初中数学人教版八年级上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版八年级上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了5和11等内容，欢迎下载使用。

【知识重点】
知识点1：三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线： 之间的线段叫做三角形的高．
知识点2：三角形的中线
三角形中，连接顶点和它的对边 的线段叫做三角形的中线．
知识点3：三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与对边相交，这个角的 之间的线段叫做三角形的角平分线．
【经典例题】
【例1】如图，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.
(1)△ABC的边BC上的高为______，边AB上的高为______；
解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断；
(2)若AB＝5，BC＝2，CD＝95，则AE＝_______.
解题秘方：分别以BC，AB 为底边计算△ABC的面积，列式求解.
【例2】如图，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.
解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长；
(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.
【例3】如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，EF交AD于点O.
试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由.
解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.
【同步练习】
一、选择题
1．下列各图中，画出AC边上的高，正确的是( )
2．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这个交点一定在( )
A．三角形内部 B．三角形的一边上
C．三角形外部D．三角形的某个顶点上
3．下列说法正确的是 ( )
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部
B．直角三角形的高只有一条
C．钝角三角形的三条高都在三角形的外部
D．三角形的高至少有一条在三角形的内部
4．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝∠CAD，下列说法正确的是 ( )
A．直线AD是△ABC的边BC上的高 B．线段BD是△ABD的边AD上的高
C．射线AC是△ABD的角平分线 D．△ABC与△ACD的面积相等

第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是( )
A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE
6．如图，AD是△ABC的中线， 已知△ABD的周长为 25 cm，AB比AC长6 cm， 则△ACD的周长为( )
A. 19 cm B. 22 cm C. 25 cm D. 31 cm
7．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( )
A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°

第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，如果AD是△ABC的中线，那么下列结论：①BD＝CD；②AB＝AC；③S△ABD＝eq \f(1,2)S△ABC.其中一定成立的有 ( )
A．3个 B．2个 C．1个D．0个
9．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有( )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.
A．4个 B．3个 C．2个D．1个
10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于( )
A．2 cm2 B．1 cm2 C. eq \f(1,2)cm2 D. eq \f(1,4)cm2

第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
11．如图，若BD＝DE＝eq \f(1,2)EC，则AD是△ 的中线，AE是△ 的中线．
12．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E.若∠ACB＝60°，则∠EDC＝ °.
13．【2021·娄底】如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝________．

第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝4 cm，BC＝8 cm，CE＝6 cm，则AD的长为 .
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC的重心，连接BO并延长交AC于点D，已知△ABC的周长为21 cm，若△ABD的周长比△BCD的周长大3 cm，则AB的长为 cm.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠C＝90° .
(1)指出图中BC，AC边上的高.
(2)画出AB边上的高CD.
(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来.
(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB 边上的高CD的长.
17．【2022·南京金陵汇文学校月考】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长．
18．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5和11.5两部分，求这个等腰三角形各边的长．
19．如图，已知AD，AE分别是直角三角形ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.求：
(1)AD的长；
(2)△AEC的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
20．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.
(1)DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
(2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠CAB的平分线”“DE∥AB”“DF∥AC”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个证明．
21．如图，在△ABC中(AB＞BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
参考答案
【知识重点】
知识点1：三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线： 之间的线段叫做三角形的高．
【答案】顶点与垂足
知识点2：三角形的中线
三角形中，连接顶点和它的对边 的线段叫做三角形的中线．
【答案】中点
知识点3：三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与对边相交，这个角的 之间的线段叫做三角形的角平分线．
【答案】顶点与对边上的交点
【经典例题】
【例1】如图，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.
(1)△ABC的边BC上的高为______，边AB上的高为______；
【答案】AE CD
解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断；
解：△ABC是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.
(2)若AB＝5，BC＝2，CD＝95，则AE＝_______.
【答案】92
解题秘方：分别以BC，AB 为底边计算△ABC的面积，列式求解.
解：∵ S△ABC＝12BC·AE＝12AB·CD，
∴ 12×2×AE＝ 12×5×95，∴ AE＝92.
【例2】如图，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.
解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长；
解：∵ AD为BC边上的中线，∴ BD＝CD.
∴ △ABD与△ADC的周长之差为
(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.
∵ △ABD与△ADC的周长之差为3，
AB＝8，∴ 8－AC＝3，解得AC＝5.
(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.
解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝8，
∴ S△ABD＝12S△ABC＝4.
∵ BE是△ABD的中线，∴ S△ABE＝12S△ABD＝2.
【例3】如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，EF交AD于点O.
试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由.
解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.
解：DO是△DEF的角平分线. 理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.
∵ DE∥AB，DF∥AC，
∴∠3＝∠2，∠4＝∠1. ∴∠3＝∠4.
∴ DO是△DEF的角平分线.
【同步练习】
一、选择题
1．下列各图中，画出AC边上的高，正确的是( D )
2．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这个交点一定在( A )
A．三角形内部 B．三角形的一边上
C．三角形外部D．三角形的某个顶点上
3．下列说法正确的是 ( D )
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部
B．直角三角形的高只有一条
C．钝角三角形的三条高都在三角形的外部
D．三角形的高至少有一条在三角形的内部
4．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝∠CAD，下列说法正确的是 ( B )
A．直线AD是△ABC的边BC上的高 B．线段BD是△ABD的边AD上的高
C．射线AC是△ABD的角平分线 D．△ABC与△ACD的面积相等

