新高考数学一轮复习讲练测专题1.3《集合与常用逻辑用语》单元测试卷（含解析）

专题1.3《集合与常用逻辑用语》单元测试卷

时间：120分钟     满分：150

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021·宁夏高三二模（文））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

直接根据交集的定义求解即可.

【详解】

集合，，

所以.

故选：A.

2．（2021·吉林高三其他模拟（文））已知全集，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题设，结合韦恩图，即可求集合B.

【详解】

由，，

∴.

故选：C.

3．（2021·全国高三月考（文））已知集合，，则中元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

化简集合，进而求交集即可.

【详解】

因为，，

所以，则中元素个数为，

故选:B.

4．（2021·山西高三一模（文））“，，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

利用充分必要条件定义判断

【详解】

当，成立 ；反之，当，推不出，故“，，”是“”的必要不充分条件

故选：B

5．（2021·辽宁高三一模）已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解不等式确定集合，然后由补集定义计算．

【详解】

由已知，所以．

故选：C．

6．（2020·全国高二课时练习）“双曲线C的方程为”是“双曲线C的渐近线方程为”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

分成充分性和必要性分别讨论

充分性：双曲线C的方程为”，能否推出“双曲线C的渐近线方程为”；

必要性：“双曲线C的渐近线方程为”，能否推出“双曲线C的方程为”

【详解】

因为“双曲线C的方程为”，可得“双曲线C的渐近线方程为”，符合双曲线的基本性质；

而“双曲线C的渐近线方程为”，则“双曲线C的方程为=m，m≠0”，

所以命题甲推出命题乙，命题乙不能说明命题甲，

说明甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

7．（2021·全国高一课时练习）若，是两个不同的平面，下列四个条件：

①存在一条直线，，；

②存在一个平面，，；

③存在两条平行直线，，，，，；

④存在两条异面直线，，，，，.

那么可以是的充分条件有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【解析】

由题意判断分析出能得出的选项，然后根据线面、面面的位置关系判断即可.

【详解】

对①.当､不平行时，不存在直线与､都垂直，，，故①正确；

对②，，，､可以相交也可以平行，②不正确；

对③，，，，，时，､位置关系不确定，③不正确；

对④，异面直线，.，

过直线作一平面，使得，则且，，所以

若直线与直线平行或重合，则，与，异面相矛盾，所以直线与直线相交

所以相交直线均与平面平行，所以可得，④正确.

故选:C.

8．（2021·全国高三专题练习）已知等比数列中，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

设等比数列的公比为，根据当时，满足，但不满足，可知充分性不成立；根据可推出且，可推出，可知必要性成立.从而可得答案.

【详解】

设等比数列的公比为，

由得得，又，∴，解得，

当且时，；

当时，；

当时，，所以充分性不成立；

由得，又，解得，所以且；

当时，成立，所以，得；

当时，成立，所以，得；所以必要性成立，

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2021·全国高一单元测试）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【解析】

利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件；

对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件；

对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件；

对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件.

故选：BCD.

10．（2021·全国高一单元测试）下列说法中正确的个数是（    ）

A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

B．命题“”是全称量词命题；

C．命题“，”是存在量词命题．

D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题；

【答案】BC

【解析】

根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.

【详解】

A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；

B中命题“”是全称量词命题,故B正确；

C中命题“,”是存在量词命题,故C正确；

D中选项中当时，即当时，方程没有实数根,因此，此命题为假命题.

故选：BC

11．（2021·广东高三其他模拟）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则或 D．若时，则或

【答案】ABC

【解析】

求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．

【详解】

，若，则，且，故A正确.

时，，故D不正确.

若，则且，解得，故B正确.

当时，，解得或，故C正确.

故选：ABC．

12．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则实数的取值范围为

B．存在，使

C．无论取何值，都有

D．的最大值为

【答案】ACD

【解析】

对于A，要使，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出的取值范围；对于B，C，由于直线过定点，而点在圆内，从而可得；对于D，设原点到直线的距离为，则，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D

【详解】

对于A，因为，所以，解得，故A正确.

对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.

对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.

故选：ACD

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2021·浙江高一期末）写出命题的否定： ___________

【答案】

【解析】

根据命题的否定的定义求解．

【详解】

命题的否定是：．

故答案为：．

14．（2021·全国高三月考（文））若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

由题意可知，命题“，使得成立”是真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围．

【详解】

若命题“，使得成立”是假命题，

则有“，使得成立”是真命题.

