新高考数学一轮复习讲练测专题3.3函数的奇偶性与周期性（练）（含解析）

专题3.3  函数的奇偶性与周期性

1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

化简“”和“函数为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】

，所以，

函数为奇函数，

所以，所以.

所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.

故选：C

2．（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案

【详解】

解：由图可知，当时，，

取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，

当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,

故选：C

3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.

【详解】

A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；

B.在上单调递减，故错误；

C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；

D.因为，所以函数是偶函数，故错误；

故选： C．

4．（2021·湖南高三月考）定义函数则下列命题中正确的是（    ）

A．不是周期函数 B．是奇函数

C．的图象存在对称轴 D．是周期函数，且有最小正周期

【答案】C

【解析】

当为有理数时恒有，所以是周期函数，且无最小正周期，又因为无论是有理数还是无理数总有，所以函数为偶函数，图象关于轴对称．

【详解】

当为有理数时，，

，

任何一个有理数都是的周期，

是周期函数，且无最小正周期，

选项，错误，

若为有理数，则也为有理数，

，

若为无理数，则也为无理数，

，

综上，总有，

函数为偶函数，图象关于轴对称，

选项B错误，选项C正确，

故选：C

5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（    ）

A．若是奇函数，则的图像关于点对称

B．若对，有，则的图像关于直线对称

C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数

D．若，则的图像关于点对称

【答案】ACD

【解析】

四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.

【详解】

对A，是奇函数，故图象关于原点对称，

将的图象向右平移1个单位得的图象，

故的图象关于点（1，0）对称，正确；

对B，若对，有，

得，所以是一个周期为2的周期函数，

不能说明其图象关于直线对称，错误.；

对C，若函数的图象关于直线对称，

则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；

对D，由得，，

的图象关于（1，1）对称，正确.

故选：ACD.

6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】BC

【解析】

根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．

【详解】

由题意，解得，只有BC满足．

故选：BC．

7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是周期为的周期函数 B．是周期为的周期函数

C．为奇函数 D．为奇函数

【答案】BD

【解析】

AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断.

【详解】

因为函数的定义域为，且与都为奇函数，

所以，，

所以，，

所以，即，故B正确A错误；

因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确；

因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误.

故选：BD.

8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对，”的函数___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

分析可知函数的定义域为，且该函数为奇函数，由此可得结果.

【详解】

由题意可知，函数的定义域为，且该函数为奇函数，可取.

故答案为：（答案不唯一）.

9．（2021·全国高三二模（理））已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．

【答案】1

【解析】

根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而.

【详解】

函数关于点对称，则，

又为上的奇函数，则，

因此函数的周期为4，

因此.

故答案为：1.

10．（2021·上海高三二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．

【答案】

【解析】

通过计算可得．

【详解】

因为是奇函数，所以，

即，所以．

故答案为：．

1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为的函数的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是（    ）

A． B．

C．是周期函数 D．存在单调递增区间

【答案】C

【解析】

通过举例说明选项ABD错误；对于选项C可以证明判断得解.

【详解】

定义域为R的函数的图象沿轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，

∴的图象既有对称中心又有对称轴，但不一定具有奇偶性，例如，

由，则为奇函数，故选项A错误；

由，可得函数图象关于对称，故选项B错误；

由时，不存在单调递增区间，故选项D错误；

由已知设图象的一条对称抽为直线，一个对称中心为，且，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴的一个周期，故选项C正确.

故选：C

2．（2021·天津高三二模）已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.

【详解】

，

即：

又是定义在上的减函数

又为奇函数

，即：.

故选：B.

3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且，当时，，则f(101)+f(105)的值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【解析】

根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由求得函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．

【详解】

解：根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0，

又由x∈[0，1]时，，则有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，则有，

又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，

则，

故有f(101)+f(105)=3，

故选：A．

4．（2021·上海高三二模）若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：

①是偶函数；

②对任意的x∈R都有；

③在上单调递增；

④反函数存在且在上单调递增．

其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.

【详解】

对于①，由是上的奇函数，得，∴，所以是偶函数，故①正确；

对于②，由是上的奇函数，得，而不一定成立，所以对任意的，不一定有，故②错误；

对于③，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，且，因此，利用复合函数的单调性，知在上单调递增，故③正确.

对于④，由已知得是上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数存在且在上单调递增，故④正确；

故选：C

5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数是偶函数，是奇函数，并且当，，则下列选项正确的是（    ）

A． 在上为减函数 B．在上

C．在上为增函数 D．在上

【答案】CD

【解析】

根据题意，分析可得，结合函数的解析式可得当时函数的解析式，据此分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，函数为奇函数，则有，即，

又由为偶函数，则，则有，

即有，

当，时，，

若，则，

则，

则当时，有，则为增函数且；

故在上为增函数，且；

故选：．

6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数对任意都有成立，，则下列的点一定在函数图象上的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】ABC

【解析】

根据任意满足，得到是奇函数判断.

【详解】

因为任意满足，

所以是奇函数，

又，所以令，则，

得，

所以点，且点与也一定在的图象上，

故选：ABC．

7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．函数有2个零点 B．当时，

C．不等式的解集是 D．，都有

【答案】BCD

【解析】

根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．

【详解】

对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，则A错；

对B，设，则，则，则B对；

对C，当时，由，得；当时，由，得无解；则C对；

对D，，都有

，则D对．

故选：BCD．

8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（    ）

A．是周期函数 B．的值域是

C．在上是减函数 D．，

【答案】AC

【解析】

根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.

【详解】

由题意可知，，

可画出函数图像，如图：

可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.

故选：AC．

9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】

利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解.

【详解】

解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；

函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；

函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；

函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.

故选：CD.

10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.

【答案】7

【解析】

由题设可知的周期为2，结合已知区间的解析式及，可得两函数图象，即知图象交点个数.

【详解】

由题意知：的周期为2，当时，，

∴、的图象如下：

即与共有7个交点，

故答案为：7.

【点睛】

结论点睛：有的周期为.

1. （2020·天津高考真题）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】

由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

2.（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】

由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

3．（2020·海南省高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

4.（2018年理全国卷II）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 (   )

A.     B. 0    C. 2    D. 50

【答案】C

【解析】

因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.

5.（2019·全国高考真题（文））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

是R的偶函数，．

，

又在(0，+∞)单调递减，

∴，

，故选C．

6.（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

【答案】-3

【解析】

因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．