2023年七年级数学上册专题5.10 期末真题重组拔尖卷（人教版）（原卷版+解析卷）

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2022-2023学年七年级数学上册期末真题重组拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·广东广州·七年级期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）

A．1 B．1.5 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【详解】解：∵|a−d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a−b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b−d|＝4，
∴|b−c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c−d|＝|8−10|＝2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．
2．（3分）（2022·浙江杭州·七年级期末）a是不为2的有理数，我们把22-a称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是22-3＝﹣2，﹣2的“哈利数”是22-(-2)=12，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（    ）
A．3 B．﹣2 C．12 D．43
【答案】C
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【详解】∵a1＝3，
∴a2＝22-3＝﹣2，
a3＝22-(-2)=12，
a4＝22-12=43，
a5＝22-43=3，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a2019＝a3＝12．
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
3．（3分）（2022·河北张家口·七年级期末）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意可得m=-1，|5-n|=1或m=-2，|5-n|=4，求出m、n的值，然后求出mn的值即可．
【详解】∵代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，
∴化简后的结果可能为2x4y，也可能为xy，
当结果为2x4y时，m=-1，|5-n|=1，
解得：m=-1，n=4或n=6，
则mn=（-1）4=1或mn=（-1）6=1；
当结果为xy时，m=-2，|5-n|=4，
解得：m=-2，n=1或n=9，
则mn=（-2）1=-2或mn=（-2）9=-29，
综上，mn的值共有3个，
故选C.
【点睛】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．
4．（3分）（2022·浙江宁波·七年级期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（    ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，首先计算得甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：2×1005+4=2009s，设两人相週的次数为x，根据一元一次方程的性质列方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：2×1005+4=2009s
设两人相遇的次数为x
∵起跑后时间总共为2分钟，即120 s
∴2009x=120
∴x=5.4
根据题意，两人相遇的次数x为整数
∴x=5，即两人相遇的次数为5次
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
5．（3分）（2022·江苏镇江·七年级期末）按下面的程序计算：

如果n值为非负整数，最后输出的结果为2343，则开始输入的n值可能有 （　　 ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【分析】根据最后的结果2343倒推，解出方程，再根据方程求出满足条件的n值．
【详解】由最后的结果可列出方程：5n+3=2343，解得：n1=468
再由5n+3=468，解得：n2=93
5n+3=93，解得：n3=18
5n+3=18，解得：n4=3
5n+3=3，解得：n5=0
由n值为非负整数可知n值可能为0,3,18,93,468这5种情况.
故答案为D.
【点睛】解题的关键是先把代数式进行变形，然后把满足条件的字母代入计算得到对应的值．
6．（3分）（2022·山西晋中·七年级期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（   ）

A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD-CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON
【答案】B
【分析】由于B选项中的结论是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判断ND和CN是否相等即可，根据ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B选项错误．
【详解】解：以O为顶点的角有6×52=15个，
所以A选项正确；
∵MN=ND，
∴ND>CN,
∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN,
所以B选项错误；
由中点定义可得：MB=12AB,NC=12CD,
∴MN=MB+CN-CB=12AB+12CD-CB=12AB+CD-CB，
∵AB+CD=AD+CB,
∴MN=12AD+CB-CB=12AD-CB,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON,
∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB,
∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC,
∴∠MOC+∠BON=2∠BOC,
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB
32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB,
∴∠MON=32∠MOC+∠BON,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．
7．（3分）（2022·安徽安庆·七年级期末）如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“M”，若沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据无盖可知底面M没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形位于底面与侧面的从左边数第2个正方形下边，然后根据选项选择即可．
【详解】∵正方体纸盒无盖，
∴底面M没有对面，
∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，
∴底面与侧面的从左边数第2个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，只有A选项图形符合．
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
8．（3分）（2022·重庆江津·七年级期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（    ）

