B
6.2路公交车从起点开始经过四站到达终点.现起点站有15人,各站上、下车人数如下:(上车为正,下车为负,例如表示该站上车7人,下车4人).车上乘客最多时有（ ）人
A.13 B.14 C.15 D.16
答案：D
二、㙋空题
7.若把95分的成绩记作+15分,那么60分的成绩记作-20分,这样记分时,某学生的成绩记作+5分,他的实际成绩是__________
答案：85分
8.规定海平面以上的高度为“+”，在一次军事训练中，一架直升机悬停在离海面80的低空，可表示为_______；一艘潜水艇潜在水下，可表示为_______，海平面的高度可表示为_____
答案：+80m；-50m；0m
9.观察下面一列数:任据你发现的规律,第2022个数是________
答案：-2022
10.一潜水艇位于水下记为-80m小时后,它又下潜了,则此时的位置应记为_____
答案：-100m
三、解答题
11.勘探小组测得7个测点的水平高度（以水平面为基准）是:-4.3，20.4，11.5，-11.6，5.0，-8.4(单位:).请你根据图1-1-1将这7个测点的水平高度填在括号里:A（ )，
B（ ），C（ ），D（ ），E（ ），F（ ），G（ ）

答案：20.4；11.5；5.0；-2.0；-8.4；-16.1；-4.3
12.悉尼、纽约与北京的时差如下表(正数表示同一时刻比北京时间早的时数,负数表示同一时刻比北京时间俛的时数):
城市
悉尼（冬令时）
纽约（夏令时）
时差/时
+2
-12
当北京6月15日23时，悉圮，纽约的时间分别是什么时间?
答案：6月16日1时；6月15日11时

13.某电动自行车厂本周计划每天生产250辆电动自行车,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划产量相比情况如下表(达到计划产量记作正数,末达到记作负数):
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
-5
+7
-3
+4
+10
-9
-25
(1)本周内每天分别生产了多少辆电动白行车?
(2)本周是否完成了周计划?
答案：（1）星期一245辆，星期二257辆，星期三247辆，星期四254辆，星期五260辆，星期六241辆，星期日225辆；（2）-5+7-3+4+10-9-25=-21，故本周未完成.
14.一种商品的标准价格是200元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±10%,想一想.
（1）诸你计算出该商品的最商价格和最低价格;
（2）如果超过标准价准记“+”,低于标准价格记“-”,该商品价格的浮动范用又可以怎样表示?
答案：（1）最高价：220，最低价：180；（2）（200±20）元
15.已知山脚的温度是,每升高100米,气温降低,山顶的温度是,那么山的高度是多少?
答案：4000米
精优演练
1.如图1-1-2,一只甲虫在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动,它从处出发去看望处的其他甲虫.规定：向上、向右走为正,向下、向左走为负.如:从到记为:;从到记为:,其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.
(1)（ ）,____(-2,____);
(2)若这只甲虫的行走路线为,请计算该甲虫走过的路程;
(3)假如这只甲虫从处出发，去看望处的甲虫，行走路线依次为,,请在图1-1-3中标出的位算.

答案：（1）（+3，+4），（-2，-1）；（2）10；（3）略
2.如图1-1-4,一只蚂蚊在网格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从柺点出发去看望格点等处的蚂蚑,规定：向上、向右走为正,向下、向左走为负.如:从到记为:,从到记为:,其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.
（1）图中,
(2)若这只蚂蚁从处去处的行走路线依次为,则点的坐标为（_______,_______)
(3)若图中另有两个柺点,且,则从到记为:

答案：（1）（+3，-1），（+1，+3）；（2）（7，3）；（3）+2，+4）
提分压轴
1.图1-1-5为某省某地的等高线示意图,图中为等高线,海拔最低的一条为80米,等高距离为20米,结合地理知识,处的海拔为______米,处的海拔为_______米,处的海拔为________米.

答案：80；100；120
2.叔叔送给聪聪一个智能小兔子,它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下,第二次就掉头向正北跳两下,第三次又掉头向正南跳三下，而且它每跳一下的距离均为20厘米.如果小兔子第一次向正南跳,那么跳完第80次后,它在起跳点的_______(填“正南”或“正北”)方向,距离起跳点________米.
答案：正北；8
3.实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用表示观测点相对观测点的高度),根据这次测量的数据,可得观测点相对观测点的高度是_______米.

