新高考数学一轮复习讲练测专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义（讲）（含解析）

专题4.1   导数的概念、运算及导数的几何意义

【知识清单】

知识点1．导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.

2．函数f(x)的导函数

称函数为f(x)的导函数．

知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1. 基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

（3）(g(x)≠0)．

 (4) 复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

知识点3．函数在处的导数几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

【考点分类剖析】

考点一  导数的计算

【典例1】（2021·河北石家庄市·高三二模）已知函数，其中，，，，为的导函数．若存在使得成立，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

令，，可将化为，由此确定的范围；根据能成立的方程可构造不等式组，解不等式组可求得，从而利用三角函数值域的求解方法可求得所求最大值.

【详解】

，可设，，

，

，

存在使得，，，

，，

当时，取得最大值.

故答案为：.

【典例2】（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））设函数，若，则______．

【答案】2

【解析】

先对求导，将代入即可求解.

【详解】

由可得，，所以，解得.

故答案为：2.

【规律方法】

1.求函数导数的一般原则如下：

(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；

(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；

(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.

2.复合函数的求导方法

求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.

①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；

②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；

③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；

④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.

【变式探究】

1. （2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数，则（    ）

A． B． C．6 D．14

【答案】C

【解析】

求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.

【详解】

，则，

则，

故选：C

2．（2021·江苏常州市·高三一模）已知函数的导函数为，则__________；若，则__________．

【答案】1；       

【解析】

求出，令可求；利用对数的运算性质对变形可求.

【详解】

解：，

，

令，得；

，

，

.

故答案为：1；.

【总结提升】

(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．

(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．

高频考点二   求曲线的切线方程

【典例3】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．

【典例4】（2021·河北高三其他模拟）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】

由奇函数的定义可得x＜0时f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．

【详解】

由是上的奇函数，

当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝，

则，可得，f（﹣1）＝0，

故在处的切线方程为y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，

故答案为：．

【规律方法】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

【变式探究】

1.（2019·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】

，

当时其值为，

故所求的切线方程为，即。

2. （2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】

根据求导法得出点处切线的斜率，再根据点的坐标，由点斜式得到该切线方程.

【详解】

，

，

，又，

所求的切线方程为，即，

故答案为：.

【易错提醒】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

高频考点三：求切点坐标

【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.

【答案】

【解析】

设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.

【详解】

设，抛物线的焦点坐标，如图，

过，，三点的圆的圆心为，

圆心的纵坐标为，设，

直线与抛物线相切于点，

导数，

即在处的切线斜率，

即的斜率，即，

即，得，即，，

，

，

即，

得，

得或（舍，

解得．

，，，，

即的坐标为，，

故答案为：，．

【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【答案】.

【解析】

设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，

即，

代入点，得，

即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

【方法总结】

已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

【变式探究】

1．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.

【答案】1

【解析】

先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.

【详解】

，则

则切线方程为，

代入原点可得：，

即，解得（负根舍去）

故答案为：1

2．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标为         ．

【答案】（1，1）

【解析】∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex.

∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.

设P(x0，y0)(x0＞0)，

∵函数的导函数为，

∴曲线在点P处的切线的斜率，

由题意知k1k2＝－1，即1·（）＝－1，

解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.

又∵点P在曲线上，

∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1).

高频考点四：求参数的值(范围)
【典例7】（2021·全国高三其他模拟（理））与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.

【详解】

因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，

设直线与曲线相切的切点，而，则，得，

即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，

设直线与曲线相切的切点P，有，由得，

从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.

故选：D

【典例8】（2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】AC

【解析】

由题可知，，

则，

可令切点的横坐标为，且，

可得切线斜率，

由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，

且可知，

则，即，

解得：，

的取值可能为，.

故选：AC.

【规律方法】

根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．

【变式探究】

1. （2018年全国卷Ⅲ理）曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】

则

所以

故答案为-3.

2.（2020·山东省泰安市模拟）若曲线在点处的切线与直线平行，则_________.

【答案】

【解析】

因为.

所以,

所以 .

因为曲线在点处的切线与直线平行,

即.

故答案为:.

考点五：切线的斜率与倾斜角

【典例9】（2021·山东济南市·高三其他模拟）函数的图像的切线斜率可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

求出函数的导数，判断出导函数的范围，即可得答案

【详解】

解：由，得，

因为，，

所以，所以函数的图像的切线斜率大于，

故选：A

【典例10】（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.

【答案】

【解析】

利用导数求得，然后利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得的值.

【详解】

，则，故，

故.

故答案为：.

【变式探究】

1．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】

先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.

【详解】

抛物线，即，则由切线斜率，

设切点，则，又，

所以切线方程为，即 ，

同理切线方程为，

两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，

故.

故选：C.

2．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．

【答案】

【解析】

设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．

【详解】

由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以

故答案为：

考点六：导数的概念

【典例11】（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数，若，则（    ）

A．36 B．12 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.

【详解】

解：根据题意，，则，则，

若，则

，

则有，即，

故选：C.

【规律方法】

1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：

①求函数的增量；

②求平均变化率；

③得导数，简记作：一差、二比、三极限.

2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数

【变式探究】

若，则（     ）

A．                B．              C．               D．

【答案】B

【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以

，选B；

法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以

（其中：），故选B.