A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵OA:AP=2:3，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.
9．（3分）（2022·浙江·七年级期末）已知a，b，c的积为负数，和为正数，且x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc，则x的值为(　　)
A．0 B．0，2 C．0，-2，1 D．0，1，-2，6
【答案】A
【分析】先判断出a,b,c的符号，再化简绝对值运算即可得．
【详解】∵a,b,c的积为负数
∴a,b,c的符号为三负或两正一负
∵a,b,c的和为正数
∴a,b,c的符号为两正一负
因此，分以下三种情况：
（1）当a>0,b>0,c<0时
x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
=1+1-1+1-1-1
=0
（2）当a>0,c>0,b<0时
x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
=1-1+1-1+1-1
=0
（3）当b>0,c>0,a<0时
x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
=-1+1+1-1-1+1
=0
综上，x的值为0
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出a,b,c的符号是解题关键．
10．（3分）（2022·浙江宁波·七年级期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ）

A．m+n B．m-n C．2m-n D．m+2n
【答案】A
【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，
∴AB+BC=m2，JI+HI=n2，
延长FG交AD于M，
正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，
∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=m2，
∵AM+GL=AD=BC，
∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=m2-DL，
∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，
∵EH=DL，
∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=m2+m2-DL+ n+EH=m+n．
故选：A．

【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·山东聊城·七年级期末）火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票______种．

【答案】30．
【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．
【详解】车票从左到右有：
AC、AD、AE、AF、AB，
CD、CE、CF、CB，
DE、DF、DB，
EF、EB，
FB，15种
从右到左有：
BF、BE、BD、BC、BA，
FE、FD、FC、FA，
ED、EC、EA，
DA、DC，
CA，15种．
火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．
12．（3分）（2022·浙江台州·七年级期末）对于有理数a，b，n，若a-n+b-n=1，则称b是a关于n的“相关数”，例如，2-2+3-2=1，则3是2关于2的“相关数”．若x1是x关于1的“相关数”，x2是x1关于2的“相关数”，…，x4是x3关于4的“相关数”．则x1+x2+x3=______．（用含x的式子表示）
【答案】9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．
【详解】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，①
|x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②
|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③
|x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④
由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，
由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，
同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，
∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥
x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦
3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，
∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|．
故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确．
13．（3分）（2022·浙江·七年级期末）阅读下列运算程序，探究其运算规律：a※b=t，且a※b+1=t-3，a-1※b=t+2，若20※1=2020，则1※20等于________．
【答案】2001
【分析】根据a※b=t，a※b+1=t-3得出20※20=2020-19×3=1963，根据a-1※b=t+2即可得出结果．
【详解】解：∵a※b=t，a※b+1=t-3，
∴20※1+1=2020-1×3=2017，
20※2+1=2020-2×3=2014，
20※3+1=2020-3×3=2011，
．．．．．．
20※20=2020-19×3=1963；
∵a-1※b=t+2，
∴20-1※20=1963+1×2=1965，
20-2※20=1963+2×2=1967，
20-3※20=1963+3×2=1969，
．．．．．．
20-19※20=1963+19×2=2001，
故答案为：2001．
【点睛】本题主要考查的是有理数在特定条件下的运算能力，根据所给的条件找出规律是解题的关键．
14．（3分）（2022·四川省成都市七中育才学校七年级期末）如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P，Q两点分别从B，C两点时出发，P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动．设P，Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2=_____________．

【答案】25s
【分析】根据相遇问题的数量关系求得第一次两点相遇的时间为1秒和以后每相遇一次的时间1.5秒，设P、Q相遇次数为n次，则当6×1+6×1.5n-1=10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，由此关系求得k的最小两个整数，便可得t1和t2的值．
【详解】解：∵等边三角形ABC的周长为30cm，
∴△ABC的边长为10cm，
由题意知，P、Q第一次相遇时间为20÷6+14=1（秒）
以后每隔30÷6+14=1.5秒，P、Q就会相遇一次，
设P、Q相遇次数为n次，则6×1+6×1.5n-1=10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，
整理得，9n=10k+3，
∴n=10k+39=k+k+39，（k为正整数）
∴当k=6时，即n=6+1=7时，P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇，
当k=15时，即n=15+2=17时，P、Q两点第二次在三角形ABC的顶点处相遇，
则t1=1+1.5n-1=1+1.5×7-1=10（秒），t2=1+1.5n-1=1+1.5×17-1=25（秒）
故答案为：25s
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相遇问题的应用，关键是得出P、Q相遇次数与三角形边长的关系是解题的突破口．
15．（3分）（2022·湖北随州·七年级期末）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．