第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是( D )
A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE
6．如图，AD是△ABC的中线， 已知△ABD的周长为 25 cm，AB比AC长6 cm， 则△ACD的周长为( A )
A. 19 cm B. 22 cm C. 25 cm D. 31 cm
7．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( A )
A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°

第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，如果AD是△ABC的中线，那么下列结论：①BD＝CD；②AB＝AC；③S△ABD＝eq \f(1,2)S△ABC.其中一定成立的有 ( B )
A．3个 B．2个 C．1个D．0个
9．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有( C )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.
A．4个 B．3个 C．2个D．1个
10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于( )
A．2 cm2 B．1 cm2 C. eq \f(1,2)cm2 D. eq \f(1,4)cm2
【解析】根据三角形的中线平分三角形的面积，
可得S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝eq \f(1,2)S△ABD＋eq \f(1,2)S△ACD＝eq \f(1,2)S△ABC＝2 cm2.故S△BEF＝eq \f(1,2)S△BCE＝1 cm2.

第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
11．如图，若BD＝DE＝eq \f(1,2)EC，则AD是△ 的中线，AE是△ 的中线．
【答案】ABE ABC
12．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E.若∠ACB＝60°，则∠EDC＝ °.
【答案】30°
13．【2021·娄底】如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝________．
【解析】连接AP，则S△ABC＝S△ACP＋S△ABP，
依据S△ACP＝eq \f(1,2)AC×PF，S△ABP＝eq \f(1,2)AB×PE，AB＝AC＝2，
代入计算即可得到PE＋PF＝1.
【答案】1

第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝4 cm，BC＝8 cm，CE＝6 cm，则AD的长为 .
【答案】3 cm
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC的重心，连接BO并延长交AC于点D，已知△ABC的周长为21 cm，若△ABD的周长比△BCD的周长大3 cm，则AB的长为 cm.
【答案】8
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠C＝90° .
(1)指出图中BC，AC边上的高.
解：BC边上的高是AC，
AC边上的高是BC.
(2)画出AB边上的高CD.
略．
(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来.
解：图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD.
(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB 边上的高CD的长.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq \f(AC·BC,AB).
又∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴CD＝2.4.
17．【2022·南京金陵汇文学校月考】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长．
解：设AB＝AC＝x，则AD＝eq \f(1,2)x＝CD.
(1)当AB＋AD＝15时，
x＋eq \f(1,2)x＝15，解得x＝10.∴AB＝AC＝10，AD＝CD＝5， BC＝6－CD＝1.
此时△ABC的三边长是10，10，1.
∵10＋1＞10，∴能构成三角形．
当AB＋AD＝6时，x＋eq \f(1,2)x＝6，解得x＝4.
∴AB＝AC＝4，AD＝CD＝2，BC＝15－CD＝13.
此时△ABC的三边长是4，4，13.
∵4＋4＜13，∴不能构成三角形．
综上所述，这个三角形的底边长是1，腰长是10.
18．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5和11.5两部分，求这个等腰三角形各边的长．
【解析】这道题是以文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母．因此，可以先根据文字叙述画出图形，标注字母，利用图形减小题目难度．由于腰和底边不相等造成一腰上的中线把三角形的周长分成不相等的两部分，因此既要考虑到腰比底边长的情况，又要考虑到底边比腰长的情况.
解：假设在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线．
当AB>BC时，AB－BC＝13.5－11.5＝2，则AB＝BC＋2.
∴2(BC＋2)＋BC＝13.5＋11.5，
解得BC＝7，则AB＝AC＝BC＋2＝9.
即三角形的三边长为9，9，7，满足三角形的三边关系．
当AB∴2AB＋AB＋2＝13.5＋11.5，
解得AB＝eq \f(23,3)，则AC＝eq \f(23,3)，BC＝AB＋2＝eq \f(29,3).
即三角形的三边长为eq \f(23,3)，eq \f(23,3)，eq \f(29,3)，满足三角形的三边关系．
综上，这个等腰三角形三边的长分别为9，9，7或eq \f(23,3)，eq \f(23,3)，eq \f(29,3).
19．如图，已知AD，AE分别是直角三角形ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.求：
(1)AD的长；
解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)BC·AD.
∴AD＝eq \f(AB·AC,BC)＝eq \f(6×8,10)＝4.8(cm)．
(2)△AEC的面积；
解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC
＝8 cm，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)．
∵AE是边BC上的中线，∴BE＝EC.
∴eq \f(1,2)BE·AD＝eq \f(1,2)EC·AD，即S△ABE＝S△AEC.
∴S△AEC＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×24＝12(cm2)．
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
解：由(2)知BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB
＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，
即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.
20．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.
(1)DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
解：DO是∠EDF的平分线．
证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.
∴∠EDA＝∠FDA.
∴DO是∠EDF的平分线．
(2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠CAB的平分线”“DE∥AB”“DF∥AC”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个证明．
解：与三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确
(选其中一种情况证明即可)．
①若和“AD是∠CAB的平分线”交换，证明过程与(1)中证明
过程类似．
②若和“DE∥AB”交换，证明如下：
∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA.
∵DO是∠EDF的平分线，
∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD. ∴DE∥AB.
③若和“DF∥AC”交换，证明过程与②类似．
21．如图，在△ABC中(AB＞BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
设BD＝CD＝x，AB＝y.
∵AC＝2BC，∴AC＝4x.
分为两种情况：
①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，
则4x＋x＝60，x＋y＝40，
解得x＝12，y＝28，
∴AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，
则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，
∴AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系．
综上所述，AC＝48，AB＝28.