新高考数学一轮复习讲练测专题4.3应用导数研究函数的极值、最值（讲）（含解析）

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专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值
新课程考试要求
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例2）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
（3）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
（4）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；
（5）适度关注生活中的优化问题.
【知识清单】
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【考点分类剖析】
考点一 ：函数极值的辨析
【典例1】（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
【答案】C
【解析】
先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而，从而可求出的单调区间和极值
【详解】
.令，则，
所以在上单调递减.因为，
所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极大值点为1，的极大值为
故选：C
【典例2】（2020·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增
D．函数在处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】
由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，
故选：BC．
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1x>ln2;
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