新高考数学一轮复习讲练测专题3.9函数的实际应用（讲）（含解析）

专题3.9  函数的实际应用

【知识清单】

1．常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).

(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).

(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).

(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).

(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).

2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

【重点总结】

解答函数应用题的一般步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③求模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

【考点分类剖析】

考点一 ：一次函数与分段函数模型

【典例1】（2021·江西南昌市·高三三模（文））某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（    ）

A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元

【答案】A

【解析】

计算第③种方案的优惠折扣，可得先以第②种方案购票张，再以第③种方案购买张可得答案.

【详解】

由第③种方案可知，，，，

，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票张：

(元)，再以第③种方案购买余下的张：(元)，

所以共需要(元).

故选：A.

【典例2】【多选题】（2021·浙江高一期末）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（    ）

A．出租车行驶，乘客需付费8元

B．出租车行驶，乘客需付费9.6元

C．出租车行驶，乘客需付费25.45元

D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用

【答案】CD

【解析】

根据题意，逐一分析各个选项，即可得答案

【详解】

对于A：出租车行驶，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；

对于B：出租车行驶，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；

对于C：出租车行驶，乘客需付费元，故C正确；

对于D：某人两次乘出租车均行驶的费用之和为元，

一次行驶的费用为25.45元，，故D正确.

故选：CD

【规律方法】

1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．

2.分段函数模型的求解策略

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．

(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．

(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．

【变式探究】

1.（2020·广东省高三其他（理））某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：

（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；

（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；

（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠.

某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：

方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；

方案二：一次性付款购买.

若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（    ）元

A．540 B．620 C．640 D．800

【答案】C

【解析】

依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，

因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；

第二次付款4850元时，

因为，所以其原来的价格为元.

所以分两次购买饲料的原价为元.

方案二：若一次性付款，则应付款为：元，

所以节省元.

故选：C

2. （2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.

【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)

【解析】

由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．

【详解】

由题意函数是上的增函数，设，，

由，解得，所以，

所以

故答案为：

注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．

【总结提升】

1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．

3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．

考点二：二次函数模型

【典例3】（北京高考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟

【答案】B

【解析】

由图形可知，三点都在函数的图象上，

所以，解得，

所以，因为，所以当时，取最大值，

故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.

【典例4】（2020·北京高三期末）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为

①第天的销售利润为__________元;

②在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是__________．

【答案】1232    5   

【解析】

①因为，，所以该天的销售利润为；

②设捐赠后的利润为元，则，

化简可得，．

令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，

，解得．

故答案为：①1232；②5．

【规律方法】

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式探究】

1. （山东省青岛市2018年春季高考二模）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.

（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；

（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】（1）（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元.

【解析】

（1）由题意得，与之间的函数关系式为：

.

（2）由题意得，；

化简得，；

解得，，（不合题意，舍去）；

因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.

（3）设利润为，则由（2）得，

；

因此当时，；

又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.

【易错提醒】

二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．

2.(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．

【答案】

【解析】(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则

y＝

(2)当0＜x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，故当x＝300时，ymax＝25 000；当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，故y＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．

考点三：指数函数模型

【典例5】（四川高考真题）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是      小时.

【答案】24

【解析】

由题意得：，所以时，.

【典例6】（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时．

A．72 B．36 C．24 D．16

【答案】A

【解析】

根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求.

【详解】

当时，；当时，，

则，整理可得，于是，

当时，．

故选：A.

【规律方法】

1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．

2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．

3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．

4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：

直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．

【变式探究】

1.（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高三其他模拟（理））基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（    ）

A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天

【答案】D

【解析】

根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．

【详解】

把，代入，可得，，

当时，，则，

两边取对数得，解得．

故选：D

2.（2019·广西高考模拟（文））一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只需要 故结果为4.

故答案为：B.

考点四：对数函数模型

【典例7】（2021·福建师大附中高三其他模拟）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：

现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解.

【详解】

由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，

令，解得.

故选：B.

【典例8】（2019年高考北京理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（    ）

A．1010.1   B．10.1

C．lg10.1     D．10−10.1

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足，

令，

则

从而.

故选A.

【总结提升】

指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧

(1与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．

【变式探究】

1.（2021·江西高三其他模拟（文））科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（    ）倍．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据给定的公式结合对数的运算性质可求两者之间的倍数关系.

【详解】

设自贡地震所散发出来的能量为，余江地震所散发出来的能量，

则，

故，故，

故选：C.

2.（2021·江苏南京市·高三三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数的10倍表示声强的声强级，单位是“分贝”，即声强的声强级是（分贝）.声音传播时，在某处听到的声强与该处到声源的距离的平方成反比，即（为常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于）的位置到声源的最大距离为（    ）

A．100米 B．150米 C．200米 D．米

【答案】B

【解析】

根据题设中的条件，列出方程，求得实数的值，再由题设中的条件，即可求解.

【详解】

由题意知，解得，

又由，可得，

根据人耳能听到的足校声强为，

所以米.

故选：B.

考点五：分式函数模型

【典例9】（2021·浙江高一期末）某工厂有旧墙一面长，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为的厂房．工程条件是：①建新墙的费用为元；②修旧墙的费用是元；③拆去旧墙，用所得的材料建新墙的费用为元．利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长：

（1）向如何利用旧墙，即为多少时建墙费用最省，最省费用是多少？

（2）由于地理位置的限制，厂房另一边长（旧墙的临边）不能超过，如何利用旧墙使总费用最省？

【答案】（1）答案见解析；（2）当（米）时，建墙费用最省.

【解析】

（1）求得总费用为，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，由此可得出结论；

（2）由已知条件可得出，利用定义证明函数在区间上的单调性，由此可得出结论.

【详解】

（1）设利用旧墙的一面的矩形边长为，则矩形的另一面边长为，

利用旧墙的一段为矩形的一面边长，则修旧墙费用为元，

将剩余的旧墙拆得所得材料建新墙的费用为元，

其余建新墙费用为元，

总费用为，

当且仅当时，即当（米）时，等号成立，

所以，当（米）时，建墙费用最省，最省费用是元；

（2）下面利用定义证明函数在区间上的单调性.

任取、且，即，

则

，

因为，则，，

，即，所以，函数在区间上单调递减，

因此，当（米）时，即厂房另一边长（旧墙的临边）为米时，建墙费用最省.

【总结提升】

分式函数模型的应用技巧

1.利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”.

2.应用“对勾函数”的单调性.

【变式探究】

（2021·上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.

（1）求的解析式；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

【答案】（1）；（2）分钟.

【解析】

(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；

(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.

【详解】

（1）由题意知，（k为常数），

因，则，

所以；

（2）由得，

即，

①当时，，当且仅当等号成立；

②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，

由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.

【易错点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.