新高考数学一轮复习课时跟踪检测（二十四）解三角形及应用举例（含解析）

课时跟踪检测（二十四）  解三角形及应用举例

一、综合练——练思维敏锐度

1．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选D　由bsin 2A＝asin B及正弦定理得2sin Bsin A·cos A＝sin Asin B，解得    cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝    cos B，因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.故选B.

3．在△ABC中，如果cos(2B＋C)＋cos C>0，那么△ABC的形状为(　　)

A．钝角三角形   B．直角三角形

C．锐角三角形  D．等腰三角形

解析：选A　∵cos(2B＋C)＋cos C

＝cos(2B＋π－A－B)＋cos(π－A－B)

＝cos[π－(A－B)]＋cos[π－(A＋B)]

＝－cos(A－B)－cos(A＋B)

＝－cos Acos B－sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B

＝－2cos Acos B>0，

∴cos Acos B<0，

又∵A，B∈(0，π)，

∴A，B中有一个锐角，一个钝角．故选A.

4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝，sin B> sin C，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)

A．2或3   B．2

C．3  D．6

解析：选C　因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝＝，由余弦定理得cos A＝＝＝，①

因为S△ABC＝bcsin A＝bc×＝2，所以bc＝6，②

将②代入①得＝，则b2＋c2＝13，③

由sin B>sin C可得b>c，

联立②③可得b＝3，c＝2.故选C.

5．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D　在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.

6.(2021·重庆调研)《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．如图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积约为(　　)

A．42 m2   B．37 m2

C．32 m2  D．84 m2

解析：选B　由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为＝45°，设三角形的腰为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以三角形的面积S＝   2sin 45°＝32·＝16(＋1)，

所以每块八卦田的面积约为：16(＋1)－×π×22≈37 m2.

7.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC＝2AD，则sin C的值为(　　)

A.　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选A　设AB＝AD＝2a，则BD＝a，则BC＝4a，所以cos∠ADB＝＝＝，所以cos∠BDC＝＝－，整理得CD2＋3aCD－10a2＝0，解得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cos C＝＝＝，而C∈，故sin C＝.故选A.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.

解析：由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝6＋－＝，所以b＝.

答案：

9．(2021·恩施质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．

解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.

答案：4＋4

10．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.

解析：如图，易知sin C＝，sin A＝，cos A＝.

在△BDC中，由正弦定理可得

＝，

∴BD＝＝＝.

∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos 45°cos A＋sin 45°sin A＝×＋×＝.

答案：　

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.

(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面积S＝10，请指出这三个条件，并说明理由；

(2)若a＝3，求△ABC周长l的取值范围．

解：∵＝，

∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin Bcos A＋sin Ccos A，

即sin Acos B－sin Bcos A＝sin Ccos A－cos Csin A，

∴sin(A－B)＝sin(C－A)，

∵A，B，C∈(0，π)，∴A－B＝C－A，

即2A＝B＋C，∴A＝.

(1)△ABC还同时满足①③④.

理由如下：若△ABC同时满足条件①②，

则由正弦定理得sin B＝＝>1，这不可能．

∴△ABC不能同时满足条件①②，

∴△ABC同时满足③④，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝b×8×＝10，解得b＝5，与②矛盾．

∴△ABC还同时满足条件①③④.

(2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，

∵C＝－B，∴b＝2sin B，c＝2sin，

∴l＝a＋b＋c＝2＋3

＝6＋3＝6sin＋3.

∵B∈，∴B＋∈，

∴sin∈，

∴△ABC周长l的取值范围为(6,9]．

12．(2021·济宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin A＋cos A＝0.有三个条件：①a＝1；②b＝；③S△ABC＝.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并解答下面两个问题：

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解：(1)因为sin A＋cos A＝0，

所以tan A＋1＝0，得tan A＝－，

因为0＜A＜π，所以A＝，A为钝角，与a＝1＜b＝矛盾，

故①②中仅有一个正确，③正确．

显然S△ABC＝bcsin A＝，得bc＝.

当①③正确时，由a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝－2(无解)；

当②③正确时，由于bc＝，b＝，得c＝1.

(2)如图，因为A＝，∠CAD＝，则∠BAD＝，

则＝＝，

所以S△ABD＝S△ABC＝×＝.

二、自选练——练高考区分度

1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)

A．(3,6]   B．(3,5)

C．(5,6]  D．[5,6]

解析：选C　由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cos A＝＝，又A∈，∴A＝.∵＝＝＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，即2B－∈，∴<sin≤1，∴5<b2＋c2≤6.故选C.

2．(多选)(2021·山东全真模拟)四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，下列结论正确的有(　　)

A．四边形ABCD为梯形

B．圆O的直径为7

C．四边形ABCD的面积为

D．△ABD的三边长度可以构成一个等差数列

解析：选ACD　如图所示．

∵AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，

∴∠BAD＝120°，连接BD，AC.

则∠BCA＝∠CAD，∴BC∥DA，

显然AB不平行于CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确．

在△BAD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，

∴BD2＝52＋32－2×5×3cos 120°＝49，∴BD＝7，

∴圆的直径不可能是7，故B错误．

在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos∠BCD，

∴72＝CB2＋52－2×5×CBcos 60°，

解得CB＝8或CB＝－3(舍去)，

∵S△BAD＝AB·ADsin 120°＝×5×3×＝，

S△BCD＝CB·CDsin 60°＝×8×5×＝10，

∴S四边形ABCD＝S△BAD＋S△BCD＝＋10＝，

故C正确．

在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB，∴△ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确，故选A、C、D.

3．在△ABC中，BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．

解析：∵BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，

∴在△ABC中，由正弦定理得＝，

即＝＝，

解得cos∠B＝，可得sin∠B＝，

∴cos∠BAC＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－，

sin∠BAC＝ ＝.

∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin＝－cos∠BAC＝，可得cos∠BAD＝，

∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)＝×＋×＝.

在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，

∴32＝AB2＋(2)2－2AB×2×，

解得AB＝1或3.

当AB＝AC＝3时，

由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝∠BAC＝，

∴BC＝＝3，与BC＝2矛盾，∴AB＝1.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴AD＝＝，

∴S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×1××＝.

答案：　

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝sin B，且b＝c.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．

解：(1)由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b，

结合b＝c，由余弦定理得cos A＝＝＝－，

∵A∈(0，π)，∴A＝π.

(2)由(1)及题意知B＝C＝.

又a＝2，a＝b，∴b＝c＝2，即AB＝2.

如图，在△ABD中，由正弦定理得＝，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，

又∠A＝π，∴∠ADB＝，

∴AD＝＝－1，

∴S△ABD＝×AB×AD×sin π

＝×2×(－1)×＝.