A-C
C-D
E-D
F-E
G-F
B-G
90米
80米
-60米
50米
-70米
40米
答案：210

4.观察下列各式:
,
,
,

诮按上述规律,写出第2020个式子的计算结果是________.
答案：
5.用火柴棒按图1-1-6的方式摆大小不同的“"，依此规律，摆出第9个“”需火柴棒______根.

答案：29
6.图1-1-7是由火柴棒按一定规律搭成的儿何图案,则图(8)中应有_______根火柴棒

答案：144
7.图1-1-8是小田用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”,则搭10条“金鱼”需要火柴_____根.

答案：62
8.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数,规定:(1)按甲→乙→丙→丁→甲→乙⋯的顺序由甲从1开始循环报数，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,当报到50时,报数结束;(2)若报出的数为3的倍数,则该报数的同学需拍手一次.在此过程中,甲同学需要拍手的次数为_______
答案：4
9.图1-1-9中,每个图形的四个数是按相同规律填写的,根据此规律确定x的值为______

答案：370
1.2有理数
海选初战
一、选择题
1.下列说法错误的是( )
A.整数和分数统称有理数 B.正分数和负分数统称分数
C.正数和负数统称有理数 D.正整数、负整数和零统称整数
答案：C
2.下列说法中不正确的是（ ）
A.最小的自然数是1 B.最大的负整数是-1
C.没有最大的正整数 D.没有最小的负整数
答案：A
3.有理数在数轴上的对应点如图1-2-1所示,则下列各式正确的是( )

A. B. C. D.
答案：C
4.如国1-2-2,将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的原点上,纸片沿着数轴向左滚动一周,点到达了点的位置,则此时点表示的数是( )
A. B. C. D.

答案：A
5.如果,则( )
A.为0 B.为正数 C.为负数 D.为有理数
答案：A
6.下列等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
7.若,则等于（ ）
A.2 B. C.8或2 D.或
答案：C
8.有理数如图1-2-3所示,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.

答案：A
9.下列说法正确的是( )
A.一个数的绝对值等于它本身,这个数一定是正数
B.一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数
C.绝对值越大,这个数越大
D.两个负数,绝对值大的那个数反而小
答案：D
10.下列结论成立的是()
A.若,则 B.若,则或
C.若,则 D.若,则
答案：B
二、填空题
11.最大的负整数是______，最小的正整数是_______
答案：-1；1
12.已知,则的取值范围是_____
答案：x≥3
13.化简_______
答案：1
14.若,化简的结果为________
答案：4-x
15.已知,则的值是________
答案：-3
三、解答题
16.阅读:,它在数轴上的意义可以理解为:表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离为5；,它在数轴上的意义可以理解为:表示6的点与3的点之间的距离为3;
类比:,它在数轴上的意义为:表示的点____与的点_____之间的距离为______.在图1-2-4上标出这两个数并画出它们之间的距离.
归纳:在数轴上的意义为表示_______的点与______的点之间的距离.
应用:,它在数轴上的意义为表示的点_____与______的点之间的距离为1,所以的值为________

答案：9；-6；3；9；图略；a；b；a；-5；-4或-6
17.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离,并回答下列问题:
4与与与与3
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
（2）若数轴上的点表示的数为,点表示的数为-1,则与B两点间的距离可以表示为什么?
（3）结合数轴求的最小值，并求出取得最小值时x的取值范围；
（4）求满足的的取值范用.
答案：（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）|x+1|；（3）5，-3≤x≤2；
（4）x《-4，x>-1
18.若，化简.
答案：-2

19.若,求的值.
答案：分四种情况：①若a，b，c都为正数，原式=4；②若a，b，c都为负数，原式=-4；③若a，b，c中两个为正数一个为负数，原式=0；④若a，b，c一个为正数两个为负数，原式=0
精优演练
1.数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度为,若在数轴上画出一条长的线段,则线段盖住的整点个数是( )
A.2019或2020 B.2018或2019 C.2019 D.2020
答案：A
2.下列各组代数式中,互为相反数的个数有（ ）
(1)与;(2)与-;(3)与1-a;(4)-与-.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
答案：B
3.点O,A,B,C在数轴上的位置如图1-2-5,为原点,.若点所表示的数为,则点所表示的数为( )
A. B. C. D.

