人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形同步达标检测题

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专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！
一．解答题（共50小题）
1．（2022秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．

【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．
【详解】证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．
2．（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．

【分析】分别求出∠ABC，∠ABD，可得结论．
【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠A）＝65°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2022秋•林州市期末）已知△ABC的两边长a和b满足a-9+（b﹣4）2＝0．
（1）若第三边长为c，求c的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；
（2）分腰长为9或4两种情况进行计算；
【详解】解：（1）∵a-9+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣9＝0，b﹣4＝0，
解得a＝9，b＝4，
∵9﹣4＜c＜9+4，
即5＜c＜13；
（2）当腰长为9时，
此时三角形的三边为9、9、4，满足三角形三边关系，周长为22；
当腰长为4时，
此时三角形的三边长为4、4、9，4+4＜9，不满足三角形三边关系．
综上可知，△ABC的周长为22．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
4．（2022秋•河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．

（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
【分析】（1）由题意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC＝BC；
（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的长．
【详解】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中∠ACD=∠BCD∠CAO=∠CBDCD=CD，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC；

（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：
∵∠ACD＝∠BCD，
∴DO＝DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中BD=DEDO=DN，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中，∠DOC=∠DNC=90°∠OCD=∠NCDDC=DC
∴△DOC≌△DNC（AAS），
可知：OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．
5．（2022秋•武冈市期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．

【分析】（1）利用平行线以及角平分线的定义证明∠EOB＝∠EBO即可．
（2）想办法证明∠OCF＝∠OCB即可．
【详解】证明：（1）∵EF∥BC，交AB、AC于E、F．
∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，
∵∠B的平分线交EF于O点，
∴∠EBO＝∠CBO，
∴∠EBO＝∠BOE，
∴EO＝BE．

（2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，
∴OE+OF＝BE+CF，
∵EO＝BE，
∴OF＝CF，
∴∠COF＝∠FCO，
∵∠COF＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴OC平分∠ACB．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
6．（2022秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
BD=CE∠B=∠CBE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B=12（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
7．（2022秋•大石桥市期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF＝3，求AD的长；
（2）证明：DE＝2DF．

【分析】（1）根据已知条件，易证CD＝CE，从而求出∠E＝∠CDE＝30°，然后再根据∠B＝60°，求出∠AFD＝90°，最后放在直角三角形AFD中，即可解答；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，想到连接BD，易证BD＝DE，然后放在直角三角形BFD中，即可解答．
【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∵D为AC中点，
∴CD＝AD=12AC，
∵CE=12BC，
∴CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠ADF＝∠CDE＝30°，
∵∠A＝60°
∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝90°，
∵AF＝3
∴AD＝2AF＝6；
（2）证明：连接BD，

∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC＝30°，
∵∠BFD＝90°
∴BD＝2DF
∵∠DBC＝∠E＝30°
∴BD＝DE
∴DE＝2DF．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一添加辅助线是解题的关键．
8．（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为　90°　；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）分别求出∠BAC，∠CAE即可解决问题．
（2）证明AF⊥BCEC⊥BC即可判断．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵EA＝EC，∠AEC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．
故答案为90°．
（2）结论：AF∥EC．
理由：∵AB＝AC，BF＝CF，
∴AF⊥BC，
∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴EC⊥BC，
∴AF∥EC．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2022秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．

【分析】根据CE⊥AB于点D，且DE＝DC得出BC＝BE，根据角的关系得出∠ECB＝60°，即可证得△CEB为等边三角形．
【详解】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 　α+β＝180°　；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 　8　；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 　CE＝BC+CD　．


【分析】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；
②根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键．
11．（2022秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求证：∠ACB＝∠ACD；
（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．

【分析】（1）证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；
（2）①证明△NEC≌△NPC（SAS）即可；
②延长PD、ME交于Q点，结合①推导出∠EPD＝∠DQE＝30°，则PE＝EQ，则ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，再由点O是直线AE上的动点，可得当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．
【详解】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠ACB＝∠ACD；
（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠EBA＝90°，
∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC＝∠MAE＝30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB＝∠ABE＝90°，
∴∠MEA＝90°+30°＝120°，
∵∠MAE＝30°，
∴∠EMA＝30°，
∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，
∴△NEC≌△NPC（SAS），
∴EN＝PN，
∴N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②延长PD、ME交于Q点，
由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，
∴∠MEA＝120°，
∴∠DEQ＝60°，
∵PD⊥AE，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠EQD＝30°，
∵∠CPN＝30°，
∴∠EPD＝∠DQE，
∴PE＝EQ，
∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，
∵点O是直线AE上的动点，
∴当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．

