新高考数学一轮复习讲练测专题6.3平面向量的应用（讲）（含解析）

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专题6.3 平面向量的应用
新课程考试要求
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.
考向预测
（1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
（2）正弦定理或余弦定理独立命题；
（3）正弦定理与余弦定理综合命题；
（4）与三角函数的变换结合命题；
（5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.
【知识清单】
知识点1.向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：　a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)　．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式　cosθ＝　．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点2．向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．
知识点3．正弦定理
正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B
知识点4．余弦定理
余弦定理： ， ， .
变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝
【考点分类剖析】
考点一 ：平面向量在平面几何中的应用
【典例1】（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】
由推出，由推出，则可得答案.
【详解】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知､为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点､，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）
A．36 B．60 C．72 D．108
【答案】B
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，设，
∴，；
由，得；
又，
∴，；
∴；
∴，
∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,
则扫过的三角形的面积为，
设点
∵，
∴，
∴，，
∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,
∴扫过的三角形的面积为，
∴因此和为60，
故选：B.
【典例3】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．
【答案】3
【解析】
由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案
【详解】
解：因为，
所以，
令，则，
所以，所以为上靠近的三等分点，
因为，所以∥,
所以，
所以，
故答案为：3
【总结提升】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使＝λ成立，且AB与CD无公共点．
4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ．
5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量与向量的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
【变式探究】
1．（2021·河北高一期中）已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题.
【详解】
如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，
轴建立直角坐标系，即，，，
则，.

设，则，，，
所以.
设，，
解得，，
则，
所以长度的最小值为.
故选：B
2. （2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
【答案】等腰三角形
【解析】
取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．
【详解】
取中点，连接，
则，
又，
，
，
，
；
；
的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
考点二：用向量方法探究存在性问题
【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?
【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．
【解析】[思路分析]　本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量的坐标设出，从而得到的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案．

解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，
则＝(3，－4)．
∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，
∴＝＝(1，－)，
∴M(4，)，
∴＝(4，)．
假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，
设＝λ，且0