新高考数学一轮复习讲练教案4.6 三角函数图象与性质的综合问题（含解析）

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第六节　三角函数图象与性质的综合问题
三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．
题型一　三角函数图象与性质中的参数范围问题

策
略
一
针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期性等问题．一般来说：
(1)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
(2)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
(3)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
策
略
二
研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决
　　[典例]　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．9
C．7 D．5
[解题观摩]
法一：排除法
由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω.
当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
综上，ω的最大值为9.故选B.
法二：特殊值法
从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．　　
[针对训练]
1．若函数f(x)＝2sin在区间和上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，在原点附近的递增区间为[－，]，，因此解得≤x0≤.
2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　　 B．[1,2]
C. D．
解析：选B　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称， ∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又00)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．
[解]　(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin[2(x＋m)＋]＝ sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，
可得sin＝0，即sin＝0，
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)＝sin.
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．
综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
[归纳总结]
解决三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin ωx＋bcos ωx的形式．
第二步：构造f(x)＝(·sin ωx＋·cos ωx).
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中φ为辅助角)．
第四步：利用f(x)＝sin(ωx＋φ)研究三角函数的图象与性质．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．　　
[针对训练]
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．



一、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
解析：选B　函数y＝sin的周期T＝6，当x＝0时，y＝，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.
2．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0