【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键．
12．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．

【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
【详解】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
BD=BCBE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
13．（2022秋•平房区期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．

【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【详解】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

【分析】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【详解】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
15．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？

【分析】（1）由题意，可知∠B＝30°，AC＝6cm．BP＝2t，AP＝AB﹣BP，AQ＝t．
（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP＝AQ，即12﹣2t＝t，求出t即可．
（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；

（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；

（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ=12AP，
∴t=12（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
16．（2022秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝　（16﹣t）cm　（用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 　11秒或12　秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？

【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；
（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t=163，
∴出发163秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，

则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
17．（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．

【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再利用等角的余角相等和对顶角相等得出∠EFC＝∠ADF，进而证明即可．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是利用等角的余角相等和对顶角相等得出∠EFC＝∠ADF．
18．（2022秋•北仑区期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．

【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据三角形的周长公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
19．（2022秋•余干县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．
求证：BC＝DC．

【分析】连接BD，根据AB＝AD，可得∠ABD＝∠ADB，再根据∠ABC＝∠ADC，可证∠CBD＝∠CDB即可．
【详解】证明：连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD，∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，连接BD，求证△ABD是等腰三角形，这是解答此题的关键．
20．（2022春•焦作期末）如图，在等边三角形ABC中∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．

【分析】连接OE、OF，根据等边三角形角平分线的性质，可得∠OBC＝∠OCB＝30°，由BC的垂直平分线，可知BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∠OEF＝60°，再证，∠OFE＝60°，得出△OEF为等边三角形，从而可知EF＝OE＝BE＝OF＝FC，得出结论．
【详解】解：连接OE、OF，
∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC＝30°，
∴BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，
∴∠OEF＝∠EBO+∠EOB＝60°，
同理，∠OFE＝∠FCO+∠FOC＝60°，
∴△OEF为等边三角形，
即EF＝OE＝BE，EF＝OF＝FC，
故E、F为BC的三等分点，
故该说法正确．

【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了垂直平分线的性质，本题中根据勾股定理求BE、CF的值是解题的关键．
21．（2022秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝　150　°时，△BED是等边三角形．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=12AC，DE=12AC，从而得到BE＝DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出12∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
【详解】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BE=12AC，DE=12AC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB=12∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出12∠DEB＝∠DAB是解题关键．
22．（2022春•梅州校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）
（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．

【分析】（1）由已知可得∠FDB＝60°，∠B＝60°，从而可得到△BDF是等边三角形．
（2）由∠A＝30°，∠ACB＝90°可得AB＝2BC＝2，再将CF＝y，BF＝1﹣y，代入即可得出x，y的关系；
（3）当EF∥AB时，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，CF=12EF，EF=12DF，代入计算即可求得AD的长．
【详解】解：（1）△BDF是等边三角形，证明如下：
∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，
∴∠DFB＝60°，∴△BDF是等边三角形．

（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，
∵CF＝y，∴BF＝1﹣y，又△BDF是等边三角形，∴BD＝BF＝1﹣y，
∴x＝2﹣（1﹣y）＝1+y，∴y＝x﹣1，

（3）当EF∥AB时，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，
∴CF=12EF，EF=12DF，
∵DF＝BF＝1﹣y，∴y=14（1﹣y），∴y=15，
∴x＝y+1=65，即AD=65．
【点睛】本题考查的知识点比较多，难度较大，要熟练地掌握等边三角形的判定与性质．
23．（2022秋•阳新县校级期末）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD＝n，
（1）当n＝1时，则AF＝　2　；
（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH＝AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝60°，再根据平角等于180°求出∠FAC＝60°，然后求出∠F＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；
（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE＝30°+∠CBD，又∠HBE＝30°+∠CBD，从而得到∠ADE＝∠HBE，然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝HE，对应角相等可得∠AED＝∠HEB，然后推出∠AEH＝∠BED＝60°，再根据等边三角形的判定即可证明．
【详解】（1）解：∵△BDE是等边三角形，
∴∠EDB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴FAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠F＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°，
∴AF＝2AC＝2×1＝2；