答案：B
4.若有理数在数轴上的位置如图1-2-6,则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.

答案：D
5.为有理数,在数轴上的位罟如图1-2-7.化简:

答案：-2a
6.若为有理数,且,求的值为_______
答案：-1
7.如图1-2-8,分別为数轴上的两点,点对应的数为点对应的数为55,现有一动点以6个单位/秒的速度从点业发,同时另一动点以4个单位/秒的速度从点出发.
(1)若点向左运动,同时点向右运动,在数轴上的点相遇,求点对应的数;
(2)若点向左运动,同时点向左运动,在数轴上的点相遇,求点对应的数;
(3)若点向左运动,同时点向右运动,当点与点之间的距离为20个单位长度时,求此时点所对应的数.

答案：（1）19；（2）-125；（3）①相遇前，11；②相遇后，27

提分压轴
1.已知且,则当取什么数时,式子|x-a|+|x-15|+|x-a-15|的值最小?
答案：当x=15时最小，最小值为15

2.阅读材料，回答问题：点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为.当两点中有一点在原点时,不妨设点在原点,如图1-2-9,.
当两点都不在原点时,
如图1-2-10,点都在原点的有边;
如图1-2-11,点都在原点的左边,;
如聂1-2-12,点A,B在原点的两边,;
综上，数轴上A，B两点之间的距离为.

（1）数轴上2和5的两点之间的距离是_____，数轴上-2和-5的两点之间的距离是____，数轴上1和-3两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果,那么为_____；
（3）当代数式取最小值时，求相应的x的取值范围.
答案：（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）-1≤x≤2

3.结合数轴与绝对值的知识和图1-2-13回答下列问题:
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______;表示-3和2两点之间的距离是_____;一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于,如果表示数和的两点之间的距离是2,那么______；
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点,使得,这些点表示的数的和是_____.
(3)当a=_______时，的值最小,最小值是_________.

答案：（1）3，5，1或-3；（2）12；（3）1，7

1.3有理数的加减法
海选初战
一、选择题
1.三个数的位置如图1-3-1,下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.

答案：C
2.已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则等于（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案：B
3.若,且,则一定是( )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
答案：B
4.若,则的值是( )
A.-12或-2 B.-2或12 C.12或2 D.2或-12
答案：C
5.绝对值大于2且小于5的所有的整数的和是( )
A.0 B.5 C.7 D.
答案：A
6.有理数在数轴上对应点的位置如图1-3-2,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.

答案：A
7.我国是最早认识负数并用于计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法,图1-3-3表示的是计算3+(-4)的过程.按照这种方法,图1-3-4表示的过程应是在计算（ ）
A. B. C. D.

答案：C
8.下列说法中正确的是( )
A.一个有理数不是正数就昰负数 B.一定是正数 C.两个数的差一定小于被减数
D.如果两个数的和是正数.那么这两个数中至少有一个正数
答案：D
二、填空题
9.甲地的海拔高度为-300米,乙地比甲地高320米,乙地的海拔高度为________米.
答案：20
10.已知,且,那么______
答案：2或0
11小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图1-3-5，判定墨迹盖住部分的整数的和是_____


答案：-4
12.计算:________

答案：-1008
13.定义:是不为1的有理数,我们把称为的差倒数,如:2的差倒数是的差倒数是.已知是的差倒数,是的差倒数,是的差倒数,...以此类推,则________
答案：
三、解答题
14.某升降机第一次上升,第二次上升,第三次下降,第四次又下降(记升降机上升为正,下降为负）.
(1)这时升降机在初始位置的上方还是下方?相距多少米?
(2)升降机共运行了多少米?
答案：（1）下方，相距2米；（2）运行22米