即，则，

又，当且仅当时取等号，故．

故答案为：

15．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设有下列四个命题：

：，；：，；

：方程有两个不相等实根；：函数的最小值是2．

则下述命题中所有真命题的序号是__________．

①；②；③；④．

【答案】①②④

【解析】

命题：构造函数，利用导数、结合任意的定义进行判断本命题的真假，

命题：利用特殊值法，结合存在的定义进行判断本命题的真假，

命题：利用一元二次方程根的判别式进行判断本命题的真假，

命题：利用特殊值法进行判断本命题的真假.

然后利用或、且、非命题的真假命题的判断方法进行判断即可.

【详解】

，，，当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，所以为真．

当时成立，所以为真．

，方程有两个不相等实根，所以为真．

当时，，所以为假．

所以，，为真，

故答案为：①②④．

16．（2020·全国高一专题练习）已知集合，集合，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________.

【答案】[1,+∞）    （0,].   

【解析】

根据集合的含义，结合充分性和必要性，数形结合解决问题.

【详解】

根据题意，集合，

其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，

集合，

其几何意义为圆x2+y2＝a2的圆周及其内部区域，

而圆x2+y2＝a2的圆心为，半径r＝a，

若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，

则正方形ABCD在圆x2+y2＝a2的内部，必有a≥1，

此时a的取值范围为[1,+∞）；

若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，

则圆x2+y2＝a2在正方形ABCD的内部，

由点到直线的距离公式可知当圆与正方形相切时候半径为.

则要满足题意，只需a≤，

此时a的取值范围为（0,]；

故答案为：[1,+∞）；（0,].

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2020·全国高一课时练习）已知U={x∈R|1<x≤7}，A={x∈R|2≤x<5}，B={x∈R|3≤x≤7}.求：

（1）A∪B；

（2）(UA)∪(UB).

【答案】（1）A∪B={x|2≤x≤7}；（2）(UA)∪(UB)={x|1<x<3或5≤x≤7}.

【解析】

（1）直接利用并集的定义求解即可

（2）先求出集合A，B的补集，再求两个集合的补集

【详解】

(1)因为A={x|2≤x<5}，B={x|3≤x≤7}，

所以A∪B={x|2≤x≤7}.

(2)因为U={x|1<x≤7}，A={x∈R|2≤x<5}，B={x∈R|3≤x≤7}.

所以UA={x|1<x<2或5≤x≤7}，UB={x|1<x<3}，

所以(UA)∪(UB)={x|1<x<3或5≤x≤7}.

18．（2021·湖北高一期末）已知集合，.

（1）若集合A为空集，求实数m的取值范围：

（2）当时，若“”是“”的必要不充分条件，求实数n的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）集合A为空集，即，计算即可得解；

（2）“”是“”的必要不充分条件，即B是A的真子集，计算即可得出结果.

【详解】

解：（1）因为集合A为空集，所以，

解得，即实数m的取值范围是.

（2）当时，，

因为，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，故实数n的取值范围是.

19．（2021·江西景德镇市·高二期末（理））命题：与的夹角为锐角，命题：实数满足.

（1）若，求的值；

（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据向量平行的坐标表示即可求解；

（2）根据命题的关系可转化为p所对应x的取值集合为q所对应x的取值集合的真子集，建立不等式求解即可.

【详解】

（1），则；

（2） 当时，，此时两向量夹角为0，

与夹角为锐角的充要条件为且与夹角不为0 ,

或 ，

故命题p为真命题，则: .

而：，

是的充分不必要条件，

即p所对应x的取值集合为q所对应x的取值集合的真子集，显然a为正数,

且满足，解得 ，

故a的取值范围为

20．（2020·全国高二单元测试）已知p：函数f(x)＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根都大于1．

（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；

（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．

【答案】（1）（5，6）；（2）m≥2．

【解析】

（1）由m＝5，得到f(x)＝（a﹣5）x，再根据指数函数的单调性求解；

（2）先根据命题为真，化简命题p，q，然后根据p为真命题是q为真命题的充分不必要条件求解.

【详解】

（1）因为m＝5，所以f(x)＝（a﹣5）x

因为p是真命题，

所以0＜a﹣5＜1，

解得5＜a＜6．

故a的取值范围是（5，6）

（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．

关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．

若q是真命题，则a﹣1＞1，解得a＞2．

因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，

所以m≥2．

21．（2021·鄂尔多斯市第一中学高一期末（理））设集合，集合，且.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）化简集合，根据列式可得结果；

（2）求出，根据中只有一个整数列式可解得结果.

【详解】

（1），

因为，所以，又，

所以，解得.

（2）因为，且中只有一个整数，

所以，解得.

22．（2021·浙江高一期末）已知集合，且．

（1）若，求m，a的值．

（2）若，求实数a组成的集合．

【答案】（1），；）（2）

【解析】

（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；

（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；

【详解】

解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得

（2）若，所以，因为，所以

当，则；

当，则；

当，则；

综上可得