（2）证明：∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠EDB＝∠EBD＝60°，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB＝∠CBD+∠C，
即∠ADE+60°＝∠CBD+90°，
∴∠ADE＝30°+∠CBD，
∵∠HBE+∠ABD＝60°，∠CBD+∠ABD＝30°，
∴∠HBE＝30°+∠CBD，
∴∠ADE＝∠HBE，
在△ADE与△HBE中，
BH=AD∠ADE=∠HBEBE=BD，
∴△ADE≌△HBE（SAS），
∴AE＝HE，∠AED＝∠HEB，
∴∠AED+∠DEH＝∠DEH+∠HEB，
即∠AEH＝∠BED＝60°，
∴△AEH为等边三角形．
【点睛】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出∠ADE＝∠HBE是解题的关键．
24．（2022•宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两底角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，即可找出图中所有的等腰三角形；
（2）根据邻补角的性质可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°﹣2∠BED＝48°，设∠ACB＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°﹣2x°，又根据三角形外角的性质得出∠BDC＝∠A+∠ABD，则x＝180﹣2x+48，求得∠ACB＝76°．
【详解】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BD＝BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2）解：∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°．
∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．
解法一：设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．
∴∠A＝180°﹣2x°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD．
∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．（10分）
解法二：设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．
∴∠DBC＝x°﹣48°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，
∴x﹣48+x+x＝180，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，难度一般．
25．（2022秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．

【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，进而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；
（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA＝∠CBA＝45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP＝∠CAH．
【详解】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠APC＝15°+45°＝60°，
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD＝PC，AD＝AC，
∴△ADP≌△ACP，
∴∠APC＝∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；

（2）直线BD，AH平行．理由：
∵BC＝3BP，
∴BP=12PC=12PD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，

∴∠BEP＝60°，
∴∠BDE=12∠BEP＝30°，
∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；

（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．

∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，
∴AH＝AF．
∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，
∴∠GDP＝150°，
∴∠ADP=12×150°＝75°，
∴∠C＝∠ADP＝75°，
∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．
26．（2022春•本溪县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案．
【详解】解：
（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C=12∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝12cm，
即2DE+2EC＝12cm，
∴DE+EC＝DC＝6cm．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
27．（2022秋•澧县期末）如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B处与灯塔C距离．

【分析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得BC＝AB，再速度乘时间就是路程，从而求出BC的长．
【详解】解：∵∠NBC是△ABC的外角
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°
∴∠C＝∠BAC
∴BC＝BA＝18×10＝180（海里）
因此B处与灯塔C距离是180海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
28．（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，根据三角形的周长公式计算．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝17cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27cm．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
29．（2022春•嵩县期末）如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．

【分析】（1）根据轴对称的性质得出ME＝PE，NF＝PF，再由MN＝20cm即可得出结论；
（2）要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN的关系，利用已知∠AOB＝35°可求出∠EPF，答案可得
【详解】解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，
∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周长是20cm．
（2）如图，

∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴∠PRE＝∠PTF＝90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB＝180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，
即∠MPN+∠M+∠N＝180°，
∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°
∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论．
30．（2022秋•沂南县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）DO=14AD，
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴DE=12AD，
∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，
∴∠DEO＝30°，
∴OD=12DE，
∴DO=14AD．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
31．（2022秋•张家港市校级期末）如图：AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，用轴对称图形说明：CD＝AB+BD．

【分析】作出关于AD对称的图形，借助轴对称的性质，得到BD＝DE，借助∠B＝2∠C，得到AE＝EC．根据题意有CD＝DE+EC，将等量关系代入可得CD＝DE+EC＝AB+BD．
【详解】证明：在CD上取一点E使DE＝BD，连接AE．
∵BD＝DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠AED＝∠C+∠EAC＝2∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝EC；
则CD＝DE+EC＝AB+BD．

【点睛】本题考查轴对称的性质与运用．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
32．（2022春•锦江区校级期末）操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图（4），在△ABC中，AB＝AC．试说明∠B＝∠C的理由；

探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD．
（1）BE与AD是否相等，为什么？
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
【分析】思考验证：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．
（1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；
（2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；
（3）由第二问的垂直平分线的性质，得到CD＝CE，由第一问的全等得到DB＝CE，那么CD＝BD，所以∠DBC＝∠DCB．
【详解】解：思考验证：

过A点作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=ACAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B＝∠C；

探究应用：

（1）说明：因为BD⊥EC，
∴∠CEB+∠1＝90°，
∠1+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠BEC，
在△ADB和△BEC中
∠ADB=∠BEC∠DAB=∠EBC=90°AB=BC，
∴△DAB≌△EBC（AAS）．
∴DA＝BE．

（2）∵E是AB中点，
∴AE＝BE．
∵AD＝BE，
∴AE＝AD．
在△ABC中，因为AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠DAC．
在△ADC和△AEC中，AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC＝CE．
∴C在线段DE的垂直平分线上．
∵AD＝AE，
∴A在线段DE的垂直平分线上．
∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD＝CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB＝CE．
∴CD＝BD．
∴∠DBC＝∠DCB．
【点睛】做等腰三角形的底边上的高是常用的辅助线方法．当线段在两个三角形中时，一般要证明这两条线段所在的三角形全等；证明在同一个三角形中的两个角相等时，要利用等边对等角这个知识点．
33．（2022•海丰县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）

