新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四）基本不等式（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四）基本不等式（含解析），共7页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度，自选练——练高考区分度等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（四）  基本不等式一、基础练——练手感熟练度1．(2021·豫北重点中学联考)设a>0，则a＋的最小值为(　　)A．2　　　　　　　 B．2C．4  D．5解析：选D　a＋＝a＋1＋≥1＋2 ＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.2．设x为实数，则“x<0”是“x＋≤－2”的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：选C　若x<0，则－x>0，x＋＝－(－x)＋≤－2，∴“x<0”是“x＋≤－2”的充分条件；若x＋≤－2，则≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋≤－2”的充要条件．故选C.3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)A．y＝x＋B．y＝sin x＋C．y＝D．y＝ex＋－2解析：选D　对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意．对于选项C，函数的关系式转化为y＝＝＋≥，故C不合题意．故选D.4．(多选)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)A．ab有最大值   B.＋有最小值C.＋有最小值4  D．a2＋b2有最小值解析：选AC　∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴ab有最大值，∴A正确．∵(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋2×＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴＋≤，即＋有最大值，B错误．∵＋＝≥＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴＋有最小值4，∴C正确．∵a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误，故选A、C.5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　)A．9 cm2  B．16 cm2C．4 cm2  D．5 cm2解析：选C　设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.6．若x>1，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：5二、综合练——练思维敏锐度1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)A．[0,2]  B．[－2,0]C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]解析：选D　由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)A．2  B．4C．6  D．8解析：选B　法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.3．已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　)A．16  B．9C．5  D．4解析：选A　∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A.4．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)A．1  B．3C．6  D．12解析：选B　∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥ 2 ＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．故选B.5．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)A．7＋2  B．6＋2C．7＋4  D．6＋4解析：选C　由题意得＝，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1(a>0，b>0)．∴a＋b＝(a＋b)＝4＋3＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当a＝2b时取等号．故选C.6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)A.   B.C．8  D．24解析：选C　因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)＝12＋＋≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)A．2  B．2＋C．4  D．2＋2解析：选D　因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，所以＋的最小值为2＋2.8．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．[3，＋∞)  B．(－∞，3]C．(－∞，6]  D．[6，＋∞)解析：选D　因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，令f(x)＝x2－4x－2，则f(x)＝(x－2)2－6，所以f(x)的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.9．实数x，y满足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋有(　　)A．最大值9  B．最大值18C．最小值9  D．最小值18解析：选C　根据|x＋y|＋|x－y|＝2，可得点(x，y)满足的图形是以A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，D(1，－1)为顶点的正方形，可知x＝1，y＝1时，z＝4ax＋by取得最大值，故4a＋b＝1，所以＋＝(4a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故＋有最小值9.故选C.10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝(a·2b)≤2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故ab的最大值是.答案：11．若关于x的不等式x＋≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：∵x＋＝x－a＋＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.则(x－a)＋≥2 ＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，又∵x－a＋≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.答案：112．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是__________．解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3.设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是.答案：13．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋＋.当x＜时，有3－2x＞0，∴＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝＝·≤ ·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100].(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．三、自选练——练高考区分度1．已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为(　　)A．16  B．8C．12  D．14解析：选B　由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，∴图象恒过定点A(－3，－1)．∵直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，∴＋＝2，即＋＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)＝＋＋＋≥2 ＋5＝8(当且仅当n＝m＝2时，取等号)，∴3m＋n的最小值为8.2．若实数x，y满足x2y2＋x2＋y2＝8，则x2＋y2的取值范围为(　　)A．[4,8]  B．[8，＋∞)C．[2,8]  D．[2,4]解析：选A　∵x2y2≤，∴x2y2＋x2＋y2＝8≤＋(x2＋y2)(x2＝y2＝2时取等号)，(x2＋y2－4)(x2＋y2＋8)≥0，∴x2＋y2≥4，又x2y2≥0，∴x2＋y2≤8，∴x2＋y2∈[4,8]．3.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD＝x(x≥10)，ED＝y，使用x表示y的函数关系式；(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．解：(1)∵△ABC的边长是20米，D在AB上，则10≤x≤20，S△ADE＝S△ABC，∴x·AEsin 60°＝··202，故AE＝.在△ADE中，由余弦定理得，y＝ (10≤x≤20)．(2)若DE作为输水管道，则需求y的最小值，∴y＝ ≥＝10，当且仅当x2＝即x＝10米时“＝”成立，∴DE的位置应该在AD＝10，AE＝10米处，且DE的最小值为10米．