新高考数学一轮复习讲练测专题2.2基本不等式及其应用（讲）（含解析）

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专题2.2   基本不等式及其应用新课程考试要求1.探索并了解基本不等式的证明过程．2. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用..核心素养培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解决实际问题3.基本不等式的综合应用【知识清单】1．重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．2．基本不等式当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．3．基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．4.常用推论（1）（）（2）（，）；（3）【考点分类剖析】考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1.（2021·山西高三二模（文））证明：；【答案】证明见解析.【解析】由不等式，令，则有，即可证得.例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【答案】见解析【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.求证:【答案】见解析【解析】证明:由基本不等式和得=当且仅当即时取等号.2.已知、、都是正数，求证：【答案】见解析【解析】∵、、都是正数∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） ∴（当且仅当时，取等号）即.考点二：利用基本不等式求最值例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（    ）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】根据基本不等式结合不等式的性质判断．【详解】因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，，A正确；，B错误；，C正确；，D正确．故选：ACD．例4.（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______．【答案】【解析】由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．【详解】因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，则，时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，所以的最小值是．故答案为：．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（   ）A．  B． C．  D．3【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.2.（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为__________.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考点三：基本不等式的实际应用例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆锥底面半径为，高为，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得，结合基本不等式求得时取得最大值，进而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥底面半径为，高为，由题意可得母线，所以圆锥的侧面积为，且，所以圆锥的体积为，则，当且仅当，即时取等号，此时.故选：D.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是       .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.考点四：基本不等式的综合运用例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.【答案】2【解析】结合的范围求出角的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得，由余弦定理得，则，所以，因为，， 所以，当且仅当时取等号，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故答案为：2例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】（1）①当即时，，不合题意；     ②当即时，，即， ∴，∴ （2）即即①当即时，解集为 ②当即时，∵，∴解集为 ③当即时，∵，所以，所以∴解集为 （3）不等式的解集为，，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，因为恒成立，所以恒成立， 设则，，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，，所以【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则： ， ，，，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.2.设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.