【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
34．（2022春•余杭区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=12BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DMC是等腰三角形．

【分析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM＝CM＝CE＝3；
（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM＝DC，则可证得△DMC是等腰三角形．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴BM＝CM=12BC＝CE＝3，
∴ME＝MC+CE＝3+3＝6；
（2）证明：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵D为AC中点，
∴DM＝DC，
∴△DMC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质及直角三角形的性质，由条件得到M为BC的中点及AM⊥BC是解题的关键．
35．（2022•白城校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90°　；
（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由．

【分析】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和．
【详解】解：（1）90°．
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°
∴∠BCE＝90°；

（2）α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
36．（2022秋•乐亭县期末）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0
（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．
【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；
（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；
（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．
【详解】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3 b＝4，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴1＜c＜7；
（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+x+2x﹣20＝180，
解得x＝50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+2x﹣20+2x﹣20＝180，
解得x＝44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得
x＝2x﹣20，
解得x＝20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
37．（2022秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．

【分析】根据BC＝DB和∠DEF＝30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根据∠ACB＝45°即可求得∠DOC的值，即可解题．
【详解】证明：∵在△BDC 中，BC＝DB，
∴∠BDC＝∠BCD．
∵∠DBE＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝30°+45°＝75°．
∴∠DOC＝∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，本题中求证∠DOC＝∠BDC是解题的关键．
38．（2022秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B即可得出结论；
（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，BD=CE∠B=∠CBE=CF，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；


（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B=180-40°2=70°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
39．（2022春•静安区校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．

【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM．
再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．
【详解】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE

【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．
40．（2022秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．

【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE．
【详解】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，
∴AD＝DF，AB＝AF，
∵AE⊥BD，
∴BE＝EF=12BF，
∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，
∴AC＝2BE．

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
41．（2022秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．
（1）如图（1），求证：DE＝DF；
（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF=14BC．
（3）如图（3），若BE=13AE，则CF＝　14　BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝　310　BC．

【分析】（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，只要证明△DME≌△DNF；
（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，想办法证明∠DFB＝90°，求出CF即可解决问题；
（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．只要证明△EDK≌△FDC，即可解决问题；②如图4中，由（1）可知EM＝FN，设AE＝a，则BE＝4a，AB＝BC＝AC＝5a，AM＝CN=54，EM＝FN=14a，可得CF＝FN+CN=32a，由此即可 解决问题；
【详解】证明：（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，

∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠MDN＝∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，
∴∠DBA＝∠DBC，
∴DM＝DN，
∴△DME≌△DNF，
∴DE＝DF．

（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，

∵AD＝DC，DK∥CB，
∴AK＝BK＝2a，DK=12BC＝2a＝AD＝AK，
∴AE＝EK＝a，
∴DE⊥AK，
∴∠BED＝90°，
∵∠BED+∠BFD＝180°，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△CDF中，∵∠C＝60°，
∴CF=12CD＝a，
∴CF=14BC．

（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．

设BE＝a，则AE＝3a，AK＝BK＝2a，△ADK是等边三角形，
∴∠ADK＝60°，∠EDF＝∠KDC，
∴∠KDE＝∠CDF，
∵DK＝DC，DE＝DF，
∴△EDK≌△FDC，
∴EK＝CF＝a，∵BC＝4a，
∴CF=14BC．
②如图4中，由（1）可知EM＝FN，

设AE＝a，则BE＝4a，AB＝BC＝AC＝5a，AM＝CN=54a，EM＝FN=14a，
∴CF＝FN+CN=32a，
∴CF：BC=32a：5a＝3：10，
∴CF=310BC．
故答案为14，310．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
42．（2022春•峄城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝2，求DF的长．

【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到△CEF为等腰三角形；
（2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
∴△CEF为等腰三角形．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
43．（2022秋•红山区期末）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．
（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．
【详解】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．

（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t=43；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t=83；
∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
【点睛】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
44．（2022•南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几对全等三角形？丁图中有几对等边三角形？

