新高考数学一轮复习讲练测专题5.6《三角函数》单元测试卷（含解析）

专题5.6   《三角函数》单元测试卷

考试时间：120分钟     满分：150

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021·北京高二学业考试）已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

求出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】

，,

因此，.

故选：B.

2．（2021·河南高一期中（文））设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据诱导公式计算出三角函数值，根据指数函数的单调性将指数的值与1进行比较，即可求得大小关系.

【详解】

，，，

，

故选：．

3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

使用排除法，结合函数的奇偶性以及代特殊值，即可得到结果.

【详解】

由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，

为奇函数，图象关于原点对称，排除，

，排除，，

故选:.

4．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意利用二倍角的余弦公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．

【详解】

，，且，即，求得（舍去），或，

，

故选：．

5．（2021·北京石景山区·高一期末）已知函数，则的最大值是（    ）

A． B．3 C． D．1

【答案】C

【解析】

利用二倍角余弦公式，结合的值域范围及二次函数的性质，即可求的最大值.

【详解】

，而，

∴.

故选：C

6．（2021·四川成都市·成都七中高一月考）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据题中角之间的关系联想二倍角公式， ，其中 ，计算可得解.

【详解】

.

故选：C

7．（2021·河南信阳市·信阳高中高一月考）点是函数（，）的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（    ）

A．的最小正周期是

B．的值为2

C．的初相为

D．在上单调递增

【答案】D

【解析】

根据是函数（，）的图象的一个对称中心，得到，，，然后再由点到该图象的对称轴的距离的最小值为，得到，，进而得到函数解析式，然后再逐项判断.

【详解】

因为是函数（，）的图象的一个对称中心，

所以，，，

又因为点到该图象的对称轴的距离的最小值为，

所以，

所以，，

所以，，

又因为，

所以，

，

故A，B，C错误，

又，，所以在上单调递增，故D正确，

故选：D.

8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由已知可得，得出，求出的减区间，可根据已知得出范围，再根据题意可得在上仅有一个最小值，可进一步求得范围，得出结果.

【详解】

的图象关于原点对称，，

即，

因为区间上是减函数，所以在是增函数，

令，解得，

又是含原点的增区间，所以令，

则，所以，又，则解得，

在上的图象与直线有且仅有一个交点，

即在上仅有一个最小值，所以在仅有一个最大值，

由正弦函数的性质，令，即，

所以有，解得，

综上可得，即的最大值为.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2021·辽宁高三其他模拟）设，函数在区间上有零点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】

由题得，令，求出解不等式得解.

【详解】

由题得，

令，解得，取k＝0，

，即．

故选：BCD

10．（2021·江苏高一月考）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

利用二倍角的正切公式判断A；利用二倍角的余弦公式判断BC；利用二倍角的正弦公式判断D.

【详解】

A中，，正确；

B中， ，不正确；

C中，，正确；

D中，，

，正确.

故选：ACD

11．（2021·山东济南市·高三其他模拟）分别对函数的图象进行如下变换：

①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来倍，得到的图象；

②先将其上各点的横坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到的图象，

以下结论正确的是（    ）

A．

B．为图象的一个对称中心

C．直线为函数图象的一条对称轴

D．的图象向右平移个单位长度可得的图象

【答案】BCD

【解析】

由三角函数平移和伸缩变换原则可求得；

由解析式不同知A错误；利用代入检验法，对应正弦函数的性质可确定BC正确；由左右平移变换后的解析式可知D正确.

【详解】

①向左平移个单位长度可得；再将横坐标变为原来倍，得到；

②横坐标变为原来倍可得；再向左平移个单位长度，得到；

对于A，两函数解析式不同，A错误；

对于B，当时，且，是的一个对称中心，B正确；

对于C，当时，，是的一条对称轴，C正确；

对于D，的图象向右平移个单位长度得：，D正确；

故选：BCD.

12．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）设，其中，，若对一切则恒成立，则以上结论正确的是（    ）

A．

B．

C．的单调递增区间是

D．存在经过点的直线与函数的图像不相交

【答案】AB

【解析】

由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，可求得，可化简函数的解析式为.计算出的值，可判断A的正误；计算、，可判断B的正误；取，利用正弦函数的单调性可判断C的正误；假设命题D正确，求出直线的方程，结合函数的最值可判断D的正误．

【详解】

由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，

可得，整理可得，即，.

.