15.有20筐白莱,以每筐25千克为标准,超过或不足的千克数分别用正、负数来表示,记录如下:
(1)20筺白莱中,最重的一筐比最轻的一筐重多少千克?
(2)与标准重量比较,20筐白菜总计超过或不足多少千克?
(3)若白菜每千克售价元,则出售这20筺白菜可卖多少元?(结果保留整数)
与标准质量的差值/千克
-3
-2
-1.5
0
1
2.5
筺数
1
4
2
3
2
8
答案：（1）5.5；（2）超过8千克；（3）1321元

16.有一只青蛙坐在井底,井深,青蛙第一次向上爬了,又下滑了;第二次向上爬了,又下滑了;第三次向上爬了,又下滑了;第四次向上舥了,又下渦了…
(1)青蛙迫了四次后,距离井山还有多远?
(2)青蛙第四次之后,一共经过多少路程?
(3)若青蛙第五次向上爬的路程与第一次相同,问能否爬出井.
答案：（1）0.5米；（2）6.3米；（3）3，5+1.2=4.7>4，能爬出井

精优演练
1.(1)比较大小:
①；②;
③；④
(2)通过(1)中的大小比较,猜想并归纳出与的大小关系,并说明满足什么关系时,成立?
答案：（1）>，=，=，=；（2）|a+b|≤|a|+|b|；a，b同号或至少有一个为0时相等
2.在一个的方格中填写9个数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方.
(1)在图1-3-6中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方;
(2)图1-3-7的方格中填写了一些数和字母,当的值为多少时,它能构成一个三阶幻方.

答案：（1）1，-1，5，0；（2）x+y=5+8=13时，能构成

提分压轴
1.对于可以如下计算：
原式


上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，请你计算:
.
答案：


2.用分别表示加法、减法,例如:,按照以上规定,计算下列各题:
(1);
(2).
答案：（1）5；（2）1

3.两数在数轴上的位置如图1-3-8,设,试判断,所表示的数的大小.

答案：G>N>H>M
4.从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填人一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,若取前3格子中的任意两个数记作,且,那么所有的的和可以通过计算得到,其结果为_______
9


x
-6



2
……
答案：30

5.平移和翻折是初中两种重要的图形变化.
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处,先向负方向移动3个单位长度,再向正方向移动2个单位长度,这时笔尖的位置表示什么数?用算式表示以上过程及结果是_______
②一机器人从原点开始,第1次向左跳1个单位,紧接着第2次向右跳2个单位,第3次向左跳3个单位,第4次向右跳4个单位,,依此规律跳,当它跳2019次时,落在数轴上的点表示的数是______；
(2)翻折变换
①若折叠纸条,表示-1的点与表示3的点重合,则表示2019的点与表示-_______的点重合;
②若数轴上两点之间的距离为2019(在的左侧,且折痕与(1)折痕相同),且两点经折叠后重合,则点表示________,点表示_______
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为,折叠中间点表示的数为________(用含有的式子表示).
答案：（1）①(-3)+(+2)=-1，②-1010；（2）①-2017，②-1008.5，1010.5，③（a+b）


1.4有理数的乘除法
海选初战
一、选择题
1.用正负数表示气温的变化里,上升为正,下降为负,登山队攀登一座山峰,每登高,气温的变化量为,攀登后,气温（ ）
A.上升 B.下降 C.上升 D.下降
答案：D
2.如果,那么下列各式中一定正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
3.如果,且,则a-b=( )
A.3 B.3或 C. D.7或
答案：D
4.如果,则一定是( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
答案：B
5.下列说法正确的是( )
A.5个有理数相乘,当负因数为3个时,积为负
B.绝对值大于1的两个数相乘,积比这两个数都大
C.3个有理数的积为负数,则这3个有理数都为负数
D.任何有理数乘以都等于这个数的相反数
答案：D
6.下列说法中,正确的是( )
A.绝对值等于本身的数是正数 B.倒数等于本身的数是1
C.0除以任何一个数,其商为0 D.0乘以任何一个数,其积为0
答案：D
7.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
8.有理数在数轴上对应点的位置如图1-4-1,下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.

答案：B
9.点在数轴上的位置如图1-4-2,其对应的有理数分别是和.对于下列四个结论:
(1);(2);(3);(4).其中正确的是( )
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(3) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)

答案：B
二、填空题
10.在这四个数中，任意取3个数进行乘法运算，所得最大的积是_______
答案：60
11.若,则ac_____0
答案：