【答案】路
【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．
所以答案是路．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键．
16．（3分）（2022·重庆八中七年级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．

【答案】32°或76°
【分析】由题意，分两种情况讨论，当OP'平分∠E'OF'时，当OQ'平分∠E'OF'时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】∵∠AOP=40°,OE平分∠AOP，
∴∠EOP=12∠AOP=20°，
∵AB⊥OC
∴∠AOC=90°
△EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，PQ以每秒9°的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当OP'平分∠E'OF'时，

∠E'OP'=∠EOP+(6°+9°)m=20°+15°m=12∠EOF=50°
解得m=2
∴∠COP'=∠AOC-∠AOP-2×9°=90°-40°-18°=32°，
②如图2，当OQ'平分∠E'OF'时，

∠Q'OE'=(6°+9°)×m-∠EOQ
=15°m-(180°-∠EOP)
=15°m-(180°-20°)
=15°m-160°
=12∠E'OF'
=50°
解得m=14
∴∠COP'=9°×14-∠COP
=126°-(∠AOC-∠AOP)
=126°-(90°-40°)
=126°-50°
=76°
故答案为：32°或76°
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·全国·七年级专题练习）一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0．我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数a,b为“相伴数对”，记为(a,b)
（1）若(1,b)是“相伴数对”，求b的值；
（2）写出一个“相伴数对”(a,b)，并说明理由．（其中a≠0，且a≠1）
（3）若(m,n)是“相伴数对”，求代数式m-223n-[4m-2(3n-1)]的值．
【答案】（1）-94；（2）-4，9是“相伴数对”，理由见详解；（3）-2．
【分析】（1）根据“相伴数对”定义列出方程求解即得；
（2）先根据“相伴数对”定义确定一个有序数对为“相伴数对”，再将这个特殊的情况代入a2+b3=a+b2+3验证左右相等即可；
（3）先根据“相伴数对”定义得出9m+4n=0，进而用含m的式子表示n，再化简要求的代数式即得．
【详解】（1）∵(1，b)是“相伴数对”
∴12+b3=1+b2+3
解得：b=-94
（2）-4，9是“相伴数对”，理由如下：
∵-42+93=1，-4+92+3=1
∴-42+93=-4+92+3
∴根据定义-4，9是“相伴数对”
（3）∵(m，n)是“相伴数对”
∴m2+n3=m+n2+3
∴9m+4n=0
∴-3m-43n=0
∵m-223n-[4m-2(3n-1)]
=m-223n-4m+6n-2
=-3m-43n-2
=-3m-43n-2
∴当-3m-43n=0时
-3m-43n-2=0-2=-2
【点睛】本题考查了一元一次方程应用及多项式化简，解题关键是挖掘题目中的条件，以a2+b3=a+b2+3作为解决所有问题的依据．
18．（6分）（2022·江西上饶·七年级期末）数学课上李老师说：咱们一起来玩儿一个找原点的游戏吧！
(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．
①如果点A所表示的数是-5，那么点B所表示的数是_______；
②在图1中标出原点O的位置；

(2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．
根据小敏提供的信息，标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；

(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如AB=1），且c-2a=8．

①试求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且CD=2，求出点D所表示的数．
【答案】(1)①5；②数轴见解析
(2)数轴见解析，点C表示的数是3
(3)①-2；②d=2或d=6