对于命题A，，A正确；

对于命题B，，

，所以，，B正确；

对于命题C，当时，则，

当时，函数在区间上单调递减，C错误；

对于命题D，假设经过点的直线与函数的图象不相交，

则该直线与轴平行，此时该直线的方程为，则，无解，D错误

故选：AB．

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2021·贵溪市实验中学高二期末）函数的最小正周期为___________.

【答案】

【解析】

用正弦的二倍角公式化简后，再利用周期公式求解即可

【详解】

解：因为，

所以函数的最小正周期为，

故答案为：

14．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）设，向量，，若，则___________.

【答案】

【解析】

利用二倍角公式求出的值，结合以及二倍角的正切公式可求得的值.

【详解】

由已知可得，所以，，

，则，可得，

所以，，解得.

故答案为：.

15．（2021·云南昆明市·昆明一中高二期末（理））已知和，则函数的图象与的图象的对称轴之间的最短距离为______________．

【答案】

【解析】

分别求得函数和的对称轴方程，然后由平行线间的距离求解.

【详解】

的对称轴方程为：，即；

的对称轴方程为：，即；

所以函数的图象与的图象的对称轴之间的距离为，

当 时，取得最小值，

所以最短距离为.

故答案为：

16．（2021·福建厦门市·高三二模）已知函数的图象关于直线对称，若对任意，总存在，使得，则的最小值为___________，当取得最小值时，对恒成立，则的最大值为___________.

【答案】       

【解析】

由关于对称和可确定，由此确定，验证可知，当时，可求得，满足题意，则可确定最小值为；由，结合二倍角公式可求得，由此可确定的范围，进而得到的最大值.

【详解】

，又的图象关于直线对称，

在内至少有半个周期，才能满足，

，即，，

当时，的图象关于直线对称，，解得：，

，满足题意，的最小值为；

由得：，

即，，

即，，，

，解得：，

.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·北京石景山区·高一期末）已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据角的范围，结合同角的三角函数的平方关系、两角和正弦公式求值即可；

（2）由二倍角正余弦公式求、，应用两角差余弦公式求值即可.

【详解】

（1）∵，，

∴．

∴；．

（2）∵，，

∴．

18．（2021·北京高二学业考试）已知函数．

（1）写出f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间上的最小值和最大值．

【答案】（1） ；（2）最小值为，最大值为．

【解析】

（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.

【详解】

解：（1）f(x)的最小正周期为．

（2）因为，

所以．

所以函数在上单调递增，

当，即x＝0时，f(x)取得最小值；

当，即时，f(x)取得最大值．

所以f(x)在区间上的最小值为，最大值为．

19．（2021·河南商丘市·高一月考）已知，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】

（1）由余弦的二倍角公式化单角，然后凑配成关于的齐次式，再化为，代入已知可得；

（2）由同角关系求得，由两角和与差的正切公式计算，再得．

【详解】

解：（1）．

（2）因为，所以，

所以，

所以，

故．

20．（2021·云南丽江市·高一期末）已知函数.

（1）若求的值；

（2）求函数的最小正周期；及当时，函数的最值.

【答案】（1）答案见解析；（2），，.

【解析】

（1）根据同角三角函数基本关系式，求的值，再代入函数求的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，求函数的最小正周期，求得的范围后，求函数的最值.

【详解】

解：（1）因为且所以，

当时，

当时，.

（2）因为

所以，

由，得

当即

当即

21．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知，，且．

（1）求角的大小；

（2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．

【答案】（1）；（2）的值可取．

【解析】

（1）根据，结合，可得或，再根据求解；

（2）由，根据值域为，结合正弦函数的性质求解．

【详解】

（1）因为，

所以，

又，所以，

可得或，可得或，

又，所以．

（2），

，

，

当时，，

当时，，

所以由题意可得，可得，

所以即可，的值可取．

22．（2021·江苏苏州市·高一月考）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.①图象上的一个最低点为；②直线是其图象的一条对称轴；③点是其图象的一个对称中心.问题：已知函数的图象相邻两个对称中心点的距离为，且_____.

（1）求的解析式；

（2）若为锐角，且，求的值.

【答案】条件选择见解析（1）；（2） .

【解析】

（1）先化简，由题意计算出的值，若选①将最低点代入，计算出结果；若选②，是一条对称轴求得的值，即可得到结果；选③将代入求得的值，计算出结果；（2）由题意计算出和的值，即可计算出结果.

【详解】

（1）

由题意知：，则，

得：，则

选①：将最低点代入，化简求得，得：，，又，所以，

所以；

选②：，得：，

又，所以，

所以；

选③：将代入化简得，得：，

又，所以，

所以；

（2），则

因为，所以

所以

则

.