新高考数学一轮复习课时跟踪检测（十）对数与对数函数（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课时跟踪检测（十）对数与对数函数（含解析），共8页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度，自选练——练高考区分度等内容，欢迎下载使用。

课时跟踪检测（十） 对数与对数函数
一、基础练——练手感熟练度
1．log29·log32＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选B　原式＝2log23×log32＋loga＝2×1＋logaa＝3.
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．[1,2] B．[1,2)
C. D．
解析：选D　由log(2x－1)≥0⇒0<2x－1≤1⇒ 3．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
解析：选A　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.
4．(多选)已知函数f(x)＝log，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为(0，＋∞)
B．f(x)的值域为[－1，＋∞)
C．f(x)是奇函数
D．f(x)在(0,1)上单调递增
解析：选AD　由题知f(x)＝log，则x＋>0且x≠0，解得x>0，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，故A正确；因为x＋≥2，所以f(x)≤－1，故B错误；因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不是奇函数，故C错误；当x∈(0,1)时，y＝x＋单调递减，y＝logx也单调递减，故f(x)在(0,1)上单调递增，故D正确．故选A、D.
5．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.
答案：x
6．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)　(－1，＋∞)
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数f(x)＝lg(＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f＝(　　)
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选A　由函数f(x)的解析式可得：
f(x)＋f(－x)＝lg(＋2x)＋2＋lg(－2x)＋2＝lg(1＋4x2－4x2)＋4＝4，
∴f(ln 2)＋f＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝4.故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
解析：选ABC　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
3．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
解析：选A　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－x＜2y－y.
设f(x)＝2x－x，则f(x)＜f(y)．
因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，
所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，
则由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y－x＞0，
所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故选A.
4．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1) C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析：选A　由已知得0f(2)．
5．(多选)(2021·青岛模拟)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么(　　)
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选AD　由|x－1|＞0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选A、D.
6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了(　　)
A．10% B．30%
C．50% D．100%
解析：选A　将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了＝≈≈10%，故选A.
7．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x－x2)的单调递增区间为________．
解析：由题意得f(x)＝ln x(x>0)．
则f(4x－x2)＝ln(4x－x2)，0 若求f(4x－x2)的单调递增区间，就是求y＝4x－x2,0 答案：(0,2)
9．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得11在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，解得a>4，且0 答案：
10．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．

解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)在[－2,0]上单调递减，∴无解；当0 答案：　[－1，＋∞)
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝log (－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以当x<0时，f(x)＝log (－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0<|x2－1|<4，解得－ 又x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，
所以x∈(－，)．
12．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0，
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x)min＝f(2)＝lg .
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故当a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．
三、自选练——练高考区分度
1．已知正实数a，b，c满足a＝log2a，b＝log2b，c＝logc，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．b 解析：选B　因为c＝logc，所以－c＝log2c.又a＝log2a，b＝log2b，所以a，b，c分别为y＝x，y＝x，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图，由图可知c
2．(多选)已知函数f(x)＝log(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中错误的是(　　)
A．函数f(x)的定义域是[－4,2]
B．函数y＝f(x－1)是偶函数
C．函数f(x)在区间[－1,2)上是减函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选ACD　函数f(x)＝log (2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)(x＋4)，由2－x＞0，x＋4＞0可得－4＜x＜2，故函数的定义域为(－4,2)，A错误；y＝f(x－1)＝－log2(3－x)(x＋3)的定义域为(－3,3)，且f(－x－1)＝f(x－1)，即y＝f(x－1)是偶函数，B正确；f(x)＝－log2(2－x)(x＋4)＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝log [－(x＋1)2＋9]，当x∈[－1,2)时，t＝－(x＋1)2＋9是减函数，外层y＝logt也是减函数，所以函数f(x)在区间[－1,2)上是增函数，故C错误；由f(2－x)＝－log2(6x－x2)≠f(x)，可得f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故D错误．
3．如图所示，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x， y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．

解析：因为点A的纵坐标为2，所以令logx＝2，解得点A的横坐标为，故xD＝.令x＝2，解得x＝4，故xC＝4.所以yC＝4＝，故yD＝，所以D.
答案：
4．已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析：因为f(x)＝|log3x|＝
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得
则所以0＜m2＜m＜1，
则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，
所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，
则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，
解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9