【分析】（1）①根据相反数的定义可得点B表示的数，②根据A、B的位置可得原点的位置；（2）根据A、B所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点C表示的数；（3）①由数轴可得c-a=6，再结合c-2a=8可得a的值；②根据a的值可得c，根据点D的位置可得答案．
【详解】（1）解：①点A所表示的数是-5，点A、点B所表示的数互为相反数，所以点B所表示的数是5，故答案为：5；②在图1中表示原点O的位置如图所示：

（2） 原点O的位置如图所示，

（3） 点C所表示的数是3．故答案为：3；
（3）解：①由题意得：AC=6，所以c-a=6，又因为c-2a=8，所以a=-2；②设D表示的数为d，因为c-a=6，a=-2，所以c=4，因为CD=2，所以c-d=2或d-c=2，所以d=2或d=6．
【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的特点和两点间的距离公式是解题关键．
19．（8分）（2022·湖南怀化·七年级期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为118，可知爷爷的年龄；
【详解】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）

如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．
20．（8分）（2022·全国·七年级专题练习）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
(1)2022属于_______类（A，B或C）；
(2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
(3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④|m-n|属于A类．
【答案】(1)C
(2)①A；②B
(3)②③

【分析】（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由  6065÷3=2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．
【详解】（1）解：∵2022÷3=674，
∴2022属于C类，
故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，
∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，
∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，
故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，
∴设这2021个数的和3a+2021，
∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，
∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），
∴设这k个数的和为3c，
∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，
∴6065÷3=2021…2，
∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，
∴结果属于B类，
故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，
设这m个数的和为3x+m，
从B类数中任意取出n个数，
设这n个数的和为3y+2n，
∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，
∵最后的结果属于A类，
∴m+2n被3除余数为1，
∴m+2n属于A类，
故②正确；
当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；
当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；
当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；
故②③正确，
故选：②③．
【点睛】本题考查有理数的性质，理解题意，根据所给条件分类讨论是解题的关键．
21．（8分）（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期末）学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄，做好大课间活动，计划购买体育用品，价格如下表：
备选体育用品
篮球
排球
羽毛球拍
价格
60元/个
35元/个
25元/支

(1)若用2550元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍，篮球和排球的数量比2:3，排球与羽毛球拍数量的比为4:5，求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少？
(2)初一学年计划购买篮球，初二学年计划购买排球，商场的优惠促销活动如下：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过500元
不优惠
超过500元且不超过600元
售价打九折
超过600元
售价打八折

按上述优惠条件，若初一年级一次性付款420元，初二年级一次性付款504元，那么这两个年级购买两种体育用品的数量一共是多少？
【答案】(1)篮球16个、排球24个、羽毛球30个
(2)25个或23个

【分析】（1）设篮球有8k个，则排球有12k个，羽毛球有15k支，根据三种商品的钱一共为2550元列方程求解即可；
（2）分类讨论分别求出初一年级学生购买的篮球数和初二年级学生购买的排球数即可得解．
（1）解：由篮球和排球的数量比2:3=8:12，排球与羽毛球拍数量的比为4:5=12:15，设篮球由8k个，则排球有12k个，羽毛球有15k支，由题意可得，60×8k+35×12k+25×15k=2550，1275k=2550，k=2，因此，篮球个数为：8×2=16（个），排球个数为：12×2=24（个），羽毛球支数为：15×2=30（支），答：篮球有16个，排球有24个，羽毛球有30支，
（2）解：初一年级购买篮球一次性付款420元，当按原价付款时，购买个数为：420÷60=7（个），当按八折付款时，购买个数为：420÷（60×0.8）=834（个），不符合实际情况，当按九折付款时，购买个数为：420÷（60×0.9）=779（个），不符合实际情况，因此，初一年级购买篮球7个；初二年级购买排球一次性付款504元，当按原价付款时，购买个数为：504÷35=725（个），不符合实际情况，当按八折付款时，购买个数为：504÷（35×0.8）=18（个），当按九折付款时，购买个数为：504÷（35×0.9）=16（个），因此，初二年级购买排球18个或者是16个；7+18=25（个），7+16=23（个），所以这两个年级购买两种体育用品的数量一共为25个或者是23个．
【点睛】本题考查了简易方程和分类讨论思想，利用分类讨论思想求解篮球数和排球数是解题的关键．
22．（8分）（2022·河北保定·七年级期末）如图一，已知数轴上，点A表示的数为-6，点B表示的数为8，动点P从A出发，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，运动时间为t秒t>0

