2024年中考数学尖子生高分突破：第4章 几何图形初步（教师版）

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第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
海选初战
一、选择题
1.笔尖在纸上快速漏动写出一个又一个字，河以说明（ ）
A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.不能确定
【答案】A
2.若一个几何体的表面展开图如图4-1-1，则这个几何体是（ ）

A.三棱柱 B.四棱柱
C.三棱锥 D.四棱锥
【答案】A
3.若图4-1-2的平面㜊伊图折盖成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则ab=（ ）
A.3 B.
C. D.2
【答案】B
4.下列四个图形是羊4-1-3正方体的展开图的是（ ）

【答案】A
5.如图4-1-4，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于䟽忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有（ ）种画法.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
6.一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则这个圆标的休积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7.用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的是（ ）
(1)长方体 (2)圆锥 (3)三棱锥 (4)圆锥 (5)球体
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(5) D.(1)(3)
【答案】B
二、填空题
8.如图4-1-5，汽车的雨刮器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象，抽象成数学事实是 .
【答案】线动成面
9.已知长方形的长为、宽为，现将这个长方形绕它的一边所在直线旋转一周，则所得到的几何体的体积为 .
【答案】或
10.图4-1-6的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，.依此规律，则第个几何体的表面积是 个平方单位.

【答案】1260
三、解答题
11.如图4-1-7，图①图④都是平面图形.

(1)每个图中各有多少个顶点?多少条边?这些边围出多少个区域?请将结果填入表格中.

(2)根据(1)中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系.
【答案】（1）


（2）由（1）中的结论得：边数-顶点数+1=区域数



12.图4-1-8是一张铁皮.
（1）计算该铁皮的面积;
（2）它能否做成一个长方体盒子?若能，画出长方体盒子的立体图形，并计算其体积;若不能，说明理由.

【答案】 (1) (1×3+1×2+2×3) ×2=22 (平方米) .答:该铁皮的面积为22平方米.
(2)能做成一个长方体的盒子，如图答4-1-2.体积为: 3×1×2=6 (立方米) .



精优演练
1.图4-1-9的三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形.
(1)这个三棱柱有_ __条棱，有__ _个面;
(2)图4-1-10方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全;
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开 条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为 .
【答案】 (1) 这个三校柱有9条棱，有5个面;故答案为: 9.5;
(2)如图答4-1-3; ( 答案不唯一)
(3) 5 31 [解析]由图答4-1-3叮知，没有剪开的棱的条数是4条。则至少需要剪开的棱
的条数是: 9-4=5 (条) .
故至少需要剪开的棱的条数是5条.需剪开棱的棱长的和的最大值为: 7×3+5×2=31 (cm)


2.图4-1-11是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆面，单位;厘米)，将它们拼成图4-1-12的新几何体，求该新几何体的体积(结果保斵.

【答案】新几何体的体积=个底面半径是2 cm.高为10 cm的圆柱体积. ×2²×10+ (×2²×10)=40+20=60 (立方厘米).







3.观察下列多面体，并把表格补充完整.

观察表中的结果，你能发现之间有什么关系吗?请写出关系式.
【答案】填表如下：

根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有π个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点.共有3u条棱；:故a，b，c之间的关系: a+c－b=2.




提分压轴
1.图4-1-13是边长为的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形(图中阴影部分)后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图4-1-14为盒子的示意图(铁片的厚度忽略不计).
(1)设剪去的小正方形的边长为，折成的长方体盒子的容积为，用只含字母的式子表示这个盒子的高为 ，底面积为 ，盒子的容积为 ;
(2)为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长之间的关系，小明列表分析:

请将表中数据补充完整，并根据表格中的数据写出当的值逐渐增大时，的值如何变化?
【答案】(1)设剪去的小正方形的边长为x (cm). 折成的长方体盒子的容积为V (cm³), 用只含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm.底面积为(20-2x)²cm².盒子的容积V为x(20-2x)²cm³.
(2) 当x=2时， V=2×(20-2×2)²=512， 当x=6时. V=6×(20 -2×6)²=384.故答案为: 512，384. 当x的值逐渐增大时，v的值先增大后减小.


2.如图4-1-15 至图4-1-17是将正方体截去一部分后得到的多面体.

（1）根据要求填写表格：


（2）猜想三个数据间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多而体材顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数.
【答案】(1) 7，9， 14， 6，8，12， 7，10， 15. (按从左到右，从上到下的顺序)
(2) f+v－e=2.
(3)∵ v=2 018. e=4 036. f+v-e=2. ∴f+2 018- 4 036=2. f=2 020,即它的面数是2 020.





3.探究:
将一个正方体表面全部涂上颜色.
(1)把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为= ， ， ， .
（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么= ， ， ， .
（3）如果将这个正方体的棱n等分（n大于3），沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，且满足2x2-x3=208，求n的值.