【分析】分别依据角、等腰三角形、全等三角形和等边三角形的特征，按照一定的规律进行分别查找即可．
【详解】解：
甲图中有9个角，分别是：∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠COD，∠COE，∠DOE，∠DOA，∠EOA．
乙图中有5个等腰三角形，分别是：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC；
丙图中有全等三角形4对，分别是：（设AC和DB相交于O）△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB；
丁图中共有等边三角形27个，情况如下
边长1个单位：顶点在上△的个数有：1+2+3+4＝10个，
顶点在下△的个数有：1+2+3＝6个，
边长2个单位，顶点在上△的个数有：1+2+3＝6个，
顶点在下△的个数有：1个，
边长3个单位，顶点在上△的个数有：1+2＝3个，
边长4个单位，顶点在上△的个数有：1个，
故有27个．
【点睛】此题主要考查在复杂图形中基本图形的识别，解题的关键是准确把握查找的规律，按一定的规律查找，不重不漏．
45．（2022秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD＝DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．

【分析】（1）过P做BC的平行线至AC于F，易证△APF是等边三角形，再证明△PFD与△QCD全等，得出结论；
（2）利用△APF是等边三角形，PE⊥AC，得出AE＝EF，再由△PFD≌△QCD，得出CD＝DF，由此得出DE与AC的关系解决问题．
【详解】（1）证明：
如图，

过P做PF∥BC交AC于点F，
∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠AFP＝60°，
∴△APF是等边三角形；
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ
∴△PFD≌△QCD，
∴PD＝DQ．

（2）△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF，
DE＝EF+DF=12AC，
∵AC＝1，
DE=12．
【点睛】此题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．
46．（2022•南京模拟）如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10cm，求PD的长度．

【分析】作PF⊥AB于F，根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠CAP，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EPA＝∠PDA，从而得到∠BAP＝∠EPA，根据等角对等边的性质可得PE＝AE，根据两直线平行，同位角相等可得∠FEP＝∠BAC，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出PF=12PE，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PF．
【详解】解：作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PE∥AC，
∴∠EPA＝∠PAD，
∴∠BAP＝∠EPA，
∴AE＝PE＝10，
∵∠FEP＝∠BAC＝30°，
∴PF=12PE＝5，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PD⊥AC，
∴PD＝PF，
∴PD＝5．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
47．（2022春•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．

【分析】先根据已知证明△ABD≌△CAE，从而得到AD＝EC，BD＝AE，因为AE＝AD+DE＝CE+DE＝BD从而得到了结论BD＝DE+CE．
【详解】证明：∵∠CAE+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD．
∵∠ADB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE．
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵AE＝AD+DE＝CE+DE，
∴BD＝DE+CE．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．证明线段的和差问题往往通过三角形全等来证明，要掌握这种重要的方法．
48．（2022秋•龙华区期末）如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定证明即可；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）证明：∵l2∥l3
∴∠ABD＝∠BAE＝25°，
∵∠BAC＝25°
∴∠ABD＝∠BAC，
∴△ABD是等腰三角形，
（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°
∠BAC＝25°，∠ACB＝90°
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°，
∵l1∥l2
∴∠BCF＝∠CBD＝40°，
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答．
49．（2022春•电白区期末）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则
（1）BP＝　3﹣t　cm，BQ＝　t　cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

【分析】（1）根据题意得出BP、BQ即可；
（2）分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【详解】解：（1）BP＝3﹣t cm，BQ＝t cm，
故答案为：3﹣t；t；
（2）在△PBQ中，∠B＝60°，
若△PBQ是直角三角形，则点P或点Q为直角顶点
①若点P为直角顶点，∵∠B＝60°，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2BP，
即t＝2（3﹣t），
解得t＝2
②若点Q是直角顶点，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，
即3﹣t＝2t，
解得t＝1
答：当t＝1s或t＝2s时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】此题考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°是解本题的关键．
50．（2022•南京模拟）如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．
（1）试说明△DEF是等边三角形；
（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形；
（2）由（1）证得△ADF≌△BED，得到BD＝AF，通过△ABF≌△CBD，得到∠ABF＝∠BCD，求得∠RPQ＝∠FBC+∠BCD＝60°，同理∠PQR＝∠PRQ＝60°，于是得到结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，AD=BE∠A=∠BAF=BD，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF＝DE，
同理DE＝EF，
∴DE＝DF＝EF．
∴△DEF是等边三角形；

（2）△PQR是等边三角形，
理由：由（1）证得△ADF≌△BED，
∴BD＝AF，
在△ABF与△CBD中，AB=BC∠BAC=∠CBDAF=BD，
∴△ABF≌△CBD，
∴∠ABF＝∠BCD，
∵∠ABF+∠CBF＝60°，
∴∠CBF+∠BCD＝60°，
∵∠RPQ＝∠FBC+∠BCD＝60°，
同理∠PQR＝∠PRQ＝60°，
∴△PQR是等边三角形．

【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．