(1)线段AB=__________．
(2)当点P运动到AB的延长线时BP=_________．（用含t的代数式表示）
(3)如图二，当t=3秒时，点M是AP的中点，点N是BP的中点，求此时MN的长度．

(4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点P表示的数为：_________（用含t的代数式表示），
点Q表示的数为：__________（用含t的代数式表示）．
②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值．______________．

【答案】(1)14
(2)3t-14
(3)72
(4)①3t-6；t+8   ②285秒或7秒或14秒

【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用BP=点P运动路程－AB可求解；
（3）当t=3秒时，根据路程＝速度×时间，得到AP=3×3=9，所以BP=AB-9，再 由点M是AP的中点，点N是BP的中点，利用中点的定义得到PM=12AP，PN=12BP，最后由MN=PM+PN即可得到结论．
（4）①设运动时间为t，当点P从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴上两点间距离公式，则点P所表示的数是点P的运动路程加上点A所表示的数，点Q所表示的数是点Q的运动路程加上点B所表示的数即可．
②结合①的结论和点B所表示的数，分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴AB=8--6=14．
故答案为：14
（2）∵在数轴上，点A表示的数为-6，点B表示的数为8，动点P从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，运动时间为t秒，
∴AP=3t，
∴BP=AP-AB=3t-14．
故答案为：3t-14
（3）∵点A表示的数为-6，点B表示的数为8，动点P从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，
当t=3秒时，AP=3t=3×3=9，
∴BP=AB-AP=14-9=5，
又∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，
∴PM=12AP=92，PN=12BP=52，
∴MN=PM+PN=92+52=7．
∴此时MN的长度为7．
（4）①设运动时间为t，当点P从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴AP=3t，BQ=t，
∴点P所表示的数为：3t-6，点Q所表示的数为：t+8，
故答案为：3t-6；t+8
②结合①的结论和点B所表示的数，可知：
点B表示的数为8，点P所表示的数为：3t-6，点Q所表示的数为：t+8，
分以下三种情况：
若点B为中点，则BP=BQ，
∴8-3t-6=t+8-8，
解得：t=72；
若点P为中点，则BP=PQ，
∴3t-6-8=t+8-3t-6，
解得：t=285；
若点Q为中点，则BQ=PQ，
∴t+8-8=3t-6-t+8，
解得：t=14．
综上所述，当t为285秒或7秒或14秒时，B、P、Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．
23．（8分）（2022·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

(1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
(2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得ON在∠AOC的内部，探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
【答案】(1)直线ON平分∠AOC，理由见解析
(2)∠AOM-∠NOC=30°
(3)10秒或40秒．

【分析】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的定义得到∠MOC=∠MOB，再由OM⊥ON，得到∠MOD=∠MON=90°，则∠COD=∠BON，即可推出∠COD=∠AOD，由此即可得到答案；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可．
【详解】（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON，
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；

（2）解：如图，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：

∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图a，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=12∠AOC=30°，

∴∠BON=∠AOF=30°，
∴∠BOM=90°-∠BON=60°，
∴6x=60，
∴x=10；
如图b，当ON平分∠AOC时，∠CON=12∠AOC=30°，

∴ON旋转的角度是90°+150°=240°，
∴6x=240，
∴x=40，
综上，x=10或x=40，
即此时三角板绕点O旋转的时间是10或40秒．
【点睛】本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用．