新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十五）双曲线（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十五）双曲线（含解析），共9页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度，自选练——练高考区分度等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（四十五）  双曲线一、基础练——练手感熟练度1．双曲线－y2＝1的实轴长为(　　)A．4　　　　　　　　　 B．2C．2  D．2解析：选D　由题知a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D.2．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±x  B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±2x解析：选C　双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得y2＝2x2，解得y＝±x，故选C.3．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝(　　)A．2  B．C.  D．12解析：选A　因为双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，b＝2，故选A.4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1  B．－＝1C.－＝1  D．x2－＝1解析：选A　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，所以2b＝4，b＝2，因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，所以＝⇒a＝2b＝4，所以双曲线M的方程为－＝1，故选A.5．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)A．(，＋∞)  B．(，2)C．(1，)  D．(1,2)解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝，即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.6．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)．C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.答案：(3,0)　 二、综合练——练思维敏锐度1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A．离心率相等  B．虚半轴长相等C．实半轴长相等  D．焦距相等解析：选D　由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)A．±  B．±  C．±1  D．±解析：选C　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则        △APF周长的最小值为(　　)A．4(1＋)  B．4＋C．2(＋)  D．＋3解析：选A　设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1  B．－y2＝1C.－＝1  D．x2－＝1解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.5．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)A．4  B．8C．16  D．32解析：选B　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.6．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1  B．－＝1C.－y2＝1  D．x2－＝1解析：选D　由－＝0可得y＝±x，即渐近线的方程为y＝±x，又一条渐近线l的倾斜角为，所以＝tan＝.因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为，所以＝b＝，所以a＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1.7．(2021·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于(　　)A.  B．C.  D．解析：选C　因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.8．(多选)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则下列说法正确的是(　　)A．|F2P|＝bB．双曲线的离心率为C．双曲线的渐近线方程为y＝±xD．点P在直线x＝a上解析：选ABD　由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，因为过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，所以|F2P|＝＝＝b，故A正确；因为|OP|＝＝＝a，所以|PF1|＝|OP|＝a，cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－＝－，在三角形OPF1中，根据余弦定理可知cos∠F1OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即离心率e＝或e＝－(舍去)，故B正确；因为e＝ ＝，解得＝，所以渐近线的方程为y＝±x，故C错误；因为点P在直线y＝x上，可设P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，故D正确．9．已知双曲线C：－＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝(　　)A．2  B．4C．6  D．8解析：选C　对于双曲线C：－＝1，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，由过点F的直线交两渐近线于P，Q，不妨设点P在第一象限，点Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如图所示，则在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝2，∴|PQ|＝|OP|＝6.故选C.10．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，所以k＜－1或k＞2；当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)　(0,1)11．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.答案：212．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝2，则双曲线的离心率e＝________.解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±x.当x＝－1时，y＝±，即A，B或A，B.所以S△AOB＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝ ＝.答案：13．已知双曲线C：x2－＝1，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左支以及渐近线y＝2x交于A，B两点，若＝，求直线l的斜率．解：由题意知，双曲线C的左焦点F1(－3，0)，故设直线l的方程为y＝k(x＋3)，与y＝2x联立，得B，由＝，得A为F1B的中点，由中点坐标公式得A.∵点A在双曲线上，∴2－＝1.即23k2－56k＋40＝0，解得k＝或k＝2(舍去)．14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线的方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，所以x0＝y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为. 三、自选练——练高考区分度1．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)A.  B．C.  D．解析：选C　直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C，A(a,0)，所以＝，＝，因为＝，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.2．设F1，F2分别为离心率e＝的双曲线C：－＝1的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA2NA1的面积为4，则b＝(　　)A．2  B．2C．4  D．4解析：选A　由e＝＝，得＝2，故渐近线方程为y＝2x, 以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得y＝±，由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA1为平行四边形，不妨设yM＝，则四边形MA2NA1的面积S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，b＝2，故选A.3．(多选)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(　　)A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为y＝±xC．动点P到两条渐近线的距离之积为定值D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为解析：选AC　对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2, 所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，所以＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D选项错误．故选A、C.