第11章 三角形 习题课 与三角形角平分线有关的角度计算

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第11章  三角形  习题课  与三角形角平分线有关的角度计算【同步练习】模型1　两内角平分线的夹角模型与结论：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝90°＋∠A.1．(曲靖期末)如图，BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∠A＝50°，那么∠BDF的度数为(　　)A．80°   B．65°  C．100°  D．115°2．如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数．(2)有一名同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．           3．如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的平分线的交点，BD的延长线交AC于点E.(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度数；(2)若∠EDC＝50°，求∠A的度数；(3)请直接写出∠A与∠BDC之间的数量关系(不必说明理由)．   模型2　一个内角平分线与一个外角平分线的夹角模型与结论：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则∠BPC＝∠A.4．【2023河源好义中学开学考试】如图，是中的平分线，是的外角的平分线.若，，则(　　)A.  B.  C.  D. 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为(　　)A．2°    B．4°   C．8°  D．16°6．【2023深圳育才教育集团期末】如图， ， ， ， 分别平分 的外角 ，内角 ，外角 ，给出以下结论： ， ，   ， .其中正确的结论有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．【2022宜宾期末】如图，在 中，   ， 与 的平分线交于点 ，则 的度数为_____； 与 的平分线交于点 依次进行下去， 与 的平分线相交于点 ，要使 的度数小于   ，则 的最小值为___.8．【2022·衡水第五中学月考】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC＝120°.(1)求∠A的度数；(2)求∠D的度数．       9．【2023惠州期末】已知 于点 ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点， 的平分线与 的外角 的平分线所在直线相交于点 ．（1）如图1，若   ，求 的度数．（2）如图2，当点 ， 在射线 ， 上运动时， 的大小是否发生变化？请说明理由．（3）根据以上探究，请你写出关于三角形的角平分线的一条性质． 模型3　两个外角平分线的夹角模型与结论：如图，在△ABC中，∠CAE与∠ACD的平分线相交于点P，则∠APC＝90°－∠B.10．如图，将△ABC沿着DE剪去一个角后得到四边形BCED，若∠BDE和∠DEC的平分线交于点F，∠DFE＝α，则∠A的度数是(　　)A．180°－α   B．180°－2α  C．360°－α   D．360°－2α11．【2023广州黄埔区期中】如图，在 中， , 分别平分 ， ， ， 分别平分三角形的两个外角 ， ，则(　　)A.  B.  C.  D. 12．如图，在△ABC中，点O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点．判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．   模型4　“8字形”内角平分线的夹角模型与结论：如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且相交于点P，则∠P＝(∠A＋∠D)．13．如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P.若∠A∶∠D∶∠P＝2∶4∶x，则x的值为___.14．如图AC,BD相交于O,BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,且交于点P(1)若∠A=70°∠D=60°求∠P的度数
(2)试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系 
参考答案【同步练习】模型1　两内角平分线的夹角模型与结论：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝90°＋∠A.1．(曲靖期末)如图，BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∠A＝50°，那么∠BDF的度数为(　B　)A．80°   B．65°  C．100°  D．115°2．如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数．解：∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝×(180°－60°)＝60°.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°.(2)有一名同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．解：正确．理由如下：∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝90°＋∠A.3．如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的平分线的交点，BD的延长线交AC于点E.(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度数；解：∵∠A＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°.∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.∴∠DBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝×110°＝55°.∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝125°.(2)若∠EDC＝50°，求∠A的度数；解：∵∠EDC＝50°，∴∠DBC＋∠DCB＝50°.∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)＝100°.∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.(3)请直接写出∠A与∠BDC之间的数量关系(不必说明理由)．解：∠BDC＝90°＋∠A.模型2　一个内角平分线与一个外角平分线的夹角模型与结论：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则∠BPC＝∠A.4．【2023河源好义中学开学考试】如图，是中的平分线，是的外角的平分线.若，，则(　C　)A.  B.  C.  D. 【解析】5．如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为(　A　)A．2°    B．4°   C．8°  D．16°6．【2023深圳育才教育集团期末】如图， ， ， ， 分别平分 的外角 ，内角 ，外角 ，给出以下结论： ， ，   ， .其中正确的结论有(　C　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【提示】根据角平分线的定义得出 ， ， ，根据三角形的内角和定理得出   ，根据三角形外角性质得出 ， ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解析】  平分 ， ， ， ， ，故①正确. ， 平分 ， ， ， ，故②错误.在 中，   ， , , 分别平分 的外角 ,内角 ，外角 ， , , , , , .在 中，   ，   ，   ，故③正确. 平分 ， ， ， ， ，故④正确.7．【2022宜宾期末】如图，在 中，   ， 与 的平分线交于点 ，则 的度数为_____； 与 的平分线交于点 依次进行下去， 与 的平分线相交于点 ，要使 的度数小于   ，则 的最小值为___.【答案】32°   7【解析】  的平分线与 的平分线交于点 ， ， .由三角形外角的性质，得 ，   .同理可得 ， .当 的度数为   时， ， 的度数小于   ， 的最小值为7．8．【2022·衡水第五中学月考】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC＝120°.(1)求∠A的度数；解：∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＋∠OCB＝60°.∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝120°.∴∠A＝60°.(2)求∠D的度数．解：∵D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∴∠DCH＝∠ACH，∠DBC＝∠ABC.∴∠D＝∠DCH－∠DBC＝(∠ACH－∠ABC)＝∠A＝30°. 9．【2023惠州期末】已知 于点 ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点， 的平分线与 的外角 的平分线所在直线相交于点 ．（1）如图1，若   ，求 的度数．解：因为 ，   ，所以   ，   ．因为 的平分线与 的平分线所在直线相交于点 ，所以   ，   ,所以   ,所以   ．（2）如图2，当点 ， 在射线 ， 上运动时， 的大小是否发生变化？请说明理由．不变.理由如下：如图2，由（1）可知 ， ．因为   ， ，所以 ］．所以   ．（3）根据以上探究，请你写出关于三角形的角平分线的一条性质．三角形的一个内角平分线与另一个内角相邻外角的平分线所在直线的夹角等于第三个角的度数的一半．模型3　两个外角平分线的夹角模型与结论：如图，在△ABC中，∠CAE与∠ACD的平分线相交于点P，则∠APC＝90°－∠B.10．如图，将△ABC沿着DE剪去一个角后得到四边形BCED，若∠BDE和∠DEC的平分线交于点F，∠DFE＝α，则∠A的度数是(　B　)A．180°－α   B．180°－2α  C．360°－α   D．360°－2α11．【2023广州黄埔区期中】如图，在 中， , 分别平分 ， ， ， 分别平分三角形的两个外角 ， ，则(　B　)A.  B. C.  D. 【解析】 解法一 ， 分别平分 ， ， ， ， ， 分别平分三角形的两个外角 ， ， ， ， ，   ．解法二 ， 分别平分 ， ， ， ， 分别平分三角形的两个外角 ， ， ， ，   ，同理可得   ，由四边形的内角和为   可知，   ，   ．12．如图，在△ABC中，点O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点．判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．解：∠BOC＝90°－∠A.理由如下：由题意得∠DBC＋∠ECB＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°＋∠A.∵BO，CO分别是∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠DBC＋∠ECB)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－＝90°－∠A.模型4　“8字形”内角平分线的夹角模型与结论：如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且相交于点P，则∠P＝(∠A＋∠D)．13．如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P.若∠A∶∠D∶∠P＝2∶4∶x，则x的值为___.【答案】314．如图AC,BD相交于O,BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,且交于点P(1)若∠A=70°∠D=60°求∠P的度数
(2)试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系解：∠P=∠CEB-∠PBD=∠D+∠PCD-∠PBD
∠P=∠CFB-∠PCA=∠A+∠PBA-∠PCA
上述两式相加,可得：2∠P=∠A+∠D（此为数量关系）
于是,第一问∠P=65°