【答案】3. (1)把正方体的棱三等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个:有一条边在棱上的正方体有12个.两面涂色，每个面的正中间的1个只有一面涂色，共有6个； 正方体正中心处的1个小正方体各面都没有涂色。故答案为: 8， 12，6，1;
(2)把正方体的棱四等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个:一条边在棱上的正方体有24个，两面涂色；每个面的正中间的4个只有一面涂色，共有24个；正方体正中心处的8个小正方体各面都没有涂色.故x3=8. x2=24.x1=24, x0=8.故答案为: 8，24，24， 8;
(3) 2x2-x3= 208， 即2×12(n-2)-8=208， 解得n=11



直线、射线、线段
海选初战
一.选择题
1.下列几何图形与相应语言描述相符的有( )

①直线相交于点②射线与线段没有公共点③延长线段④直线经过点
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
2.下列说法正确的是( )
A.在所有的连接两点的线中，直线最短
B.线段与线段是不同的两条线段
C.如果点是线段的中点，那么
D.如果，那么点是线段的由点
【答案】C
3.若平面上两点间的距离是是平面上另一点，且，则下列说法正确的是( )
A.点在线段上 B.点在直线上
C.点在直线外 D.点可能在直线上，也可能在直线外
【答案】D
4.如图4-2-5，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制( )种车票.

A.10 B.11 C.20 D.22
【答案】C
5.下列现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上.
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【答案】B
6.如图4-2-6，，则等于( )

A. B. C. D.
【答案】A
7.如图4-2-7，是线段上的两点，若，那么与的关系是为( )

A. B. C. D.不能确定
【答案】B
8.如图4-2-8，点为线段上两点，，且，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题
9.建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上.这样做的依据是 .
【答案】两点确定一条直线
10.已知线段，点在直线上，，则 .
【答案】4cm或8cm
11.下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系:

按此规律，条直线相交，最多有 .
【答案】
12.如图4-2-9，若，且是的中点，则 cm.

【答案】6
三、解答题
13.已知图4-2-10，是线段上两点，是的中点，，求的长.


【答案】∵AC:CD: BD=2:4:3，∴设AC=2x, CD=4x, BD=3x.，∴ DB=9x，∵ BD=12，∴3x=12，∴x=4，∴AB=36∵E是AB的中点.∴BE= AB=18. ∴DE=BE- BD=18-12=6.


14.如图4-2-11，为线段上一点，为的中点，且.
(1)求的长;
(2)若点在直线上，且，求的长.


【答案】(1)∵点B为CD的中点，BD=2.∴CD=2BD=4.∵AD=9, ∴AC=AD-CD=9-4=5;
(2)若E在线段DA的延长线上，如图答4-2-1. EA=1, AD=9, ∴ED=EA+AD=1+9=10. ∵BD=2. ∴BE=ED-BD=10-2=8.若E在线段AD上，如图答4-2-2.∵EA=1，AD=9，∴ ED=AD-EA=9-1=8，∴BD=2. ∴BE=ED-BD=8-2=6. 综上所述。BE的长为8或6.


15.如图4-2-12，点在线段上，，点分别是的中点.（1）求线段的长；
（2）若点为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗?并说明理虫；
（3）若点在线段的延长线上，且满足分别为的中点，你能猜想的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?


【答案】(1) ∵M. N分別是AC, BC的中点，∴MC=AC, CN=BC，∵MN=MC+CN, AB=AC+BC，∴ MN=AB=7 cm; .
(2) MN=.∵M, N分别是AC, BC 的中点，∴MC=AC. CN=BC，又∵MN=NC+CN. AB=AC+BC，∴MN=(AC+BC)= :
(3)如图答4-2-3. ∵M. N分別是AC, BC的中点，∴MC=AC, CN=BC，∵AB=AC-BC，MN=MC-CN，∴ MN= (AC-BC)=;

(4)只要满足点C在线段AB所在直线上，点M. N分别是AC, BC的中点，那么MN就等于AB的一半. .


精优演练
1.已知三点在同一直线上，若线段，其中点为;线段，其中点为，求的长.

【答案】本题有两种情形:
当点C在线段AB上时，如图答4-2- 4，∵ AB=60，BC=20, ∴AC=AB-BC=60-20=40. 又∵ M，N分别是AB, BC的中点，∴AM=AB=30, BN=BC=10, ∴MN=AB-AM-BN=60- -30-10=20;
当点C在线段AB的延长线上时，如图4-2-5, ∵AC=AB+BC, AB=60，BC=20，∴AC=60+20=80. 又∵M. N分别是AB，BC的中点，∴AM=AB=30, BN=BC=10, ∴MN=BM+BN=30+10=40.故MN的长度是20或40.




2.如图4-2-13，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点分别是的中点.
动点分别从同时出发，点以的速度沿向有运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点?

【答案】①当0